高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究（教师版）

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式
的函数 ，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵
活运用的能力.而在 教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特
探究一下抽象函数的周期性问题 .
利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定
义、 紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：
命题1：若a是非零常数， 对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)
是周期函数.
（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.
（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=
1
，则f(x)是周期函数，且2a是它 的一个周期.
f(x)
（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x )是周期函数，且2a是它的一个周期.
命题2：若a、b(
a?b
)是 非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之
一，则函数y=f(x)是周期函数 .
(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.
(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是 它的一
个周期.
(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f (x)是周期函数，且2|a-b|是它
的一个周期.
(4)函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它
的一个周期.
命题 3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)
是周期函数.
（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周 期函数，且2a
是它的一个周期.
（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线 x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a
是它的一个周期.
我们也可以把命题3看 成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的
任两个条件可推出剩余一个.下面 证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.
设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.
条件B: f(x)关于x=a对称
条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.
结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.
证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问）
∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期
②已知A、C→B
∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)

∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称
③已知C、B→A
∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数
由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数， 则f(
T
)=0
2
基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系. 根据上述命题，我们易得函数周
期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.
1.求函数值
例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值
解：方法一 ∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)
∴8是f(x)的一个周期
∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1
方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数
∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称 又∵f(x)是奇函数
∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.
例2：已知f(x)是定义在R上的函数 ，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)
的值
解：由条件知f(x)
?
1，故
f(x?2)?
1?f(x)

1?f(x)
?f(x?4)?
1?f(x?2)1
??

1?f(x?2)f(x)
类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
2. 求函数解析式
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当
x?
?
?2,0
?
时，f(x)=－2x+1，
则当
x?
?
4,6
?
时求f(x)的解析式
解：当
x?
?
0,2< br>?
时
?x?[?2,0]
∴f(－x)=2x+1
∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1
当
x?
?
4,6
?
时
?4?x?[0,2]
∴f(－4+x)=2(－4 +x)+1=2x－7
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为
4
故f(-4+x)=f(x)
∴当
x?
?
4,6
?
时求f(x)=2x－7
3.判断函数的奇偶性
例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=
?
1
，f(999+x)=f(999－x)， 试
f(x)

判断函数f(x)的奇偶性.
解：由f(x+999)=
?
1
，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f( x)；
f(x)
由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f (－x)=f(1998+x)
故f(x)=f(－x)
?
f(x)是偶函数
4.判断函数的单调性
例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x )，且当
x?
?
?2,0
?
时，f(x)是减函数，
求证当
x?
?
4,6
?
时f(x)为增函数
解：设
4? x
1
?x
2
?6
则
?2??x
2
?4?? x
1
?4?0

∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴
f(?x
2
?4)?f(?x
1
?4)

又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为
4
故f(x+4)=f(x) ∴
f(?x
2
)?f(?x
1
)
∵ f(-x)=f(x) ∴
f(x
2
)?f(x
1
)

故当
x?
?
4,6
?
时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)
在[5，9]上单调.求a的值.
解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称
∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称
∴根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0)
又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)
又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6
5.确定方程根的个数
例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，
求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0
即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2
?

2000
=401个根.
10
两类易混淆的函数问题：对称性与周期性
刘云汉

例1. 已知函数
y
=
f（
x
）（
x
∈R）满足
f
（5+
x
） =
f
（5－
x
），问：
y
=
f
（
x
）是周期函数
吗它的图像是不是轴对称图形
例2. 已知函数
y
=
f
（
x
）（
x
∈R）满足
f
（5+
x
）=
f
（5－
x
），问：
y
=
f
（
x
）是周期函数
吗它的图像是不是轴对称图形
这两个 问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。
为了准确地回答上述 问题，必须掌握以下基本定理。
定理1：如果函数
y
=
f
（x
）（
x
∈R）满足
f
（5+
x
）=
f
（5－
x
），那么
y
=
f
（
x
）的图像关
于直线
x?a
对称。
证明：设点
Px
0
，y
0
是
y
=
f
（
x
）的图像上任一点，点P关于直线
x
=
a
的对称点为Q，
易知，点Q的坐标为
2a?x
0
，y
0
。
因为点
Px
0
，y
0
在
y
=
f
（
x
）的图像上，所以
f(x
0
)?y
0

于是
f
?
2a?x
0
?
?fa?
?
a?x
0
?
?fa?
?
a?x
0
?
?f
?
x
0
?
?y
0

所以点
Q2a?x
0
，y
0
也在
y
=
f
（
x
）的图像上。
由P点的任意性知，
y
=
f
（
x
）的图像关于直线
x
=
a
对称。

定理2：如果函数
y
=
f
（
x
）（< br>x
∈R）满足
f
（
a
+
x
）=
f
（
b
－
x
），那么
y
=
f< br>（
x
）的图像关
于直线
x?
??
??
??< br>????
??
a?b
的对称。
2
证明：（略）（证明同定理1）

定理3：如果函数
y
=
f
（
x
）（
x< br>∈R）满足
f
（
x
+
a
）=
f
（
x
－
a
），那么
y
=
f
（
x
）是以2
a
为周期的周期函数。
证明：令
x?a?x'
，则
x?x'?a，x?a?x'?2a
< br>代入已知条件
f
?
x?a
?
?f
?
x?a< br>?

得：
f
?
x'?2a
?
?f
?
x'
?

