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高中数学必修一函数解题方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 17:54
tags:高中数学函数

高中数学知识总结归纳-2019吉林省普通高中数学三模


.
函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法
一、求函数定义域的方法
(一) 直接法求定义域
关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值,从而使得函数有意义,直接限制自变
量的取值围。
一般需要关注的解题要点:
(1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。
(3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx中x≠kπ+π2;y=cotx中x≠kπ等等。( 6 )
x
中x
?0

例1 求下列函数定义域

f(x)?
0
11

f(x)?x?1?

x?22?x
x
2
?3x?4

x?1?2
lg(3?x)
?(2
x
?3)
0

f(x)?

f(x)?
x?2

y?x?2?3?
3
1
3x?7

(二)解题时要关注定义域
函数的三要素是定义域,值域和对应关系。其中定义域是规定函 数自变量取值围的关键,
是题目限制条件的体现。由于常常被忽略,因此是命题人常将隐含条件设计于其 中。若想正
确地解决函数相关问题,必须在解题时关注定义域,把它明确地写出来。
2
例2 已知函数
f
(
x
)
?
2
?
log
3
x
(1
?x?
9)
,求函数
?
f(x)
?
?f(x)
的最大值。
2
例3 求函数
f
(
x
)?log
a
x
2
?2
x

(a?0且a?1)
的单调增区间。
(三)有关抽象函数的定义域问题
抽象函数的自变量始终是x(或其他字母),但是由于对应法则所作用的x形式不同(如
2
x+2,x等),于是就有了有关抽象函数的定义域问题。解决抽象函数的定义域问题需要紧紧
抓住一点:括号里面的所有代数式的取值围是相同的。
例4 已知函数
f(x)
的定义域为[0,2],求
f(2x?1)
的定义域。
例5 已知函数
f(2x?1)
的定义域为(-1,5],求
f(x)
的定义域。
例6 已知函数
f(x?1)
的定义域为[0,2],求
f
(3x?x
)
的定义域。
二、求函数值域的方法
(一)层层分析法(直接法)
这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加 减得到的函数求值域。在分
析的题目中常常以分式为背景,当遇到分式上下都有自变量x的时候,要注意 分离常数法的
2
2?2
x
例7 求函数
y?
x
的值域。
2?1
.


.
2x
2
?x?1
1
例8 求函数
y?

(x?)
的值域
2x?1
2
x
2
?4x?3
例9 求函数
y?
2
的值域
x?x?6
2x
2
?4x?7
例10 求函数
y?
2
的值域
x?2x?3
(二)换元法
常用来处理含根式的函数求值域。分以下几种情况:
1.出现单根式时用代数换元
例11 求函数
y?
x?2
的值域
x?3
例12 求函数
y?2x?1?3x
的值域
2.出现平方和为定值(常有双根式)时用三角换元
例13 求函数
y?8?x?3x?6
的值域
例14 求函数
y?x?2?1?(x?1)
2
的值域
3.出现指数或高次函数有时也用换元法
另例 求函数
y?9?3?2(x?
?
0,1
?
)
的值域
xx
(三)几何意义法
利用函数的几何意义将函数转化成距离的和或差从而利用数 形结合的方法处理函数的值
域。常用来解决含绝对值函数,含根式的函数的值域问题。
1.出现绝对值时转化成数轴上两点的和与差
例15 求函数
y?x?1?x?4
的值域
2.出现双根式时考虑两点间距离
例16 求函数
y?
例17 求函数
y?
x
2
?
4
?x
2
?
6
x?
10
的值域
x
2
?
6
x?
13
?x
2
?
4
x ?
5
的值域
3.出现绝对值时也可以考虑转化为点到直线距离
例18 求函数
y?
2
x?
24
?
(
x?
2)2
?
7
的值域
4.出现分式时可以考虑转化为斜率
例19 求函数
y?


3?sinx
的值域
2?cosx
.


