高中数学讲义 函数的图像

努力的你，未来可期!
微专题06
函数的图像
一、基础知识
1、做草图需要注意的信息点：
做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过 草图能够显示出函数的性质。在作
图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数， 可通过对导函数的符
号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详 见“知
识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常
见函数为 例，来说明作图时常体现的几个信息点
（1）一次函数：
y?kx?b
,若直线不与 坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定
直线
特点：两点确定一条直线
信息点：与坐标轴的交点
（2）二次函数：
y?a
?
x?h
?
?k
，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧
的图像，另一侧由对 称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则
标出交点坐标可使图像更为精确
特点：对称性
信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点
（3）反比例函数：
y?
2
1
,其定义域为
?
??,0
?
U
?
0,??
?
，是奇函数，只需做出正版轴图像
x
即可（负半轴依靠对 称做出），坐标轴为函数的渐近线
特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线
信息点：渐近线
注：
（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交， 则称这条直线为渐近线。渐近线
在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中 ，
x
轴是渐近线，那
么当
x???
，曲线无限向
x
轴接近，但不相交，则函数在
x
正半轴就不会有
x
轴下方的部分。
（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若
x???
（或
??
）时 ，
f
?
x
?
?
常数
C
，则称直线
y?C
为函数
f
?
x
?
的水平渐近线
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
例如：
y?2
当
x???
时，
y???
，故在
x
轴正方向不存在渐近线
当
x???
时，
y?0
，故在
x
轴负方向存在渐近线
y?0

（3）竖直渐近线的判定：首先
f< br>?
x
?
在
x?a
处无定义，且当
x?a
时，
f
?
x
?
???
（或
??
），
那 么称
x?a
为
f
?
x
?
的竖直渐近线
例 如：
y?log
2
x
在
x?0
处无定义，当
x?0
时，
f
?
x
?
???
，所以
x?0
为
y?log
2
x
的
一条渐近线。
综上所述：在作图时 以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与
对称中心；极值点；渐近线。 < br>例：作出函数
f
?
x
?
?x?
x
1
的图像
x
故分析：定义域为
?
??,0
?
U
?< br>0,??
?
，且
f
?
x
?
为奇函数，
先考虑
x
正半轴情况。
f
'
?
x
?
? 1?
1
?0
故函数单调递增，
x
2
2
f
' '
?
x
?
??
3
?0
，故函数为上凸函数，当x???
时，
x
f
?
x
?
???
无水 平渐近线，
x?0
时，
f
?
x
?
???
， 所以
y
轴为
f
?
x
?
的竖直渐近线。零
点 ：
?
1,0
?
，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到
f
?
x
?
完整图像：
2、函数图象变换：设函数
y?f< br>?
x
?
，其它参数均为正数
（1）平移变换：
f
?
x?a
?
：
f
?
x
?
的图像向左平移< br>a
个单位
f
?
x?a
?
：
f
?< br>x
?
的图像向右平移
a
个单位
f
?
x?
?b
：
f
?
x
?
的图像向上平移
a
个单位
f
?
x
?
?b
：
f
?< br>x
?
的图像向下平移
a
个单位
（2）对称变换：
f
?
?x
?
：与
f
?
x
?
的图像 关于
y
轴对称
?f
?
x
?
：与
f
?
x
?
的图像关于
x
轴对称
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
?f
?
?x
?
：与
f
?
x
?
的图像关于原点对称
（3）伸缩变换：
1
?
k?1：收缩

f
?
kx
?
：
f
?
x
?
图像纵坐标不变，横坐标变为原来的
?
k
?
0?k?1：拉伸
kf
?
x
?
：
f
?
x
?
图像横坐标不变，纵坐标变为原来的
k倍
?
（4）翻折变换：
?
k?1：拉伸
?
0?k?1：收缩

?
?
f
?
x
?
,x?0
即正半轴的图像不变，负半 轴的原图像不要，换上与正半
f
?
x
?
：
f
?x
?
?
?
f?x,x?0
?
?
??
轴 图像关于
y
轴对称的图像
?
?
f
?
x
?
,f
?
x
?
?0
即
x
轴上方的图像不变， 下方的图像沿
x
轴对称的翻上
f
?
x
?
：
f
?
x
?
?
?
?
?
?f
?
x
?
,f
?
x
?
?0
去。
3、二阶导函数与函数的凹凸性：
（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况，
若一个函数的增减图像为 则称函数为下凸函数

