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2.4幂函数知识点详细讲解
重难点:掌握常见幂函数的概念、图象和性质,能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小.
考纲要求:①了解幂函数的概念;
②结合函数
经典例题:比较下列各组数的大小:
的图像,了解他们的变化情况.
(1)1.5,1.7,1;
(2)(-
(3)3.8
),(-),1.1;
,3.9,(-1.8);
(4)31.4,51.5.
当堂练习:
1.函数y=(x2-2x)的定义域是( )
A.{x|x≠0或x≠2}
B.(-∞,0)(2,+∞) C.(-∞,0)[2,+∞ )
D.(0,2)
3.函数y=的单调递减区间为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,0)
C.[0,+∞ ]
D.(-∞,+∞)
3.如图,曲线c1,
c2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象,
那么一定有( )
A.n
4.下列命题中正确的是( )
A.当
两点
C.幂函数的 图象不可能在第四象限内
D.若幂函数为奇函数,则在定义域
时,函数的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)
内是增函数
5.下列命题正确的是(
)
幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
图象不经过(—1,1)为点的幂函数一定不是偶函数
如果两个幂函数的图象具有三个公共点,那么这两个幂函数相同
如果一个幂函数有反函数,那么一定是奇函数
6.用“<”或”>”连结下列各式:
, .
7.函数y=在第二象限内单调递增,则m的最大负整数是_______ _.
8.幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 .
的图象在y=x的上方,则a的取值范围是 .
9.设x∈(0, 1),幂函数y=
10.函数y=
11.试比较
在区间上 是减函数.
的大小.
12.讨论函数y=x的定义域、值域、奇偶性、单调性。
13.一个幂函数y=f (x)的图象过点(3,
),另一个幂函数y=g(x)的图象过点(-8, -2),
(1)求这两个幂函数的解析式;
(2)判断这两个函数的奇偶性; (3)作出这两个函数
的图象,观察得f (x)<
g(x)的解集.
14.已知函数y=
参考答案:
经典例题:解:(1)∵所给的三个数之中1.5和
1.7的指数相同,且1的任何次幂都是1,
因此,比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、
1.7、1的大小,也就是比较函数y=x
中,当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小
关系,因为自变量的值的大小关系容
易确定,只需确定函数y=x的单调性即可,又函数y=x在(0,
+∞)上单调递增,且1.7
>1.5>1,所以1.7>1.5>1.
.
(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.
(2)(-)=(),(-)=(),1.1=[(1.1)2]=1.21.
∵幂函数y=x在(0,+∞)上单调递减,且<<1.21,
∴()>()>1.21,即(-)>(-)>1.1.
(3)利用幂函数和指数函数的单调
性可以发现0<3.8<1,3.9>1,(-1.8)<0,
从而可以比较出它们的大小.
(4)它们的底和指数也都不同,而且都大于1,我们插入一个中间数31.5,利用幂函数和
指数函数
的单调性可以发现31.4<31.5<51.5.
当堂练习:
1.B 2. B
3. B 4. C 5. B 6.
9. (-∞, 1);10. (0,+∞);
11.因,,所以
,;7. 8. (-∞, 0);
12.
函数y=x的定义域是R;值域是(0, +∞);奇偶性是偶函数; 在(-∞,
0)上递减;
在[0, +∞ )上递增.
13.(1)设f (x)=xa,
将x=3, y=代入,得a=, ;
设g(x)=xb, 将x=-8,
y=-2代入,得b=,;
(2)f
(x)既不是奇函数,也不是偶函数;g(x)是奇函数;(3) (0,1).
14.这是复合函数问题,利用换元法令t=15-2x-x2,则y=,
(1)由15-2x-x2≥0得函数的定义域为[-5,3],
∴t=16-(x-1)2[0,16].∴函数的值域为[0,2].
(2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
(3)∵函数的定义域为[-5,3],对称轴为x=1,
∴x[-5,1]时,t随x的增大而增大;x(1,3)时,t随x的增大而减小.
又∵函数y=
∴函数y=
在t[0,16]时,y随t的增大而增大,
的单调增区间为[-5,1],单调减区间为(1,3).