根据周期函数的定义知，
y
=
f
（
x
）是以2
a
为周期的周期函数。

定理4：如果函数
y
=
f
（
x
） （
x
∈R）满足
f
?
x?a
?
?f
?x?b
?
，那么
y
=
f
（
x
）是以
a?b
为周期的周期函数。
证明：（略）（证法同定理3）
由以上的定理可知，在已知条件
f
?
a?x
?
?f
?
b?x
?
或
f
?
x?a
?
?f
?
x?b
?
中，等式两
端的两自变 量部分相加得常数，如
?
a?x
?
?
?
b?x
?< br>?a?b
，说明
f(x)
的图像具有对称性，
其对称轴为
x?
a?b
。
2
等式两端的两自变量部分相减得常数，如
?
x ?a
?
?
?
x?b
?
?a?b
，说明
f
（
x
）是周期
函数，其周期T=
a
+
b
。
容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。
牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。
例1中，
?
5?x
?
?
?
5?x
?
?10
，因此
f
（
x
）的图像关于直线
x
=5对称。由这个已知条件
我们不能判定
f< br>（
x
）是周期函数。
例2中，
?
x?5
?
?
?
x?5
?
?10
，因此
f
（
x
）是周期函数，其周期T=10。由这个已知条件
我们不能判定它是轴对称图形。

例3. 若函数
f
（
x
）=
x
+
bx+
c
对于任意实数t均有
f
（3+t）=
f
（1－t），那么（ ）
A.
f
（2）<
f
（1）<
f
（4）
（2）<
f
（4）<
f
（1）


B.
f
（1）<
f
（2）<
f
（4）
2
D.
f
（4）<
f
（2）<
f
（1）
解析：在
f
（3+t）=
f
（1－t）中（3+t）+
f
（1－t）=4
所以抛物线
f
（
x
）=
x
+
bx
+
c
的对 称轴为
x
=2
作示意图如图1，可见，应选A。
2

图1

例4. 设
f
（
x
）是定 义在R上的奇函数，且
f
（
x
－2）=－
f
（
x
），给出下列四个结论：
①
f
（2）=0；
②
f
（
x
）是以4为周期的函数；
③
f
（
x
）的图像关于直线
x
=2对称；
④
f
（
x
+2）=
f
（－
x
）
其中所有正确命题的序号是___________。
解析1：（1）因为
y
=
f
（
x
）（
x
∈R）是奇函数，所以
f
（－
x
）=－
f
（
x
）
令
x
=0，得
f
（－0）=－
f
（0）
?f(0)?f(0)?0，2f(0)?0

所以
f
（0）=0
又已知
f
（
x
－2）=－
f
（
x
）
令
x
=2，得
f
（0）=－
f
（2）
所以
f
（2）=－
f
（0）=0
故①成立。
（2）因为
f
（
x
－2）=－
f
（
x
），所以
f(x)??f
?
x?2
?
???f
?
?
x?2
?
?2
?
?f< br>?
x?4
?

由
x
－（
x
－4）=4（两自变量相减得常数）
所以
f
（
x
）是以4为周期的周期函数。
故②成立。
（3）由
f
（
x
+2）=
f
（－
x）得：（
x
+2）+（－
x
）=2（两自变量相加得常数）
所 以
f
（
x
）的图像关于直线
x
=1对称。而不是关于直线< br>x
=2对称。
故③是错误的。
（4）由（2）知，
f
（< br>x
）应满足
f
（
x
+2）=
f
（
x
－2）
而
f
（
x
－2）=－
f
（
x
）
所以
f
（
x
+2）= －
f
（
x
）=
f
（－
x
）
故④成立。
??

综上所述，应填①②④。
解析2：根据题设条件，构造出函数
f(x)
的图像如图2。

图2
由图可见，①②④正确，而③不正确。

例5. 函数
y? log
2
ax?1
?
a?0
?
的图像关于直线
x< br>=2对称，则
a
=___________。
解析：因为函数
y?l og
2
ax?1
?
a?0
?
的图像关于直线
x=2对称
所以有
log
2
a
?
2?x
??1?log
2
a
?
2?x
?
?1
（定理1的 逆定理）
?a
?
2?x
?
?1?a
?
2?x?
?1
?2a?ax?1??
?
2a?ax?1
?

?a?0
（与题设矛盾，舍去）或
a?
所以
a?

1

2
1
。
2
例6. 设
f
（
x
）是R上的奇函数，又
f
（
x
）的图像关于直线
x
=
a
对称。问函数
y
=
f
（
x
）
是不是周期函数如果是，求出它的一个周期。
解 ：因为
f
（
x
）的图像关于直线
x
=
a
对 称
由定理1的逆定理知：
f
（
a
+
x
）=
f
（
a
－
x
）
用
a
－
x
代换上式中的
x
，得：
f
（2
a
－
x< br>）=
f
（
x
）
再用－
x
代换
x
，得：
f
（2
a
+
x
）=
f
（－
x
） <1>
再用2
a
+
x
代换
x
，得：
f
?
?
?
2a?x
?
?
?f
?
4a?x?

又
f
（
x
）为奇函数，即
?f
?
2a?x
?
?f
?
4a?x
?
由< 1><2>得：
?f
?
?x
?
?f
?
4a?x?

即
f
（
x
）=
f
（
x
+4
a
）
?2?

根据 周期函数的定义，
f
（
x
）是周期函数，且T=4
a
是它的 一个周期。