.
函数习题课(II)函数解析式的求法,分段函数
一、函数解析式的求法
(一)待定系数法
若题目中已经明确给出了函数的形式(如一次函数、二次函数、指数函数等) 可以利用待
定系数法现将函数解析式设出,再利用题目已经给出的关系进行带入化简,通过对比系数进< br>行对于函数解析式的确定。
例1 已知一次函数
f(x)
,且
f< br>?
f(x)
?
?4x?3
,求
f(x)
解析式
(二)拼凑换元法
已知复合函数
f[g(x)]
的解析式时,通过 在已知的解析式中拼凑出
g(x)
或通过换元法对
解析式进行处理后得到解析式。重要 的是不能忽略拼凑或换元前后定义域的变化。
x
2
,求
f
?
cosx
?
的解析式
1?x
11
2
例3 已知
f(x?)?x?
2
?
x?0
?
,求
f(x)
的解析式
xx
例2 已知
f()?
(三)方程组法求解析式
1
x
1
,?x
等有关的函数解析式时,常用列方程组的方法来求解析式。
x
1
例4 设
f(x)
为偶函数,
g(x)
为奇函数,且
f(x)?g( x)?
,试求
f(x)

g(x)
的解
x?1
同时出现
x,
析式
(四)抽象函数求解析式
解决抽象函数问题的 一种最常用的方法就是赋值法。当抽象函数相关的题目中先给出了
某一函数值,后续的解题过程中必然会 用到赋值法,从而简便运算。
例5 已知
f(0)?1
,对于任意实数
x ,y
,等式
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
恒成立,求
f(x )

例6 设
f(x)
是定义在
N
上的函数,且满足f(1)?1
。对任意自然数
a,b
都有等式
*
f(a)?f( b)?f(a?b)?ab
成立,求
f(x)

二、分段函数问题
在给出了分段函数解析式的问题中,主要有三类问题:一是求函数值,特别是求复合函数
的值,其方法是 当自变量在不同的区间段上时,带入不同的解析式;二是研究这个分段函数
的单调性,方法是根据函数在 各个区间段上的单调性,整合为整个定义域上的单调性;三是
求最值,其方法是求出函数在各个区间段上 的最值,这些最值中最大的是分段函数的最大值,
最小的是分段函数的最小值。分段函数的易错点在于各 定义域分界点处函数值的大小。此外,
分段函数常用数形结合法分析。
?
x
2
?4x?3,x?0
例7 已知函数
f(x)?
?
,求方程
f(x)?1?0
的实根个数
?
3?x,x?0
.


.
?
1
x
?
(),x?4
例8 已知函数
f(x) ?
?
2
,求
f
(2
?
log
2
3 )
的值
?
?
f(x?1),x?4
?
x
2
?bx?c,x?0
例9 设函数
f(x)?
?
,若
f(?4) ?f(0),f(?2)??2
,则关于x的方程
?
2,x?0
f(x)?x
的解的个数为
?
1
?
x?
x
,x?[?2,?1 ),
?
1
?
例10 已知函数
f(x)?
?
?2,x?[?1,),

2
?1
?
1
x?,x?[,2].
?
x2
?
(1)求
f(x)
的值域
(2)设函数
g(x)?ax?2, x?[?2,2]
,若对于任意
x
1
?
[
?
2,2 ]
,总存在
x
0
?[?2,2]

使得
g
(
x
0
)
?f
(
x
1
)
成立,数
a
的取值围






















.


.
函数习题课(III)函数的单调性和最值
一、函数的单调性
(一)证明函数的单调性
必修一当中对于函数单调性的证明仅限于用定义证明,因此难度不是太大 ,经常在单调性
的证明过程中考察指对数运算,新定义的学习能力等。破解方法即熟练掌握证明方法,并 仔
细审题,通过题目给出的条件进行运算,拼凑定义。
常用的几种处理方法:因式分解,通分,分子有理化,配方,构造(抽象函数)
例1 证明函数
f(x)
?
x
?
2x
在区间上单调递增
(1,??)
例2 求函数
f(x)?
例3 求函数
f(x)?
2
x
在区间
(??,1)
上的单调性
x?1
x
在区间
(0,??)
上的单调性
3
例4 证明函数
f
(
x
)
?x?x

