高中数学复合函数练习题

第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A
?
B，则y关
于x函 数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知
f(x)
的定义域，求
f
?
g(x)
?
的定义域
思路：设函数
f(x)
的定义域为 D，即
x?D
，所以
f
的作用范围为D，又f对
g(x)
作
用，作用范围不变，所以
g(x)?D
，解得
x?E
，E为
f
?
g(x)
?
的定义域。
例1. 设函数
f(u)的定义域为（0，1），则函数
f(lnx)
的定义域为_____________。
解析：函数
f(u)
的定义域为（0，1）即
u?(0，1)
，所以
f
的作用范围为（0，1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以
0?lnx?1

解得
x?(1，e)
，故函数
f(lnx)
的定义域为（1，e）
1
，则函数
f
?
f(x)
?
的定义域为_____ _________。
x?1
1
解析：先求f的作用范围，由
f(x)?< br>，知
x??1

x?1
例2. 若函数
f(x)?
即 f的作用范围为
?
x?R|x??1
?
，又f对f(x)作用
所以
f(x)?R且f(x)??1
，即
f
?
f(x)
?
中x应满足
?
?
x??1

f(x)??1
?
?
x??1
?
即
?
1
，解得
x??1且x??2
??1
?
x?1
?
故函数
f
?
f( x)
?
的定义域为
x?R|x??1且x??2

（2）、已知f
?
g(x)
?
的定义域，求
f(x)
的定义域 思路：设
f
?
g(x)
?
的定义域为D，即
x?D，由此得
g(x)?E
，所以f的作用范围为E，
又f对x作用，作用范围不变， 所以
x?E，E
为
f(x)
的定义域。
例3. 已知
f( 3?2x)
的定义域为
x??1，2
，则函数
f(x)
的定义域为_ ________。
解析：
f(3?2x)
的定义域为
?1，2
， 即
x??1，2
，由此得
3?2x??1，5

所以f的作用范围为
?1，5
，又f对x作用，作用范围不变，所以
x??1，5

??
??
??????
????
1

即函数
f(x)
的定义域为
?1，5

??
x
2
例4. 已知
f(x?4)?lg
2
，则 函数
f(x)
的定义域为______________。
x?8
2
x
2
x
2
解析：先求f的作用范围，由
f(x?4)?lg
2
，知
2
?0

x?8
x?8
2
解得< br>x
2
?4?4
，f的作用范围为
(4，??)
，又f对x作用 ，作用范围不变，所以
x?(4，??)
，即
f(x)
的定义域为
( 4，??)

（3）、已知
f
?
g(x)
?
的定义 域，求
f
?
h(x)
?
的定义域
思路：设
f?
g(x)
?
的定义域为D，即
x?D
，由此得
g(x )?E
，
f
的作用范围为E，
又f对
h(x)
作用，作用范 围不变，所以
h(x)?E
，解得
x?F
，F为
f
?
h(x)
?
的定义域。
x
例5. 若函数
f(2)
的定 义域为
?1，1
，则
f(log
2
x)
的定义域为____ ________。
??
x
x
解析：
f(2)
的定义域为
?1，1
，即
x??1，1
，由此得
2?
?
，2< br>?

?
2
?
????
?
1
?
?
1
?
f
的作用范围为
?
，2
?
?
2
?
?
1
?
?
?
又f对
l og
2
x
作用，所以
log
2
x?
?
，2
?
，解得
x?
2
即
f(log
2
x)的定义域为
?
2，4

?
?
2，4

?
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范
围是f 的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定
义域问题会有“得来 全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习：
2
1、 已知函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
，求函数
f(x)
的定义域。
答案：
[?1,1]

2、 已知函数
f(3?2x)
的定 义域为
[?3,3]
，求
f(x)
的定义域。
2

答案：
[?3,9]

3、 已知函数
y?f(x? 2)
的定义域为
(?1,0)
，求
f(|2x?1|)
的定义域。
13
(?,0)?(1,)
2
答案：
2
4、设
f
?
x
?
?lg
2?x
?
x
??
2
?
，则
f
??
?f
??
的定义域为（ ）
2?x
?
2
??
x
?
A.
?
?4,0
?
?
?
0,4
?
B.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?

