北师大版高一数学必修一之函数

2013年10月 日


（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个数x，在集
合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集 合B的一个函数．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，
函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
○
1
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
○
2
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘以x．
③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同.
④有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围.
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．
（1）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做闭区间， 表示为
?
a,b
?
；
（2）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做开区间，表示为
?
a,b
?
；
（3）满足不 等式
a?x?b
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为
?
a，b
?
；
（4）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间， 表示为
?
a,b
?
；
说明：
① 对于
?
a,b
?
，
?
a,b
?
，
?
a，b
?
，
?
a,b
?
都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点， b为右
端点，称b-a为区间长度；
② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：
不等式表示法：3?
x3?x?7
?
；区间表示法：
?
3，7< br>?
；
③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用 实心点表示包
括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；
④ 实数集R也可以 用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，
“+∞”读作“正 无穷大”，还可以把满足x
?
a, x>a, x
?
b, x示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。（见演示）
（二）例题讲解
1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是R,值域是R.。
二次函数y=ax
2
+bx+c (a≠0)的定义域是R，值域是
当a＞0时,为:
{

y

y

?

4

ac

?

b

2
当a＜0时,为:
4

ac

?b
2

4a
}
{yy?
4

a

}

1

2. 某山海拔7500m, 海平面温度为25°C,气温是高度的函数, 而且高度每升高100m, 气温下降0.6°
C.请你用解析表达式表示出气温T随高度x变化的函数,并指出其定义域和值域.


3. 已知 f (x)=3x
2
－5x+2, 求f (3),f (－
2
), f (a), f (a+1) , f [f (a)].

4.下列函数中与函数y=x相同的是 ( ).
A．
y?
?
x
?
2
B.
y?
3
x
3
C .
y?x
2

（三）函数的表示方法：

列表法 图像法 解析法
定 用表格的形式把两个变量间的用图像把两个变量间的函数一个函数的对应关系可以用自
义 函数关系表示出来的方法 关系表示出来的方法 变量的解析式表示出来的方法

不必通过计算就能知道两个变可以直观地表示函数的局部能叫便利地通过计算等手段研
优
量之间的对应关系，比较直观 变化规律，进而可以预测它的究函数性质
点
整体趋势
缺 只能表示有限个元素的函数关有些函数的图像难以精确作一些实际问题难以找到它的解
点 系 出 析式
（四）映射：
一．实例分析
１. 集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班同学的 姓｝，对应关系是：集合Ａ中的每一个同学在集合
Ｂ中都有一个属于自己的姓.
特点：
（１）第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有对应元素；
（２）对于第一个集合中的每一个元素在第二个集合中的对应元素是唯一的.
二．抽象概括
1. 映射的概念
两个集合Ａ与Ｂ间存在着对应关系，而且对于Ａ中的每一个元素x，Ｂ中总 有唯一的一个元素y
与它对应，就称这种对应为从Ａ到Ｂ的射映，Ａ中的元素x称为原像，Ｂ中的对应元 素y称为x的像，
记作f:x y .
注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；
（2）A，B可以是数 集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”
表示A到B的映射，符号 “f：B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；
（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的 ，但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象；
例：“A={0,1,2},B={0,1,12} ,f:取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象
（4）集合B中的元素在A中可以没有原象，即使有也可以不唯一； （5）A={原象}，B
?
{象}。

（五）函数与映射的关系：
1. 函数是一种特殊的映射;(数集到数集的映射)
２. 映射是函数的推广。
（六）函数的单调性：

y
y?f(x)
在给定区间上任取x
1
,x
2
,
2
f(x
f(x
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
2
)
1
)
结论： 函数f (x)
O

x
1
x
2
x

在给定区间上为递增的。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
y

y?f(x)
在给定区间上任取x
1
,x
2< br>,
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
f(x
1
)
f(x
2
)
结论： 函数f (x)
O

x
1
x
2
x

在给定区间上为递减的。


单调增函数、单调减函数的证明方法：（一定要记下来）
（1）（条件）设任意的x1、x2属于区间 I，且x1（2）（论证结果）f(x1)（3）（结论）则f（x）在区间 I 上单调递增。（递减）
例：证明函数f（x）=2x+1在区间（ ）上是增函数。
（七）幂函数
定义：一般地，函数
y=x
a

叫做幂函数，其中x是自变量，a是实常数。
判断一个函数是否是幂函数？注意：①是否为幂 的形式；②自变量是幂的底数，指数可以是任意实数。
例1、（1）y=
x
a

与y=
a
x

一样吗？
（2）在函数y=x+ 2，y=1，y=x
2
+x，y=2x
2
+3，y=
1
x< br>4
中，哪几个函数是幂函数？
（3）已知幂函数y=f（x）的图像过点（2，
1
8
），试求出这个函数的解析式。

