高中数学总结基本初等函数

高中数学知识点总结
第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念 ①如果
x
n
n
?a,a?R,x?R,n?1
，且
n? N
?
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根．当n
是奇数时，
a
的
n
次方根用符
的
n
次方根号
a
表示；当
n
是偶数时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a
表示，负的
n
次方根用符号
?< br>n
a
表示；0
是0；负数
a
没有
n
次方根．
②式子
n
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a叫做被开方数．当
n
为奇数时，
a
为任意实数；当
n
为 偶数时，
a?0
．
n
③根式的性质：
(
（2）分数指数幂的概念
?
a (a?0)
a)
n
?a
；当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
．
?
?a (a?0)
m
n
①正数的正分数指数幂的意义是：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．0 的正分数指数幂等于0．
m
n
②正数的负分数指数幂的意义是：
a
?
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m,n ?N
?
,
且
n?1)
．0的负分数指数幂没
aa
有 意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)
②
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)< br>
r
③
(ab)?a
r
b
r
(a?0,b? 0,r?R)

【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称
定义
函数
指数函数
y?a
x
(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1


0?a?1

x
y
图象

y?a



(0,1)
y?a
x
y
y?1

y?1

(0,1)

O

定义域

x
R

O
x

值域
(0,??)

图象过定点
(0,1)
，即当
x
过定点
奇偶性
单调性
?0
时，
y?1
．
在
R
上是减函数
非奇非偶
在
R
上是增函数
a
x
?1(x?0)
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
变化对 图象的影响

在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若
a
x
?N(a?0,且a?1)
，则
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x?log
a
N
，其中a
叫做底数，
N
叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
x
（2）几个重要的对数恒等式
?log
a
N?a
x
?N(a?0,a?1,N?0)
．
log
a
1?0
，
log
a
a?1
，log
a
a
b
?b
．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN
，即
log
10
（4）对数的运算性质 如果
a
①加法：
log
a
N
；自然对数：
lnN< br>，即
log
e
N
（其中
e?2.71828
…）．
?0,a?1,M?0,N?0
，那么
M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法 ：
log
a
M?log
a
N?log
a
M?log
a
M
n
(n?R)
④
a
log
a
N
?N

M
N
< br>③数乘：
nlog
a
⑤
log
a
b
M
n
?
log
b
N
n
(b?0,且b?1)

log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式：
log
a
N?
loga
b
b
【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数
函数
名称
定义
函数
对数函数
y?log
a
x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数

a?1

0?a?1

y?log
a
x
y
x?

1
y

x?1



y?log
a
x
图象
(1,0)





O
(1,0)
x
O
x
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
在
(0,??)
上是增函数
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
非奇非偶
在
(0,??)
上是减函数
y?0
．
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

a
变化对 图象的影响
(6)反函数的概念
设函数
在第一象限内，
a
越大图 象越靠低；在第四象限内，
a
越大图象越靠高．
y?f(x)
的定义域为< br>A
，值域为
C
，从式子
y?f(x)
中解出
x
，得式子
x?
?
(y)
．如果对于
y
在
C
中
的任何一个值，通过式子
x
函数
x
?
?
(y)
，
x
在
A
中都有唯一确定的值和它对应，那么式子
x??
(y)
表示
x
是
y
的函数，
?
?< br>(y)
叫做函数
y?f(x)
的反函数，记作
x?f
?1(y)
，习惯上改写成
y?f
?1
(x)
．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式
③将< br>x
y?f(x)
中反解出
x?f
?1
(y)
； ?f
?1
(y)
改写成
y?f
?1
(x)
，并 注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数
②函数
y ?f(x)
与反函数
y?f
?1
(x)
的图象关于直线
y? x
对称．
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
?1
(x)
的值域、定义域．
y?f(x)
的图象上，则
P
'
(b,a)
在反函数
y?f
?1
(x)
的图象上． ③若
P(a,b)
在原函数

④一般地，函数
y?f(x)
要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数
y?x
?
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是常数．
（2）幂函数的图象

