C.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?
D.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?
< br>?
?2?
?
2?x
?
解：选C.由
?0
得，
f(x)
的定义域为
?
x|?2?x?2
?
。故
?
2?x
?
?2?
?
?
x
?2,
2
，解得
2
?2.
x
?
x
??
2
?
x?
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?
。故< br>f
??
?f
??
的定义域为
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?

?
2
??
x?
13x
5、已知函数
f(x)
的定义域为
x?(?,)
，求
g(x)?f(ax)?f()(a?0)
的定义域。
22a
33< br>?
1
?
1
??ax?,??x?,
??
?
2
?
2a22a
［解析］由已知，有
?

?
?
1x3
a3
?
???,
?
??x?a.
??
2< br>?
2a2
?
2
13
?x?}
；
22
1a
33
（2）当
?a
，即
0?a?1
时，有
? ??
，
2a2
2a2
a3
定义域为
{x|??x?a}
；
22
331a
（3）当
?a
，即
a?1
时，有
? ??
，
2a22a2
13
定义域为
{x|??x?}
.
2a2a
13
故当
a?1
时，定义域为
{x|??x?}< br>；
2a2a
a3
当
0?a?1
时，定义域为
{x| ??x?a}.

22
（1）当
a?1
时，定义域为
{x| ?
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字
母的方 法。

3

三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数
y?f(g(x))
.若
u?g(x)< br>在区间
(a,b
）上是减函数，其值域为(c，d)，又
函数
y?f (u)
在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数
y?f(g(x))
在区间< br>(a,b
）上
是增函数.
证明：在区间
(a,b
）内任取 两个数
x
1
,x
2
，使
a?x
1
?x2
?b

因为
u?g(x)
在区间
(a,b
） 上是减函数，所以
g(x
1
)?g(x
2
)
,记
u
1
?g(x
1
)
,
u
2
?g(x
2
)
即
u
1
?u
2,
且u
1
, u
2
?(c,d)

因为函数
y?f(u)
在区间(c,d )上是减函数，所以
f(u
1
)?f(u
2
)
,即
f(g(x
1
))?f(g(x
2
))
，
故函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b
）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
y?f(u)

u?g(x)

y?f(g(x))

增 ↗
增 ↗
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
减 ↘
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数
y?f(g(x))
的单调性判断步骤：
ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：
y?f(u)
与
u?g(x)
。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性 相同（即都是增函数，或都是减函数），则复
合后的函数
y?f(g(x))
为增函数 ； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是
增函数，而另一个是减函数），则复合后的函 数
y?f(g(x))
为减函数。
（4）例题演练
例1、 求函数
y?log
1
(x?2x?3)
的单调区间，并用单调定义给予证明
2
2
4

解：定义域
x?2x?3?0?x?3或x??1

单调减区间是
(3,??)
设
x
1
,x
2
?(3,??)且x
1
?x
2
则
2
y
1
?log
1
(x
1?2x
1
?3)

y
2
?log
1(x
2
?2x
2
?3)

2
2
22< br>2
(x
1
?2x
1
?3)?
(x
2
?2x
2
?3)
=
(x
2
?x
1
)(x< br>2
?x
1
?2)

∵
x
2
?x
1
?3
∴
x
2
?x
1
?0

x
2
?x
1
?2?0

∴
(x
1
?2x
1
?3)
>
(x
2
?2x
2
?3)
又底数
0?
∴
y
2
?y
1
?0
即
y
2
?y
1

∴
y
在
(3,??)
上是减函数
2
2
2
1
?1

2
同理可证：
y
在
(??,?1)
上是增函数
［ 例］2、讨论函数
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
的单调性.
［解］由
3x
2
?2x?1?0
得函数的定义域为
1
{x|x?1,或x??}.

3
则当
a?1
时 ，若
x?1
，∵
u?3x
2
?2x?1
为增函数，∴
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
为增
函数.
若
x??
1
，∵
u?3x
2
?2x?1
为 减函数.
3
1
，则
3
∴
f(x)?log
a(3x
2
?2x?1)
为减函数。
2
)
为减函数，若
x??
当
0?a?1
时，若
x?1
，则
f(x)? log
a
(3x?2x?1
2
f(x)?log)
为增函数. a
(3x?2x?1
例3、.已知y=
log
a
(2-
a
)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2-
a
>0是减函数
由y=
log
a
(2-
a
)在［0，1］上x的减函数， 知y=
log
a
t是增函数，
∴a＞1
由x
?
［0，1］时，2-
a
?
2-a＞0,得a＜2,
∴1＜a＜2
当0a
>0是增函数
x
x
x
x
x
由y=
log
a
( 2-
a
)在［0，1］上x的减函数，知y=
log
a
t是减函数，
∴0x
5