2

（八）指数函数
定义： 一般地，函数
y?a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做指 数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域为R.
1、提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）
y?2
x?2
（2）
y?(?2)
x
（3）
y??2
x
（4）
y?
?
x
（5）
y?x
2

（6）
y?4x
2
（7）
y?x
x
（8）
y?(a?1)
x
（
a
＞1，且
a?2
）
图象特征 函数性质
a
＞1 0＜
a
＜1
a
＞1 0＜
a
＜1
向
x
轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和
y
轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在
x
轴上方 函数的值域为R
+
函数图象都过定点（0，1）
a
0
=1
自左向右， 自左向右，
图象逐渐上升 图象逐渐下降
增函数 减函数
在第一象限内的图 在第一象限内的图
象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于1
x
＞0，
a
x
＞1
x
＞0，
a
x
＜1
在第二象限内的图 在第二象限内的图
象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于1
x
＜0，
a
x
＜1
x
＜0，
a
x
＞1
3、
从图上看
y?a
x
（
a
＞1）与
y?a
x
（0＜
a
＜1）两函数图象的特征

a>1 0

图
2

2
像




定义域：R


值域：（0，+∞）
性
过点（0，1）


当x>0时y>1 当x>0时0质
当x<0时01
是R上的增函数 是R上的减函数

指数与指数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2
??
合题目要求的）
1、化简
?
?
1?2?
1
32
??
??
1?2
?
1
16< br>??
?
1
??
?
1
??
?
1
?
??
??
1?2
8
??
??
1?2
4
?
?
??
1?2
2
?
，结果是（ ） < br>?
???
1
?1
?1
A、
?
?
1< br>?

B、
?
?
1?2
?
132
?
?
1
?
C、
32
1
?
?
1
32
?
2
?
1?2
32
?
?
?
??
1?2
D、
2
?
1?2
?
?

?
44
2 、
?
?
3
6
9
?
?
a
?
?
?
?
6
3
?
a
9
?
?
?
等于（ ）
A、
a
16

B、
a
8

C、
a
4

D、
a
2

3、若
a?1,b?0
,且
a
b
?a
?b
?22
,则
a
b
?a
?b
的值等于（ ）
A、
6
B、
?2
C、
?2
D、2
4、函数f(x)?
?
a
2
?1
?
x
在R上是减函数，则
a
的取值范围是 （ ）
A、
a?1
B、
a?2
C、
a?2
D、
1?a?2

5、下列函数式中， 满足
f(x?1)?
1
2
f(x)
的是( )
A、
1
(x?1)
B、
x?
1
C、
2
x

D、
2
?x
2
4

6、下列
f(x)?( 1?a
x
)
2
?a
?x
是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
11
7、已知
a?b,ab?0
，下列不等式（1）
a
2< br>?b
2
；(2)
2
a
?2
b
；(3)
1
?
1
；(4)
a
3
?b
3
ab
；
中恒成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
x
8、函数
y?
2?1
2
x
?1
是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
9、函数
y?
1
2
x
?1
的值域是（ ）
A、
?
??,1
?
B、
?
??,0
?
?
?
0,??
?
C、
?
?1,??
?
D、
(??,?1)?
?
0,??
?

10、已知
0?a?1,b??1
,则函数
y?a
x
?b
的图像必定不经过（ ）
3

?
ab
?
1
?
?
3< br>?
?
?
?
?
1
?
?
3
?< br>?
11、
F(x)?
?
?
1?
2
x
?1
?
?
?f(x)(x?0)
是偶函数，且
f(x)
不恒 等于零，则
f(x)
( )
A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数
C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数
12、一批设备价值
a
万元，由于使用磨损，每年比 上一年价值降低
b%
，则
n
年后这批设备的价值为
（ ）
A、
na(1?b%)
B、
a(1?nb%)
C、
a[1?(b%)
n
]
D、
a(1?b%)
n

二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）
13、若
10
x
?3,10
y
?4
，则
10
x?y
?
。
?2x
2
?8x?114、函数
y?
?
?
1
?
?
3
??
(?3≤x≤1)
的值域是 。
15、函数
y?3
2?3x
2
的单调递减区间是 。
16、若
f(5
2x?1
)?x?2
，则
f(125) ?
。
三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
1 7、设
0?a?1
，解关于
x
的不等式
a
2x
2< br>?3x?2
?a
2x
2
?2x?3
。

1 8、已知
x?
?
?3,2
?
，求
f(x)?
11< br>4
x
?
2
x
?1
的最小值与最大值。
< br>19、设
a?R
，
f(x)?
a?2
x
?a?22
x
?1
(x?R)
，试确定
a
的值，使
f( x)
为奇函数。
x
2
?2x?5
?
?
?
1
?
20、已知函数
y
?
3
?
?
，求其单 调区间及值域。
22、已知函数
f(x)?
a
x
?1
a< br>x
?1
(a?1)
,
(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明
f(x)
是
R
上的增函数。