若一个函数的增减图像为 则称函数为上凸函数

（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快
下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢
（3）与导数的关系：设
f
'
，如图所示：增长
?
x
?
的导函数为
f
''
?
x
?
（即
f
?
x
?
的二 阶导函数）
'
速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随
x
的 增大而增大，即
f
函数
?f
''
?
x
?
为 增
?
x
?
?0
；上凸函数随
x
的增大而减小，即< br>f
'
?
x
?
为减函数
?f
''
?< br>x
?
?0
；
综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。
二、方法与技巧：
1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找 四个选项的不同，
再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
（1）单调性：导函 数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于
x
轴上方的区域表示原函
数的单调增区 间，位于
x
轴下方的区域表示原函数的单调减区间
（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分
（3）极值点
（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察
（5）函数的凹凸性：导函数的单调性 决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部
分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶 导函数确定
2、利用图像变换作图的步骤：
（1）寻找到模板函数
f
?< br>x
?
（以此函数作为基础进行图像变换）
（2）找到所求函数与
f
?
x
?
的联系
（3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。
例如：作图：
y?ln
?
x?1
?

第一步寻找模板函数为：
f
?
x
?
?lnx

第二步寻找联系：可得
y?f
?
x?1
?

第三步 制定策略：由
f
?
x?1
?
特点可得：先将
f
?< br>x
?
图像向左平移一个单位，再将
x
轴下方
图像向上进行翻折 ，然后按照方案作图即可
3、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换
② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
例如：
y?f
?
3x?1
?
：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤

y? f
?
?x
?
?2
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称 变换，纵坐标的为
平移变换
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐 标还是纵坐标的变换后，在
安排顺序时注意以下原则：
① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求
② 横坐标的多次变换中，每次变换只有
x
发生相应变化
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
例如：
y?f
?
x
?
?y?f
?
2x?1
?
可有两种方案
方案一：先平移（ 向左平移1个单位），此时
f
?
x
?
?f
?
x?1
?
。再放缩（横坐标变为原来的
1
），此时系数
2
只是添给
x
，即
f
?
x?1
?
?f
?
2x ?1
?

2
1
方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时
f
?
x
?
?f
?
2x
?
，再平移时，若平 移
a
个单
2
11
位，则
f
?
2x
?
?f
?
2
?
x?a
?
?
?f
?
2x?2a
?
（只对
x
加
a
），可解得
a ?
，故向左平移
22
个单位
③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行
例如：
y?f
?
x
?
?y?2f
?
x
?
?1
有两种方案
方案一：先放缩：
y?f
?
x
?
?y?2f
?
x< br>?
，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，
即
y?2f
?x
?
?y?2f
?
x
?
?1

方案二 ：先平移：
y?f
?
x
?
?y?f
?
x
?
?1
，则再放缩时，若纵坐标变为原来的
a
倍，那么
??
y ?f
?
x
?
?1?y?a
?
f
?
x
?
?1
?
，无论
a
取何值，也无法达到
y?2f
?
x
?
?1
，所以需要对
前一步进行调整：平移
4、变换作 图的技巧：
（1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同 方
向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性
（2）图像变换后要将 一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与
y
轴的交点等
三、例题精析：
例1：己知函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
，其导 数
f
32'
1
个单位，再进行放缩即可（
a?2
）
2
?
x
?
的图象如图所示，则函数
f
?
x
?
的极大
值是（ ）
A.
a?b?c
B.
8a?4b?c
C.
3a?2b
D.
c

思路：由图像可知：
x?
?
0,2
?< br>时，
f
'
?
x
?
?0
,
f
?
x
?
单调递增，
x?
?
2,??
?
时，
f
'
?
x
?
?0
,
f
?
x
?
单调递减，所以
f
?
x
?
的极大值为
f
?
2
?
?8a?4b?c