由x
?
［0，1］时，2-
a
x
?
2-1＞0, ∴0综上述，0例4
、
已知函数
f(x?2)? ax
2
?(a?3)x?a?2
（
a
为负整数）的图象经过点
(m?2,0),m?R
，设
g(x)?f[f(x)],F(x)?pg(x)?f(x)
.问是否存在实数
p(p?0)
使得
F(x)
在区间
(?? ,f(2)]
上是减函数，且在区间
(f(2),0)
上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知
f(m?2)?0
，得
am
2
?(a?3) m?a?2?0
，
其中
m?R,a?0.
∴
??0
即
3a
2
?2a?9?0
，
解得
1?271?27
?a?.

33
∵
a
为负整数，∴
a??1.

∴
f (x?2)??x
?
?4x?3??(x?2)
2
?1
，
即
f(x)??x
2
?1.

g(x)?f[f(x)]??(x?1)?1??x?2x
，
∴
F(x) ?pg(x)?f(x)??px
4
?(2p?1)x
2
?1.
< br>假设存在实数
p(p?0)
，使得
F(x)
满足条件，设
x< br>1
?x
2
，
2
?x
2
)[?p(x
2
?x
2
)?2p?1].
∴
F(x
1
)?F (x
2
)?(x
1212
2242
∵
f(2)??3
，当
x
1
,x
2
?(??,?3)
时，
F(x)
为减函数，
2
?x
2
?0,?p(x
2
?x2
)?2p?1?0.
∴
F(x
1
)?F(x
2)?0
，∴
x
1212
2
?x
2
?18
, ∵
x
1
??3,x
2
??3
,∴
x
12
2
?x
2
)?2p?1??16p?1
, ∴
?p(x
12
∴
?16p?1?0.
①
当
x
1
,x
2
?(?3,0)
时,
F(x)
增函数,∴
F(x
1
)?F(x
2
)?0.

2< br>?x
2
?0
,∴
?p(x
2
?x
2
)?2p?1??16p?1
, ∵
x
1212
∴
?16p?1?0
.
由①、②可知
p??
②
11
，故存在
p??.

16
16
（5）同步练习：
1．函数
y
＝
log
1
（
x
2
－3
x
＋2）的单调递减区间是（ ）
2
A．（－∞，1）
C．（－∞，






B．（2，＋∞）
D．（
3
）
2
3
，＋∞）
2
解析：先求函数定义域为（－
o
，1）∪（2，＋∞），令
t
（
x
）＝
x
2
＋3< br>x
＋2，函数
t
（
x
）
在（－∞，1）上单调递减， 在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函
数
y
＝
log
1
（
x
2
－3
x
＋2）在（2，＋∞）上单调递减 ．
2
6

答案：B
2找出下列函数的单调区间.
（1）
y?a
?x
（2）
y ?2
2
?3x?2
(a?1)
；
.

?x
2
?2x?3
答案：(1)在
(??,]
上是增函数，在
[,?? )
上是减函数。
（2）单调增区间是
[?1,1]
，减区间是
[1,3]
。
3、讨论
y?log
a
(a?1),(a?0,且a?0)
的单调性。 < br>答案：
a?1,
时
(0,??)
为增函数，
1?a?0
时，
(??,0)
为增函数。
4．求函数
y
＝
log< br>1
（
x
2
－5
x
＋4）的定义域、值域和单调区间．
3
x
3
2
3
2
解：由
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4＞0，解得
x
＞ 4或
x
＜1，所以
x
∈（－∞，1）∪（4，＋∞），
当
x
∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛
?
｜
?
＝
x
2
－5
x
＋4｝＝R，所以函数的值域是R．因
＋＋
为函数
y
＝
log
1
（
x
2
－5
x
＋4） 是由
y
＝
log
1
33
?
（
x
） 与
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4复 合而成，函
5
2
数
y
＝
log
1
3
?
（
x
）在其定义域上是单调递减的，函数
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4在（－∞，）
5
，＋∞］上 为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，
y
＝
log
1
2
3
上为减函数，在［
（
x
2
－5
x
＋4） 的增区间是定义域内使
y
＝
log
1
3
?
（
x
）为减函数、
?
（
x
）＝
x
2
－5< br>x
＋4也
?
为减函数的区间，即（－∞，1）；
y
＝
log
1
（
x
2
－5
x
＋4）的减区间是定义域内 使
y
＝
log
1
33
（
x
）为减函数、< br>?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4为增函 数的区间，即（4，＋∞）．