R
上 为增函数
例5 对任意
a,b?R
,函数
f(x)
都有
f(a?b)?f(a)?f(b)?1
,且当
x?0时,f(x)?1

求证:
f(x)

R
上为增函数
(二)利用函数的单调性解决问题
1.利用函数的单调性识图
在选择题中常出现一 些需要选择函数图像的题目,这时利用单调性进行排除就是一种很好
的方法。此类识图题目有几个关注点 :定义域,端点值,特殊值,单调性。
例6 函数
f
(
x
)
?x?
1
的图象大致是
1
2

2.利用函数的单调性比较大小
在选择题中也常出现一 些比较函数值大小的题目,这类题常利用函数在一些区间上的单调
性来解决。但题目往往不会仅用函数的 单调性便可以解决,常常需要结合函数的其他性质(如
奇偶性,周期性等)将自变量转换到同一个单调区 间中后,再进行比较。
例7 定义在R上的偶函数
f(x)
满足:对任意的
x
1
,
x
2
?
(
??
,0],(
x
1
?x
2
)
,有
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
,则当
n?N
*
时,求
f(?n),f(n?1),f(n? 1)
的大小关系
例8 已知函数
f
(
x
)?loga
x

?
0,??
?
上单调递增,试比较
f( ?2),f(1),f(3)
的大小关系
例9 定义在R上的奇函数
f(x),满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间
?
0,2
?
上是增函数,试
.


.
比较
f(?25),f(11),f(80)
的大小关系
3.利用函数的单调性解函数不等式
此类题目涉及的函数一般在题目中都会通过一些条件加以限制, 从而使它在需要进行求解
的围是单调的。因此解决此类题目只需要将单调性正确解出,再比较需要比较的 两个自变量
的大小关系即可。
例10 若偶函数
f(x)

?< br>??,0
?
上单调递减,求不等式
f(?1)?f(lgx)
的解集
1
例11 解不等式
log
a
(1?)?1

x
二、函数的最值
函数的最值作为函数在特定区间上的一个基本特征,在理解上没 有难点,因此在命题上也
很少单独考察,一般题目常以求最值为最终命题要求,实际考察函数的单调性, 奇偶性和周
期性等性质。
【方法技巧】求函数最值的方法:(1)利用已知函数的性质求函 数的最值:如二次函数;(2)
利用图象数形结合求函数的最值;(3)利用函数的单调性求函数的最值 ,这种情况下的函数
一般为连续函数,且求最值时给出的单调区间常为闭区间(暗示端点值可能为最值)
例12 已知函数
y?1?x?x?3
的最大值为M,最小值为m,求
m
的值
M
例13 求函数
y?
x
的最大值
x?1
例14 如果函数
f(x)
对任意的实数x,都有
f(1?x)?f(?x)
,且当
x?
1
时,
2
f(x)?log
2
(3x? 1)
,那么求函数
f(x)

?
?2,0
?
上的最 大值与最小值之和。
☆☆☆☆☆ Tip: 由于奇函数具有关于原点对称的性质,因此常常有最值 的奇函数,会出
现在求最大值和最小值之和的题目中,此时最大值和最小值之和为0. 因此题目问最大值和
最小值之和时,要注意函数的奇偶性,也许可以使运算更加简便。














.


