高中数学选修4一4常见考题-高中数学教师笑着讲课
【三角函数疑难点拔】
一、 忽略隐含条件
例3.
若
sinx?cosx?1?0
,求
x
的取值范围。
正解:
2sin(x?
?
)?1
,由
sin(x?
?
)?
2
得
2k
?
?
?
?x?
?
?2k
?
?
3
?
(k?Z)
∴
2k
?
42444
4
二、 忽视角的范围,盲目地套用正弦、余弦的有界性
例4.
设
?
、
?
为锐角,且
?
+
?
错解
?x?2k
?
?
?
2
(k?Z)
?12
0?
,讨论函数
y?cos
2
?
?cos
2
?的最值。
11
?
?
?
)??1
y?1?(cos2<
br>?
?cos2
?
)?1?cos(
?
?
?
)
cos(
?
?
?
)?1?cos(
?
?
?
)
,可见,当
cos(
22
3
1
;当
cos(?
?
?
)?1
时,
y
min
?
。分析
:由已知得
30??
?
,
?
?90?
,∴
?60?
?
?
?
?
?60?
,则
2
2
时,
y
max
?
1
1
?cos(
?
?
?
)?1
,∴当
cos(
?
?
?
)?1
,即
?
?
?
?60?
时,
y
min
?
,最大
值不存在。
2
2
三、 忽视应用均值不等式的条件
a
2
b
2
?
?(a?b?0,0?x?)
的最小值。 例5. 求函数
y
?
22
2
cosxsinx
a
2
b
2
2a
b4ab
(2)(1)
????4ab(?0?sin2x?1)
,错解
y?
∴当
sin2x?1
时,
y
min
?4ab
sinxcosxsin2x
cos
2
xsin
2
x
2222222222
分析:在已知条件下,(1)、(2)两处不能同时取等号。正解:
y?a(1?tanx)?b(1?cotx)?a?b?(atanx?bcotx)
,
?a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2
当且仅当
ata
nx
【经典题例】
?bcotx
,即
tanx?
b
a<
br>,时,
y
min
?(a?b)
2
?bx?c
对任意α、β
?
R有:
f(sin
?
)?0,
且
f(2?cos
?
)?0,
(1)求f(1)的值;(2)证明:c
?3
;(3)设
f(sin
?
)
的最大值为10,求f(x)。
?
[思路](1)令α=,得
f(1)?0,
令β=
?
,得
f(1)?0,
因此
f(1)?0,
;(2)证明:由已知,当
?1
?x?1
时,
f(x)?0,
2
例4:已知b、c是实数,函数f(x)=<
br>x
当
1?
(3)由上述可知,[-1,1]是
f(x)
的减区
x?3
时,
f(x)?0,
通过数形结合的方法可得:
f(3)?0
,
化简得c
?3
;
2
间,那么
f(?1)?10,
又
f(1)?0,
联立方程组可得
b??5,c?4
,所以
f(x)
?x
2
?5x?4
例5:关于正弦曲线回答下述问题:
24??
x
y?log
1
sin(?)
的单调递增区间是?
[8k??x?8k?]k?Z
;
33
34
2
?
(2)若函数
y?sin2x?acos2x
的图象关于直线
x?
对称,则<
br>a
的值是 1 ;
8<
br>?
?
(3)把函数
y?sin(3x?)
的图象向右平移个单位,再将
图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变),则所得
8
4
?
的函数
解析式子是
y?sin(x?)
;
8
sin2x
例6:函数
f(
x)?
,(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的最大值及对应的x值。
1?sin
x?cosx
(1)函数
[思路](1){x|x
?2k
?
?
?
且x?2k
?
?
?
2
k?Z}
(2
)设t=sinx+cosx,则y=t-1
y
max
?2?1,x?2k
?
?
?
4
k?Z
例7:在ΔA
BC中,已知
sinAcos
2
CA3
(2)求角B的取值范围。
?sinCcos
2
?sinB
(1)求证:a、b、c成等差数列;
222
[思路](1)条件等式降次化简得
sinA?sinC?2sinB?a?c?2b??∴……,得B的取值范围
(0,
(2)
a
2
?c
2?(
?cosB?
14.设
x
a?c
2
)
3(
a
2
?c
2
)?2ac6ac?2ac1
2
???,??<
br>2ac8ac8ac2
?
3
]
?cos
?
?sin
?
,且
sin
3
?
?cos
3
?
?0
,则
x
的取值范围是
(0,2]
;
19.已知
x?(0,
?
2
)<
br>,证明不存在实数
m?(0,1)
能使等式cos
x
+msin
x
=m(*)成立;
3
3
(2)试扩大
x
的取值范围,
使对于实数
m?(0,1)
,等式(*)能成立;
(3)在扩大后的
x取值范围内,若取
m
提示:可化为
m
最值问题典型错例
?
,求出使等式(*)成立的
x
值。
x
???
?
?tan(?)?1
(2)
x?(?,)
(3)
x??
6
2422
sinx
的最大值和最小值。
13?4cos
2
x
22
错解:原函数化为
4
,
关于
sinx
的二次方程的判别式
?
,即
ysinx?sinx?9
y?0?(?1)?4?4y?9y?0
1113
11
??y?
,所以
y
max
?,y
min
??
。剖析:若取
y??
,将导致
sinx??
的错误结论,此题错在忽
1212122
12122
视了隐含条件
|s
,当
y?0
时,解得
s
,
满足
sinx?1
ysinx?sinx?9y?0
inx?0inx|?
1
。正解:原函数化为
4
例5. 求函数
y?
当
y?0
时,解得
1?1?144y
2
sinx?
8y
,又,
sinx?R,|sinx|?1
1?144y
2
?0
则有
??
或
2
?
1?1?144y
?1
?