变式练习
一、选择题
1．函数
f
（
x
）＝
log
1
(x－1)
的定义域是（ ）
2
A．（1，＋∞） B．（2，＋∞）
7

C．（－∞，2） D．
(1，2]

解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
?
x－1＞0
?
所以
?
log(x－1)
?
0
解得1＜
x
≤2．
1
?
?
2
答案：D
2．函数
y
＝
log
1
（
x
2
－3
x
＋2）的单调递 减区间是（ ）
2


A．（－∞，1）
C．（－∞，






B．（2，＋∞）
D．（
3
）
2
3
，＋∞）
2
解析：先求函数定义域为（－
o
，1）∪（2，＋∞），令
t
（
x
）＝
x
2
＋3
x
＋2，函数
t
（
x
）
在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合 函数同增异减的原则，函
数
y
＝
log
1
（
x2
－3
x
＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
2
答案：B
3．若2
lg
（
x
－2
y
）＝
lg< br>x
＋
lg
y
，则


A．4






C．1或4
y
的值为（ ）
x
1
B．1或
4
1
D．
4
y
x
错解：由2
lg
（
x
－2
y
）＝
lg
x
＋
lg< br>y
，得（
x
－2
y
）
2
＝
xy，解得
x
＝4
y
或
x
＝
y
，则有＝
1
x
或＝1．
4
y
答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即
x
－2
y
＞0，所以
x
＞2
y
．所以
x
＝
y
舍
掉．只有
x
＝4
y
．
答案：D
4．若定义在区间（－1，0） 内的函数
f
（
x
）＝
log
2a
（
x＋1）满足
f
（
x
）＞0，则
a
的取值范围为（ ）
A．（0，
1
）
2
B．（0，
1
）
2
8

C．（
1
，＋∞）
2
D．（0，＋∞）
解析：因为
x
∈（－1，0），所以
x
＋1∈（0，1）．当
f
（x
）＞0时，根据图象只有0＜
2
a
＜l，解得0＜
a
＜
答案：A
5．函数
y
＝
lg
（


1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．
2
2
－1）的图象关于（ ）
1－x








B．
x
轴对称
D．直线
y
＝
x
对称
A．
y
轴对称
C．原点对称
解析：
y
＝
lg
（
21＋x 1＋x1＋x
－1）＝
lg
，所以为奇函数．形如
y
＝
lg
或
y
＝
lg
1－x1－x1－x1－x
的函数都为奇函数．
答案：C
二、填空题
已知
y
＝
loga
（2－
ax
）在［0，1］上是
x
的减函数，则
a< br>的取值范围是__________．
解析：
a
＞0且
a
≠1
?
?
（
x
）＝2－
ax
是减函数，要使y
＝
log
a
（2－
ax
）是减函数，
则a
＞1，又2－
ax
＞0
?
a
＜
答案：
a
∈（1，2）
7．函数
f
（
x
）的 图象与
g
（
x
）＝（
的单调递减区间为______．
解析：因为
f
（
x
）与
g
（
x
）互为反函 数，所以
f
（
x
）＝
log
1
x

3
2
（0＜
x
＜1）
?
a
＜2，所以
a
∈（1，2）．
3
1
x
）的图象关于直线
y
＝< br>x
对称，则
f
（2
x
－
x
2）
3< br> 则
f
（2
x
－
x
2
）＝
log
1
（2
x
－
x
2
），令
?
（x
）＝2
x
－
x
2
＞0，解得0＜
x
＜2．
3


］在（0，1）上单调递减；
?
（< br>x
）＝2
x
－
x
2
在（0，1）上单调递增，则f
［
?
（
x
）
］在［1，2）上单调递增．
?
（
x
）＝2
x
－
x
2
在（1，2）上单 调递减，则
f
［
?
（
x
）
所以
f（2
x
－
x
2
）的单调递减区间为（0，1）．
答案：（0，1）
8．已知定义域为R的偶函数
f
（
x
）在［ 0，＋∞］上是增函数，且
f
（
则不等式
f
（l
og
4
x
）的解集是______．
1
）＝0，
2
9