.
函数习题课(IV)函数的奇偶性,周期性
这一部分应该是函数题目中的重头戏。涉及到函 数题目中的创新性题目,由于奇偶性和周
期性可以利用抽象函数表示,且表示的形式非常多样,奇偶性和 周期性特别受到命题人的青
睐。破解奇偶性和周期性相关题目的方法只有一个:熟练掌握相关的抽象性质 ,利用数形结
合法画出函数图像解题。
一、函数的奇偶性
【知识储备】1.偶函 数在定义域上必有
f(?x)?f(x)
,奇函数在定义域上必有
f(?x)??f( x)

2.上面两式还有等价形式:(1)偶函数
f(x)?f(?x)?0,奇函数
f(?x)?f(x)?0

(2)偶函数
f(?x)
f(?x)
?
1
,奇函数
??
1
,前两式均有
f (x)?0

f(x)
f(x)
3.判断函数奇偶性的步骤:(1)判断定 义域,具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称。
若某函数的定义域就不关于原点对称,那么此函数 一定不具备奇偶性。(2)根据定义式判断
函数的特征,注意一定要两个式子都进行验证,因为存在既奇 又偶函数,也存在非奇非偶函
数。
4.函数奇偶性的相关结论:(1)偶函数的和,差,商 ,积仍为偶函数;奇函数的和,差仍为
奇函数,但商,积为偶函数。奇函数和偶函数的商,积为奇函数。
(2)函数
f(x)

kf(x),(k?0)

1具有相同的奇偶性
f(x)
(3)***复合函数的奇偶性判断:偶则偶,奇同外。
题型示例:1.判断函数的奇偶性
这类题目一般使用定义法判断函数的奇偶性,但是需要特别注意既奇又偶函数。
2
例1 定 义两种运算:
a?b?a
2
?b
2

a?b?(a?b)< br>,判断函数
f(x)?
2?x
2?(x?2)
的奇偶性
?
1,x?Q
e
x
?1
例2 设
Q
为有 理数集,函数
f(x)?
?
,
g(x)?
x
,函数
?1,x?CQ
e?1
R
?
h(x)?f(x)?g(x)
的奇偶性
例3 若
f(x)
是R上周期为5的奇函数,且满足
f(1)?1,f(2 )?2
,求
f(3)?f(4)
的值
例4 函数
f(x)
的定义域为R,且满足:
f(x)
是偶函数,
f(x?1)
是奇函数,若< br>f(0.5)?9


f(8.5)
的值
例5 已知函数
f(x)
在(-1,1)上有定义,
f(
)
??
1
,当且仅当
0?x?1
时,
f(x)
<0,且
1
2
.


.
对任意
x,y?(?1,1)
都有
f(x) ?f(y)?f(
x?y
)
,试证明:
1?xy
(1)
f(x)
为奇函数;
(2)
f(x)
在定义域上单调递减
二、函数的周期性
【知识储备】1.如果存在非零常数T使得对函数定义域的任意x,都 有
f(x?T)?f(x)

则函数
f(x)
称为周期函数,
T
是其一个周期。
2. 关于函数周期性的一些变形结论:
(1) 若满足
f(x?a)?f(x?a)
,则函数
f(x)
为周期函数,且
T? 2a

(2) 若满足
f(x?a)??f(x)
,则函数
f(x )
为周期函数,且
T?2a

(3) 若满足
f(x?a)?1
,则函数
f(x)
为周期函数,且
T?2a

f(x )
1
,则函数
f(x)
为周期函数,且
T?2a

f(x)
(4) 若满足
f(x?a)??
(5) 若满足
f( x?a)?
1?f(x)
,则函数
f(x)
为周期函数,且
T?4a

1?f(x)
(6) 若满足
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)
,则函数
f(x)
为周期函数,且
T?6a

例6 已知
f(x)

R
上最小正周期为2的周期函数,且当
0?x?2
时,
f
(
x
)
?x?x

求函数
y?f (x)
的图象在区间
?
0,6
?
上与x轴的交点的个数。
例7 已知函数
f(x)

(??,??)
上的奇函数,且
f(x)
的图象关于
x?1
对称,当
x?
?
0,1
?
时,
f
(
x
)?2?1
,求
f(2009)?f(201 0)
的值
例8
f(x)
是定义在R上的偶函数,且对任意
x? R
,总有
f(x?2)??f(x)
成立,求
f(19)

三、函数的对称性
【知识储备】若函数
f(x)
满足
f(x?a)?f(? x?b)
,则函数
f(x)
具有对称性,关于直线
x
3
x?
a?b
对称
2
.

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