答案：B
小炼有话 说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在
x
轴的上方还是下方，导函
拼 搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
数的符号决定原函数的单调性
例2：设函数
y?f(x)
可导，
y?f(x)
的图象如图所示，则 导函数
y?f
?
(x)
的图像可能为
（ ）
y
y
y
y y
O
图1

x
O
A
x
O
x
O
C
x
O
D
'
x
B

思路：根据原函数的图像可得：
f
?
x
?
在
?
??,0
?
单调递增，在正 半轴先增再减再增，故
f
在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选 项只有D符合
答案：D
?
x
?
小炼有话说：本题可直接由导函数 的符号来排除其他选项，若选项中也有符合D中“ 负半轴
的符号为正，在正半轴的符号依次为‘正负正 ’”，那么可观察第二条标准：从图上看在
x
负半
轴中，函数增长的速度越来越快，则 说明切线斜率随
x
的增大而增大，进而导函数在
x
负半轴
也单调递增 ，依次类推可得到正半轴的情况，D选项依然符合特征
例3：函数
f
?
x
?
?ex?1
的部分图象为（ ）
x2

思路：
f
'
?
x
?
? e
x
x
2
?e
2
?
2x
?
?x< br>?
x?2
?
e
x
，可得
f
?
x?
在
?
??,?2
?
,
?
0,??
?
单调递增，在
2x
x
2
?
?2,0
?
单调 递减，且可估计当
x???
，
xe?
?x
?0
即
f
?
x
?
??1
，所以
y??1
为函
e数
f
?
x
?
的渐近线，当
x???,y???
由此可判断出图像
A
正确
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
答案：A
小炼有话说：（1）本题考查的是 通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通
过单调性也可排除其他三个选项
x
2
2?x
（2）关于渐近线的判断：对于
x???
，
xe?
?x
?0
可这样理解，
x???
时，
x,e
e2x
均趋向正无穷，但
e
?x
的速度更快，进而伴随着
x???
，
e
?x
将远远大于
x
，进而比值趋于
2
0，当
x???
,增长速度的排名为：直线（一次函数）<二次函数<指数函数
例4：函数
f
?
x
?
?
y

xln|x|
的图像可能是（ )
|x|
y

y

y

O

?1

A

1

x

O

?1

B

1

x

?1

O

1

x

?1

O

1

x


C

D

思路：观察解析式可判断出
f
?
x
?
?
故选择B
答案：B
小炼有话说：
f
?
x
?
?
xl nx
为奇函数，排除A,C. 当
x?0
时，
f
?
x
?
?0?lnx
,
x
xln|x|
有两点可以优先观察：一个是奇 偶性，则图像具有对称性，只
|x|
需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用
x
的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的
解析式。
例5（2015 浙江文）：函 数
f
?
x
?
?
?
x?
?
?
1
?
?
cosx
?
?
?
?x?
?
,x?0
?
的图像可能为（ ）
x
?
思路：观察4个选项 的图像，其中A，B图像关于
y
轴对称，C,D图像关于原点中心对称。所
以先判断函 数奇偶性，可判断出
f
?
?x
?
?
?
?x?
?
?
1
?
1
??
cos?x??x?
??
???
cosx??f
?
x
?

x
?
x
??
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
所以
f
?
x
?为奇函数，排除A，B，再观察C,D的区别之一就是
f
?
?
?
的符号，经过计算可得
1
?
1
?
f
?
?
?
?
?
?
?
?
cos
?
??
??0
，所以排除C
?
?
?
?
答案：D
例6 ：已知
f
?
x
?
?
1
2
?
??
x?sin
?
?x
?
,
f
?
?x
?
为
f
?
x
?
的导函数，则
f?
?
x
?
的图像是( )
4
?
2
?

思路：
f
?
x
?
?
1
1
2
?
?
?
1
x?si n
?
?x
?
?x
2
?cosx
，
f'?
x
?
?x?sinx
，可判断
f
'
?
x
?
为奇
4
2
?
2
?
4
'函数，图像关于原点中心对称，排除
B,D
。因为
f
?
除
C
。故
A
正确。
答案：A
小炼有话说：
f
'
?
1
?
?
?
?
?
1
?
?
???sin??1
???
?0
，排
626626
????
?
x
?
?
1
x?sinx
可优先判断出奇偶性，进 而排除一些选项，对于
A,C
选项
2
'
而言，其不同之处有两点，一 点是从
x?0
处开始的
f
?
x
?
符号，解析的思路 也源于此，但需
要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在
x
轴正半轴中靠近
y
轴的函数值小于零，从而选
择最接近0的特殊角
'
?
'
，除此之外，
A,C
图像的不同之处还在于从
x?0
开始时
f
?
x
?
的单
6
1
?
?
?
?co sx
，则
x?
?
0,
?
时，
f
''
?
x
?
?0
，即
f
'
?
x
?< br>2
?
3
?
调性，所以也可对
f
?
x
?
求导，
f
''
?
x
?
?
应先减再增。所 以排除C
例7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是
．．．．．
( )
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