11）＝
f
（）＝0．又
f
（
x
）在［0，＋∞］
22
1
上是增函数，所以
f
（
x
）在（－∞，0）上是减函 数．所以
f
（l
og
4
x
）＞0
?
log
4
x
＞或l
og
4
x
2
1
＜－．
2
1
解得
x
＞2或0＜
x
＜．
2
1
答案：
x
＞2或0＜
x
＜
2
解析：因为
f
（
x
）是偶函数，所以
f
（－
三、解答题
9．求函数
y
＝
log
1
（
x< br>2
－5
x
＋4）的定义域、值域和单调区间．
3
解：由
?
（
x
）＝
x
2－5
x
＋4＞0，解得< br>x
＞4或
x
＜1，所以
x
∈（－∞，1）∪（4，＋
∞），当
x
∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛
?
｜
?
＝< br>x
2
－5
x
＋4｝＝R，所以函数的值域是R
＋
＋< br>．因为函数
y
＝
log
1
（
x
2
－ 5
x
＋4）是由
y
＝
log
1
33
?（
x
）与
?
（
x
）＝
x
2
－ 5
x
＋4复合而成，
5
2
函数
y
＝
log
1
3
?
（
x
）在其定义域上是单调递减的，函数
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4在（－∞，）< br>5
，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，
y
＝
log
1
2
3
上为减函数，在［
（
x
2
－ 5
x
＋4）的增区间是定义域内使
y
＝
log
1
3
?
（
x
）为减函数、
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4也
?
为减函数的区间，即（－∞，1）；< br>y
＝
log
1
（
x
2
－5
x
＋4）的减区间是定义域内使
y
＝
log
1
33
（
x
）为减函数、
?
（
x
）＝
x
2
－5< br>x
＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
10．设函数
f
（< br>x
）＝
23－2x
＋
lg
，
3x＋53＋2x
（1）求函数
f
（
x
）的定义域；
（2）判断函数
f
（
x
）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数
f
（
x
）的反函数
f
1
（
x
），问函数
y
＝
f
1
（
x
）的图象与< br>x
轴有交点吗?
－－
若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．
解：（1）由3
x
＋5≠0且
＜
3－2x5333
＞0，解得
x
≠－且－＜
x
＜．取交集得－＜
x
3＋2x3222
3
．
2
10

（2）令
?
（
x
）＝3
x
＋5，随着
x
增大，函数值减小，所 以在定义域内是减函数；
3－2x6
＝－1＋随着
x
增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
3＋2x3＋2x
3－2x
又
y
＝lg
x
在定 义域内是增函数，根据复合单调性可知，
y
＝
lg
是减函数，所以
f
3＋2x
23－2x
（
x
）＝＋
lg
是减函数．
3x＋53＋2x

（3）因为直接求
f
（
x
）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间
定义域与值域的关系求解．
设函数
f
（
x
）的反函数
f
1
（
x
）与工轴的交点为（
x
0
，0）．根据函数与反函数之间定义
－
域 与值域的关系可知，
f
（
x
）与
y
轴的交点是（0，
x
0
），将（0，
x
0
）代入
f
（
x< br>），解得
x
0
＝

一．
指数函数与对数函数


．同底的指数函数
y?a
与对数函数
y?log
a
x
互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；
3． 比较几个数的大小的常用方法有：①以
0
和
1
为桥梁；②利用函数的单调性； ③作差．
（三）例题分析：
x
22
－
．所以函数
y＝
f
1
（
x
）的图象与
x
轴有交点，交点为（ ，0）。
55
b
，
log
b
a
，
log
a
b
从小到大依次为 ；
a
xyz
（2）若
2?
且
x
，则
2x
，
5z
从小到大依次为 ；
35?
，
3y
，
y
，
z
都是正数，
（3）设
x?0
，且
a
x
?b
x
?1
（
a?0
，
b? 0
），则
a
与
b
的大小关系是 （ ）
（
A
）
b?a?1
（
B
）
a?b?1
（
C
）
1?b?a
（
D
）
1?a?b