(5)

第二章 函数单元质量检测(二)
一、选择题(本 大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．二次函数
y
＝
x
2
－2
x
＋2的值域 是( )
A．R B．?
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】
y
＝
x
2
－2
x< br>＋2＝(
x
－1)
2
＋1≥1
2．函数
y
＝1－
x
＋
x
的定义域为( )
A．{
x
|
x
≤1} B．{
x
|
x
≥0}
C．{
x
|
x
≥1或
x
≤0} D．{
x
|0≤
x
≤1}
【解析】
?
?
1－
x
≥0，
?
x
≥0

?0≤
x
≤1.故选D.
3．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )
A．
y
＝－
x
＋1 B．
y
＝
1
1－
x

C．
y
＝－(
x
－1)
2
D．
y
＝
1
x
＋1
【解析】 由题意知
y
＝－
x
＋1，
y
＝－(
x
－1)
2
，< br>y
＝
11
x
＋1在(1，＋∞)上是减函数，
y
＝< br>1－
x
在(1，
＋∞)上是增函数，故选B.
4．设集合
A
＝{－1,3,5}，若
f
：
x
→2
x
－1是集合
A
到集合
B
的映射，则集合
B
可以是( )
A．{0,2,3} B．{1,2,3}
C．{－3,5} D．{－3,5,9}
【解析】 注意到题目中的对应法则，将
A
中的元素－1代入得－3,3代入得5,5代入得9，故选D.
5．下列各个图形中，不可能是函数
y
＝
f
(
x
) 的图象的是( )

【解析】 函数应满足一个
x
对应一个
y
，显然只有A不符合．
6．幂函数的图象过点(2，
1
4
)，则它的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
【解析】 设幂函数为
f
(
x
)＝
x
α
把点(2，
1
4
)代入得函数
f
(
x< br>)＝
x
－2
.
∴
f
(
x
)＝x
－2
的单调递增区间是(－∞，0)．
4

7．已知
x
∈N
?
x
－5
x
≥6
＋
，
f
(
x
)＝
?
?
fx
＋2
x
＜6

，则
f
(3)等于( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【解析】 ∵f
(3)＝
f
(3＋2)＝
f
(5)＝
f
(5 ＋2)＝
f
(7)＝7－5＝2.
8．下列四种说法正确的有( )
① 函数是从其定义域到值域的映射；②
f
(
x
)＝
x
－3＋2 －
x
是函数；
③函数
y
＝2
x
(
x∈N)的图象是一条直线；④
f
(
x
)＝
x
2
x
与
g
(
x
)＝
x
是同一函数．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 A
9．定义在R上的偶函数
f
(
x
)，对任意
xx
fx
2
－
fx
1
1
，x
2
∈[0，＋∞)(
x
1
≠
2
)，有
x
－
x
<0，则( )
21
A．
f
(3)<
f
(－2)<
f
(1) B．
f
(1)<
f
(－2)<
f
(3)
C．
f
(－2)<
f
(1)<
f
(3) D．
f
(3)<
f
(1)<
f
(－2)
【解析】 由已知
fx
2
－
fx
1
x
<0，得
f(
x
)在
x
∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得
2－
x
1
f
(3)<
f
(－2)<
f
( 1)，故选A.此类题能用数形结合更好．
【答案】 A
10．已知偶函数
f
(
x
)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足
f
(2
x
－1)<
f
?
?
1
?< br>?
3
?
?
的
x
取值范围是( )
A.< br>?
?
1
?
3
，
2
?
3
?< br>?
B.
?
?
12
?
?
3
，
3
?
?

C.
?
?
1
?
2
，
2
?
3
?
?
D.
?
?
1
?
2
，
2
?
3
?
?

【解析】 作出示意图可知：

f
(2
x
－1)<
f
?
?
1
?
?
?－
1
<2
x
－1<
1
?
3
?
33
，
即
1
3
<
x
<
2
3
.故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