A．①② B．③④ C．①③ D．①④
思路：如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与 对应的导数的符号是正确的，即
单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间< br>?
0,b
?
上导函数的值为
负值，而该区间上的函数图象显示不单调， 二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在区
间
?
a,b
?
上导函 数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所
以不正确.故选B.
答案：B
小炼有话说：要注意导函数图像与原函数图像的联系：导函数的符号与原函数的单调 性相对
应，导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。

例8：已知
R
上可导函数
f
?
x
?
的图象如图所示，则不等式
x
2
?2x?3f
'
?
x
?
?0
的解集为
( )
??

A.
?
??,?2
?
U< br>?
1,??
?
B.
?
??,?2
?
U
?
1,2
?

C.
?
??,?1
?
U
?
?1,0
?< br>U
?
2,??
?
D.
?
??,?1?
U
?
?1,1
?
U
?
3,??
?< br>
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!
思路：由图 像可得：
x?
?
??,?1
?
,
?
1,??
?
时，
f
'
?
x
?
?0
，
x?
?
?1,1
?
时，
f
'
?
x
?< br>?0
，所以
22
?
?
x?2x?3?0
?
?
x?2x?3?0
所解不等式为：
?
'
或
?
'，可得：
?
??,?1
?
U
?
?1,1
?U
?
3,??
?

??
?
f
?
x
?
?0
?
f
?
x
?
?0
答案 ：D
22
例9：函数
f
?
x
?
?x
3< br>?bx
2
?cx?d
的大致图象如图所示,则
x
1
? x
2
等于( )

A.
810164
B. C. D.
9995
思路：由图像可得：
x
1
,x
2
为
f
?
x
?
的极值 点，
x??1,x?0,x?2
为函数的零点
f
'
?
x< br>?
?3x
2
?2bx?c
,即
x
1
,x2
是方程
3x
2
?2bx?c?0
的两个根，
?x1
?x
2
??
4b
2
2c
c
2
22
?
,
x
1
x
2
?
,
?x
1
?x
2
?
?
x
1
?x
2
?
?2x
1
x
2
?
93
3
2b
,

3
?
f
?
?1
?
?0
??1?b?c?d?0
?
b??1
?
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由
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f
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2
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8?4b?2c?d?0?
?< br>c??2

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d?0
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x
1
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2
?
2
1
2
2
2
4b
2
2c16
?2x
1
x
2
???

939
答案：C
小炼有话说：在观察一个函数图像时，有几个地方值得关注：
极值点——单调区间的分界点，导函数的零点；
零点——函数符号的分界点；
单调性——决定导函数的符号。
例10：（2015 安徽）函数
f
?x
?
?
ax?b
?
x?c
?
2
的图像 如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.
a?0,b?0,c?0
B.
a?0,b?0,c?0

C.
a?0,b?0,c?0
D.
a?0,b?0,c?0

思路：观察函数图像突出的特点便可确定
a ,b,c
的符号：
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期! < br>特点1：渐近线在
x
正半轴，从解析式可知
f
?
x
?
的竖直渐近线为
x?c?0
即
x??c
，所以
?c?0?c ?0

特点2：
x???
时，
f
?
x
?
仍大于0，通过解析式可得
f
?
x
?
的符号由
a x?b
决定，所以从
“
x???
时，
f
?
x
?
仍大于0”中可推断出
a?0

特点3：图像与
y
轴 交点纵坐标为正，
f
?
0
?
?
b
?0
，所 以
b?0

综上所述，选项
a?0,b?0,c?0
答案：C





c
2



拼搏的你，背影很美！