高中数学必修第二章数列题目-高中数学2-1表格
上海 高一数学 函数运算及基本性质
一、函数的运算
1、和函数与积函数的概念
(1)定义:一般的,函数
f
(x)
(
x?D
1
)
与
g
(x)
(x?D
2
),设
D?D
1
?D
2
,并且
D
不
是空
集,我们把
y?f
(x)
?g
(x)
(x?D)
叫做函数<
br>f
(x)
与
g
(x)
的和;把
y?f
(x)
?g
(x)
(x?D)
叫做
f
(x)
与
g
(x)
的积。
(2)注意:
如果
f
(x)<
br>的定义域与
g
(x)
的定义域的交集是空集,那么
f
(x)<
br>?g
(x)
,
f
(x)
?g
(x)
无
意义。
两个函数的和与积,都是在两函数的公共定义域中定义的,在这个公共定义域D
中,
任取
x?D
,
f
(x)
?g
(x)
,
f
(x)
?g
(x)
都有唯一的一个值和它对应,因此,这样的和与
积都是
函数。
求积函数的函数值与求和函数的函数值类似,需先看自变量是否在定义域内。
(3)拓展:思考差函数、商函数
例1、设
f
(x)
?
11
?3xg?x?1?
,。
(x)
22
xx
(1)求
f
(x)
?g
(
x)
,并求它的定义域;
(2)求
f
1
(?)
2
?g
1
,
(?)
2
f
(3)
?g
(3)<
br>,
f
(?2)
?g
(?2)
。
[解析]:两个函数
的和或积所得的函数的定义域不能孤立来求,必需要注意到原来函数的定
义域。
例2、已知
f
(x)
x
2
?3x2x?1
。 ?,g
(x)
?
x?3
2x?1
(1)求函数
f
(x)
?g
(x)
;
(2)求
f
(?1)
?g
(?1)
和
f
(1)
?g
(1)
。
[解
析]:求
f
(x)
、
g
(x)
时一定先求定义域,而两个函
数是否相同还要看对应法则与
定义域是否一致。
2、和函数与积函数的图像及应用
和函数的图像可以看作是由若干个函数的图像在其对应位置上的叠加而成
的,积函数的图像一般
只能用列表描点法完成。
b
b
例:函数
y?ax?(a、b
?R
?
,x?0)
是由
y?ax
和
y?
两个函数相
加得到
x
x
的和函数。
例3、已知
f
(x)
?x
,g
(x)
?
(1)
求
F
(x)
?
f(x)
?g
(x)
;
4
。
x
(2)在直角坐标系中作出
F
(x)
的图像。
[解析]
:和函数
F
(x)
的图像可以看作
f
(x)
和
g<
br>(x)
的函数图像在对应的自变量所得的函数
值叠加而成,这即是和函数的几何意义。
二、函数的基本性质(1)
1、偶函数的定义及性质判断
(1)定义:
设
y?f
(x)
(x?D)
,任取
x?D
,有
f<
br>(x)
?f
(?x)
,则称函数
y?f
(x)
为偶<
br>函数。
(2)判定:判断函数定义域
D
关于原点对称是这个函数为偶函数的必
要非充分
条件,因此判断一个函数是否为偶函数首先判断定义域,然后求
f
(x)。
(3)偶函数图像特征
函数
f
(x)
是偶函数
?
函数
f
(x)
图像关于
y
轴对称。如果要作出偶
函数,那么
y?f
(x)
的图像关于
y
轴成对称图形,反之,如果<
br>y?f
(x)
的图像关于
y
轴对称,
那么这个函数必是偶函数
。
例4、判断函数
f
(x)
?x?1?x?1
是否为偶函数。
ax
2
?1
(a、b、c?Z)是奇函数,又f
(x)
?2,f
(2)
<
3
,例5、已知函数
f
(x)
?
求函数
f
(x)
bx?c
的值域。
2、奇函数的定义及判断
(1)定义:设
y?f<
br>(x)
(x?D)
,任取
x?D
,有
f
(x)
??f
(?x)
,则称函数
y?f
(x)
为
奇函数。
(2)判断:如果函数
y?f
(x)
(x?D)
是奇函
数,那么
y?f
(x)
的图像关于原点成中
心对称图形,反过来,如果一个函
数的图像关于原点成中心对称图形,那么这个
函数必是奇函数。
(3)奇函数的图像特征:
[思维拓展]:常数函数
f
(x)
?c(x?R)
一定是偶函数;若
c?0
,则
f
(x)
既是偶函数
又是奇函数;反之,一个函
数
f
(x)
既是偶函数又是奇函数
?
f
(x)
?0
(
x?D
,其
中D是关于原点对称的任何一个非空数集。如D
??