bb
解：（1）由
a
2
?b?a?1
得
?a
，故
log
b
?
log
b
a
?1?
lo g
a
b
．
aa
lgtlgtlgt
（2）令
2
x
?3
y
?5
z
?t
，则
t?1
，
x?
，
y?
，
z?
，
lg2lg3lg5
2lgt3lgtlgt?(lg9?lg8)
∴
2x?3y????0
，∴
2x?3y
；
lg2lg3lg2?lg3
同理可得：
2x?5z?0
，∴
2x?5z
，∴
3y?2x?5z
．（3）取
x?1
，知选（B
）．
x?2
例2．已知函数
f(x)?a
x
?(a?1)
，
x?1
求证：（1）函数
f(x)
在
( ?1,??)
上为增函数；（2）方程
f(x)?0
没有负数根．
证明：（1）设
?1?x
1
?x
2
，
x?2x? 2
x
则
f(x
1
)?f(x
2
)?a
1< br>?
1

?a
x
2
?
2
x
1
?1x
2
?1
x?2x
2
?23(x
1
? x
2
)
，
?a
x
1
?a
x
2< br>?
1
??a
x
1
?a
x
2
?
x
1
?1x
2
?1(x
1
?1)(x
2
?1)
例1．（1）若
a
2
?b?a?1
，则
log
b
11

∵
?1?x
1
?x
2
，∴
x
1
?1?0
，
x
2
?1 ?0
，
x
1
?x
2
?0
，
∴
3(x
1
?x
2
)
?0
；
( x
1
?1)(x
2
?1)
∵
?1?x
1
? x
2
，且
a?1
，∴
a
x
1
?a
x
2
，∴
a
x
1
?a
x
2
?0< br>，
∴
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，即< br>f(x
1
)?f(x
2
)
，∴函数
f(x)
在
(?1,??)
上为增函数；
（2）假设
x
0
是方程< br>f(x)?0
的负数根，且
x
0
??1
，则
a
0
?
即
a
x
0
x
x
0
?2
?0
， < br>x
0
?1
2?x
0
3?(x
0
?1)
3
???1
， ①
x
0
?1x
0
?1x
0
?1
33
当
?1?x
0
?0
时，
0?x
0
?1?1
，∴
?3
，∴
?1?2
，而由
a?1
知
a
x
0
?1
，
x
0
?1x
0
?1
?
∴①式不成立；
当
x
0
??1
时，
x
0
?1?0
，∴
33
?0
，∴
?1??1
，而< br>a
x
0
?0
，
x
0
?1x
0
?1
∴①式不成立．
综上所述，方程
f(x)?0
没有负数根．
例3．已知函数
f(x )?log
a
(a
x
?1)
（
a?0
且
a ?1
）．（《高考
A
计划》考点15，例4）．
求证：（1）函数
f(x)
的图象在
y
轴的一侧；
（2）函数
f(x)
图象上任意两点连线的斜率都大于
0
．
证明： （1）由
a
x
?1?0
得：
a
x
?1
，
∴当
a?1
时，
x?0
，即函数
f(x)
的定义域 为
(0,??)
，此时函数
f(x)
的图象在
y
轴的右侧；
当
0?a?1
时，
x?0
，即函数
f(x)的定义域为
(??,0)
，此时函数
f(x)
的图象在
y
轴
的左侧．
∴函数
f(x)
的图象在
y
轴的一侧； < br>（2）设
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
是函数
f(x)
图象上任意两点，且
x
1
?x
2
，
a
x
1
?1
y< br>1
?y
2
x
1
x
2
则直线
AB的斜率
k?
，
y
1
?y
2
?log
a
(a?1)?log
a
(a?1)?log
a
x
，
2
a?1
x
1
?x
2
当
a?1
时，由（ 1）知
0?x
1
?x
2
，∴
1?a
1
?a
2
，∴
0?a
1
?1?a
2
?1
， xxxx
a
x
1
?1
?1
，∴
y
1< br>?y
2
?0
，又
x
1
?x
2
?0< br>，∴
k?0
； ∴
0?
x
a
2
?1
xxxx
当
0?a?1
时，由（1）知
x
1
?x
2
?0
，∴
a
1
?a
2
?1
，∴
a
1
?1?a
2
?1?0
，
a
x
1
?1
?1
，∴
y
1
?y
2
?0
，又x
1
?x
2
?0
，∴
k?0
． ∴
x
2
a?1
∴函数
f(x)
图象上任意两点连线的斜率都大于
0
．

12