（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂 函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关
于
y
轴对称)；是奇函数时，图象 分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过 定点：所有的幂函数在
(0,??)
都有定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
③单调性：如果
?
?0
，则幂函数的图象过原点，并且在
[0 ,??)
上为增函数．如果
?
?0
，则幂函数的图象在
(0,??)
上
y
轴．
?
q
p
为减函数，在第一象限内，图象 无限接近
x
轴与
④奇偶性：当
?
为奇数时，幂函数为奇函数，当?
为偶数时，幂函数为偶函数．当
?
q
p
q
（其中p,q
互质，
p
和
q?Z
），
p
若
则
p
为奇数
q
为奇数时，则
y?x
是奇函数，若
p< br>为奇数
q
为偶数时，则
y?x
是偶函数，若
p
为偶数
q
为奇数时，
y?x
q
p
是非奇非偶函数．
⑤图 象特征：幂函数
直线
y?x
?
,x?(0,??)
，当
?< br>?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
下方，若
x?1
，其图象在
y?x
上方，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
上方，若
x?1
，其图象在直线< br>y?x
下方．
〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
f(x)?ax
2
? bx?c(a?0)
②顶点式：
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)< br>③两根式：
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0 )
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知 抛物线与
x
轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
（3）二次函数图象的性 质
①二次函数
f(x)
更方便．
f(x)?ax
2
?b x?c(a?0)
的图象是一条抛物线，对称轴方程为
x??
b
,
顶 点坐标是
2a
b4ac?b
2
(?,)
．
2a4a
②当
a?0
时，抛物线开口向上，函数在
(??,?
b
b
b
时，
]
上递减，在
[?,??)
上递增，当
x??
2a2a
2a
b
b
b
]
上递增，在
[?,??)
上递减，当
x??
2a2a
2a
4ac?b
2
f< br>min
(x)?
4a
时，
；当
a?0
时，抛物线开口 向下，函数在
(??,?
4ac?b
2
f
max
(x)?< br>4a
．
③二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
当
??b
2
?4ac?0
时，图象与
x
轴有两个交 点
M
1
(x
1
,0),M
2
(x
2
,0),|M
1
M
2
|?|x
1
?x
2
|?
（4）一元二次方程
ax
2
?
．
|a|
?bx?c?0(a?0)
根的分布
一元二次方程根的分布是二次函 数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且
解决的方法偏重于二次 方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统
地来分析 一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程
ax
2
?bx?c? 0(a?0)
的两实根为
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
．令
f(x)?ax
2
?bx?c
，从 以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向：
a
②对称轴位置：
x
①k＜x
1
≤x
2

?

??
b
③判别式：
?
④端点函数值符号．
2a

y
f(k)?0< br>?
y
a?0
x??
b
2a
x
2
k< br>x
1
O
x
2
x
k
?
x
1< br>O
x
b
x??
2a
②x
1
≤x
2< br>＜k
?

f(k)?0

a?0

y
a?0
f(k)?0
?
y
x? ?
O
b
2a
x
1
O
x
2
k
x
x
1
x
2
?
k
x
b
x??< br>2a
③x
1
＜k＜x
2

?
af(k)＜0
a?0

f(k)?0

ya?0
y
?
f(k)?0
x
2
x
1
O
k
x
2
x
x
1
O
k
x
?
f(k)?0
a?0




④k
1
＜x
1
≤x
2
＜k
2

?



y
?
f(k
1
)?0
?
a?0
f(k
2
)?0
x
2
k
2
y
k
1
x??
b
2a
k
2
O< br>k
1
x
1
x
O
?
x
1
f( k
1
)?0
x
2
?
x
x??
b
2 a
f(k
2
)?0

a?0
⑤有且仅有 一个根x
1
（或x
2
）满足k
1
＜x
1
（ 或x
2
）＜k
2

?
f(k
1
)f(k
2
)
?
0，并同时考虑f(k
1
)=0或f(k< br>2
)=0这两
种情况是否也符合

y
?
f(k
1
)?0
a?0
y
f(k
1
)?0
?
O
k
1
x
1
?
k2
x
2
x
O
x
1
k
1
x2
?
k
2
x
f(k
2
)?0

a?0
f(k
2
)?0

⑥k
1
＜x1
＜k
2
≤p
1
＜x
2
＜p
2

?

此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数
设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
[p,q]上的最值
f(x)
在区间
[p,q]
上的最大值为
M
，最小值为
m
，令
x
0
?
（Ⅰ）当
a
1< br>(p?q)
．
2
?0
时（开口向上）
①若
?







b
bb
b
?p
，则
m?f(p)
②若
p??
?q
，则
m?f(q)

?q
，则
m?f(?)
③若
?
2a2a
2a2 a
?
??
?
??
?
??
f
(q)

O
f
(p)

x
O
b
f
(q)

x
f
(p)

O
f
x
b
)
2a
b
f(?)
f(
(p)
?

)
bb
2a
2
M
a
?f(q)
②
?
①若
??x
0
，则
?x
0
，则
M?f(p)

2a2a


f
f(?
(q)

?
??
?
??
f
(p)

b
b
x
0
b
b

x
(q)
①若
?
②若
?p
，则
M
?q
，则
M?f(q)

p???
g
q
，则
M?f(?)
③若
?
?f(p)
0
g
O
2a2a
2a2a
x









①若
?

(Ⅱ)当
a?0
时(开口向下)
f
O
x
f
?
b

)
f
(
(
(p)
?
b
)
f?
2a
2a
f
f(?
?
(q)

f
(p)

O
f
(p)

x
O
b
f(?)
2 a
b
)
2a
?
f
f
(?
(q)

x
O
b
)
2a
x
??
f
??(q)

??
(q)

f
(p)

f
bb
?x
0
，则
m?f(q)
②
??x
0
，则
m?f(p)
．
2a2a
?
f(?
b
)
2a

(p)

?
f
O
f
f
(?
(q)

x
0
g
x
b
)
2a

x
0
g
O
f
??
(q)

x
??
f