11．已知函数
f
(
x
)＝(
m
2
－< br>m
－1)
xm
2
－2
m
－3是幂函数，且在(0，＋ ∞)上是减函数，则实数
m
＝
________.
【解析】
m
2
－
m
－1＝1
∴
m
＝－1，或2.
当
m
＝－1.
f
(
x
)＝
x
0
舍
当
m
＝2 时，
f
(
x
)＝
x
－3
.
【答案】 2
12．函数
y
＝
f
(
x
)的图象如图所示，根据函 数图象填空：
(1)
f
(0)＝________；
(2)
f
(1)＝________；
(3)若－1＜
x
1
＜
x
2
＜1，则
f
(
x
1
)与
f
(
x
2
)的大小关系是________．
【解析】 由图象可直接观察到
f
(0)＝2
f
(1)＝3
f
(2)＝ 0.
由图象可得到函数
y
＝
f
(
x
)在(－1, 1)上是增函数，由增函数的定义可得，当－1＜
x
1
＜
x
2
＜1时，
f
(
x
1
)＜
f
(
x
2
)．
【答案】 (1)2 (2)3 (3)
f
(
x
1
)＜
f
(
x
2
)
13．若函数
f
(
x
)＝
kx
2
＋(
k
－1)
x
＋2是偶函数，则
f
(
x
)的递减区间是________．
【解析】 ∵
f
(
x
)是偶函数，
∴
f
(－
x
)＝
kx
2
－(
k
－1)
x
＋2
＝
kx
2
＋(
k
－1)
x
＋2
＝
f
(
x
)，
∴
k
＝1，∴
f
(
x
)＝
x
2
＋2，其递减区间为(－∞，0]．
【答案】 (－∞，0]
14．已知二次函数
f
(
x
)＝
ax
2
＋2
ax
＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则
a
的值为________．
【解析】
f
(
x
)的对 称轴为
x
＝－1，当
a
＞0时，
f
(
x
)
f
(2)＝4，解得
a
＝
3
max
＝
8< br>；
当
a
＜0时，
f
(
x
)
max
＝
f
(－1)＝4，解得
a
＝－3.
【答案】 －3或
3
8

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)画出下列两个函数的图象，并写出各自的值域．
(1)
y
＝2
x
2
－4
x
－2，
x
∈
?
?
1
?
?
－
2
，2
?
?
；
(2)
y
＝
?
?
1＋
x
，
x
∈ [0，＋∞
?
1－
x
，
x
∈－∞，0

.
【解析】 两个函数的图象分别如下图所示：
5


(1)值域 为
?
?
?
－4，
1
?
2
?
?；(2)值域为[1，＋∞)．
16．(12分)已知二次函数
y
＝
f
(
x
)的最大值为13，且
f
(3)＝
f
(－1) ＝5，求
f
(
x
)的解析式，并求
其单调区间．
【解析】 ∵
f
(3)＝
f
(－1)＝5，∴对称轴为
x
＝1，又∵最 大值为13，∴开口向下，设为
f
(
x
)
＝
a
(< br>x
－1)
2
＋13(
a
＜0)，代入
x
＝－ 1，∴4
a
＋13＝5，∴
a
＝－2，
∴
f
(< br>x
)＝－2(
x
－1)
2
＋13.函数在(－∞，1]上单调 递增，在[1，＋∞)上单调递减．
17．(12分)有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的 利润依次是
p
万元和
q
万元，它们与
投入的资金
x
万元的关系有经验公式：
p
＝
1
10
x
，
q
＝
2
5
x
.现欲将9万元资金投入甲、乙两种商品，问：
甲、乙两 种商品分别投入多少万元资金时能获得最大利润？
【解析】 设对乙商品投入
x
万元 ，则对甲商品投入(9－
x
)万元，设利润为
y
万元，
则
y
＝
1
10
(9－
x
)＋
2
5
x
＝
1
10
(－
x
＋4
x
＋9)＝
1
10
[－(
x
－2)
2
＋13](0≤
x
≤9)，
∴当
x
＝2，即
x
＝4时，
y
max
＝1.3.
∴将9万元资金投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元．
18．( 12分)已知函数
f
(
x
)＝
11
a
－
x
(
a
＞0，
x
＞0)，
(1)求证：
f
(
x
)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若
f
(
x
)在[
1
2
，2]上的值域是[
1
2
，2]，求
a
的值．
【解析】 (1)证明：设x
1
，
x
2
∈(0，＋∞)，且
x
1
＜
x
2
.
则
f
(
x
1111
1
)－
f
(
x
2
)＝
a
－
x
－(－)
1
ax
2
＝
x
1
－
x
2
x
，
1
x
2
∵0＜
x
1
＜
x
2
，
∴
x
1
－
x
2
＜0，
x
1
x
2
＞0.
∴
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＜0，
即
f
(
x
1
)＜
f
(
x
2
)
则
f
(
x
)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)解 ：∵
f
(
x
)在[
11
2
，2]上的值域是[2
，2]．

1
又
f
(
x
)在[，2]上是增函数， < br>2
?
1
?
1
∴
f
??
＝，
f
(2)＝2.
?
2
?
2
1111
∴－2＝且－＝2，
a
2
a
2
22
解得
a
＝，则所求
a
的值为 .
55






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