高一数学幂函数知识点归纳整理

高一数学幂函数知识点归纳整理
形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量
幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如 果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0,不过这时函 数的定义域还
必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x
不能小于0,这时函数 的定义域为大于0的所有实数；如果同
时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x
为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于
0时，函数的值域总是大于0的实数。在x 小于0时，则只
有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正
数，0才进入函数的 值域
性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨
论各自的特性：
首先我们知道如果 a=pq,q和p都是整数，则x^（pq）
=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域 是
R,如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数n是负
整数时，设a=-k,则x =1（x^k），显然x≠0,函数的定义域
是（-∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的 限制于

两点，一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次
的根号下而 不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0,则a可以
是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有
实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所
有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的
定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实
数；
如果a为负数，则x肯定不能 为0,不过这时函数的定义
域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则
x不能小 于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果
同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实 数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非
零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面
给出幂函数在第一象限的各自情况。

可以看到：
（1）所有的图形都通过（1,1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0
时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大
于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0,函数过（0,0）；a小于0,函数不过（0,0）
点。
（6）显然幂函数无界。