?2,2
?
,D?
?
1,2,-1,-2
?
,D?0
等)
例6、若
f
(x)
定义在R上,对任意
x,
y
均满足
f
(x?y)
?f
(x)
?f
(y),试判断
数还是偶函数?
例7、
已知
y?f
(x)
是偶函数,
y?g
(x)
是奇函数,它们
的定义域均为
?
?
?
,
?
?
,且
f
(x)
为奇函
它们在
x?
?
0,
?
?
上
的图像如图所示,求不等式
3、函数奇偶性的判断
偶函数与偶函数的和是偶函数;
偶函数与奇函数的和是非奇非偶函数;
奇函数与奇函数的和函数是奇函数;
偶函数与偶函数的积函数是偶函数;
偶函数与奇函数的积函数是奇函数;
奇函数与奇函数的积函数是偶函数;
f
(x)
g
(x)
<0的解集。
例8、判断下列函数的奇偶性:
(1)
f
(x)
x?3?3
x(x?2)
(1?2
x
)
2
?
; (2)
f
(x)
?
; (3)
f?
(
x)
x
2
x?2
2
4?x
例9、求
f
(x
)
。
(1)若
f
(2x?1)?3x?2
,求
f
(x)
。
(2)已知
f
(x)
的定义域为R,
f
(0)
?1,f
(a?b)
?f
(a)
?b(2a?b?1)
,求
f
(x)
。
例10、(
1)已知函数
y?f
(2x?1)
的定义域是(0,1),求
y?f
(2x?3)
的定义域?
(2)已知函数
f
(x)
,对任意不为零
的
x
,都满足
f
(x)
?2f
(3)若函数
f(x)
满足
f
(2x?1)
?x
2
?3x
,求
f
(x)
;
例11、求下列函数的值域:
(1)
y?x
2
?4x?5,x?(0,3)
;
(2)
y?2x?1?x
。
解析:用图像法和换元法
1
()
x
?x
,求
f
(x)
思维误区点拨:
本节知识在理解与运用中常出现的错误是:
1、对函数概念理解不透彻,不会求解复合函数的定义域。
2、不能正确确定函数定义域 <
br>例12、设函数
f
(x)
的定义域是(-2,1),则函数
f
(
x?1
)
x
的定义域是 ( )
1
1
0)?(,??)
A
(0,
D
(3,??)
B
(,??)
C
(??,
??)
3
3
例13、已知
f
(x)
?
1
(x?R,且x?1),g
(x)
?x
2
?2(x?R)
。
1?x
(1)求
f
(2)
,g
(2)
的值;
(2)求
例14、下列各组函数是否为同一函数,试说明理由。
(1)
y?
(3)
f
(x)
?x和g
(t)
?t
2
例15、(1)已知
f
(x)
?x
2
?3x?1
,求
f
(x?2)
的表达式;
(2)已知
f<
br>(x?1)
?x
2
?3x?5,求
f
(x)
的表达式
x
x
和y?1
;
(2)
y?
f
(g
(2)
)
的值。
x?3
和y?
x?3
x?3
x?3
例16、已知函数
f
(x)
的定义域是(0,1),求函数
f
(x
?a)
?f
(x?a)
的定义域。
随堂练习:
1、已知函数
f(x)?(m?1)x
2
?(m?2)x?(m
2
?7m?12)
为偶函数,则
m
的值是( )
A
1
B
2
C
3
D
4
2、设
f(x)
是定义在
R
上的一个
函数,则函数
F(x)?f(x)?f(?x)
在
R
上一定是( )
A 奇函数 B 偶函数
C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数
3、函数
f(x)?x(x?1?x?1)
是( )
A
是奇函数又是减函数 B 是奇函数但不是减函数
C
是减函数但不是奇函数 D 不是奇函数也不是减函数
4、设函数
f(x)
与
g(x)
的定义域是
x?R
且
x??1
,
f(x
)
是偶函数,
g(x)
是奇函数,且
f(x)?g(x)?
1
,求
f(x)
和
g(x)
的解析式
x?1
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