?1?8y
?
?
1?144y
2
?0
?y?
,所以,
解得
?
?
2
1313
?
1?1?144y
?1?
?1?
8y
?
11
y
max
?
11
,y
min
??
1313
难点 化简与求值 <
br>3
?
123
,cos(
α
-
β
)=,sin
(
α
+
β
)=-,求sin2
α
的值_________.
5
413
22
[例1]不查表求sin20°+cos80°+
3<
br>cos20°cos80°的值.
11
222
解法一:sin20°+cos
80°+
3
sin20°cos80°= (1-cos40°)+
(1+cos160°)+
3
sin20°cos80°
22
1111<
br>=1-cos40°+cos160°+
3
sin20°cos(60°+20°)=1
-cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°
2222
33
1
1
sin40°)+
3
sin20°(cos60°cos20°-sin60°si
n20°)=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-
44
243
2
sin20°
2
331
=1-cos40°-(1-cos40°)=
444
2222
解法二:设
x
=sin20°+cos80°+
3
sin2
0°cos80°,
y
=cos20°+sin80°-
3
cos20°si
n80°,则
1
x
+
y
=1+1-
3
sin60
°=,
x
-
y
=-cos40°+cos160°+
3
si
n100°=-2sin100°sin60°+
3
sin100°=0
2
11
22
∴
x
=
y
=,即
x
=sin20
°+cos80°+
3
sin20°cos80°=.
44
1
2<
br>[例2]关于
x
的函数
y
=2cos
x
-2
a
cos
x
-(2
a
+1)的最小值为
f
(
a
),试确定满足
f
(
a
)=的
a
值,并对此时
的
a
值求
y
的最大值.
2
【例】已知
?
2
<
β
<
α
<
a
2
a2
?4a?2
解:由
y
=2(cos
x
-)-及cos
x
∈[-1,1]得:
2
2
2
?
1
(a??2)
a
1111
2
??
f
(
a
)
?
,∵
f
(
a
)=,∴1-4
a
=
a
=[2,+∞,故--2
a
-1=,解得:
a
=-1,此时,
)
?
a
?2a?1
(?2?a?2)
2
2282
?
?
2
?
1?4a
(a?2)
?
?
y
=2(cos
x
+
1
2
1
)+,当cos
x
=1时,即
x
=2
kπ
,
k
∈Z,
y
max
=5.
22
2
难点训练
1.(★★★★★)已知方程
x
+4ax
+3
a
+1=0(
a
>1)的两根均tan
α、tan
β
,且
α
,
β
∈(-
A.
?
?
22
,
),则tan
?
?
?
2
的值是(
)
41
D. 或-2
32
?
3
?
?
?
33
?
5
3.设
α
∈(
,
),
β
∈(0,),cos(
α
-)=,sin(+
β
)=,则sin(
α
+
β
)=_________.
4444
5
4
13
2sin130??sin100?(1?3tan370?)
.
4.不查表求值:
1?cos10?
B.-2
C.
1
2
?
317
?
5.已知cos(+x
)=,(
5
412
8.已知cos
α
+sin
β
=
sin2x?2sin
2
x
7
?
<
x
<),求的值.
1?tanx
4
2x?3
的最小值,并求取得最
小值时
x
的值.
4x?10
7.扇形
OAB
的半径为1,
中心角60°,四边形
PQRS
是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P的位置,并求此最
大面积.
3
,sin
α
+cos
β
的取值范围是D,x
∈D,求函数
y
=
log
1
2
参考答案
难点磁场
?3??3?
<
β
<
α
<,∴0<α
-
β
<.
π
<
α
+
β
<,
∴sin(
α
-
2444
54
2
β
)=
1
?cos(
?
?
?
)?,cos(
?
?
?
)??1?sin
2
(
?
?
?
)??.
∴sin2
α
=sin[(
α
-
β
)+(
α
+
β
)]=sin(
α
-
135
541235654
β)cos(
α
+
β
)+cos(
α
-
β
)sin(
α
+
β
)
??(?)??(?)??.
。解法
二:∵sin(
α
-
β
)=,cos(
α
+
β)=-,
5
1351356513
7240
∴sin2
α+sin2
β
=2sin(
α
+
β
)cos(
α
-
β
)=-sin2
α
-sin2
β
=2cos
(
α
+
β
)sin(
α
-
β
)=- 6565
1724056
∴sin2
α
=
(??)??
2656565
解法一:∵
难点训练
?
?
?
??
?
,)∴
α
、
β
∈(-,
θ
),则
222
2
???
2tan
tan??tan??4a44
?
2
??
,又tan(???)??
,整理得∈(-,0),又tan(
α
+
β
)=
???
31?tan?tan?1?(3a?1)3
2
1?tan2
2
??????
2
?3tan?2
=0.解得tan
???
=-2.答案:B 2tan
22
2
?3????3
3.解析
:
α
∈(
,
),
α
-∈(0,
),又cos(
α
-)=.
44424
5
一、1.解析:∵
a
>1,tan
α
+tan
β
=-4
a
<0。t
an
α
+tan
β
=3
a
+1>0,又
α
、
β
∈(-
?4?3?3?3?53?12
?sin(??)?,??(0,
).????(,?).sin(??)?,?cos(??)??.
45444413413
?3??
?sin(???)?sin[(??)?(??)?]
答案:
442
?3?
??cos[(??)?(??)]
44
?3??3?3124556
??cos(??)?cos(??)?sin(??)?sin(??)???(?)???.
44
4451351365
56
即sin(???)?
65
56
65
3
?
7
?x)?,?sin2x??cos2(?x)
?.
45425
17
?
75
???
4
三、4.答案
:2
又
12
?x?
4
?
,?
3
?x?4
?2
?
,?sin(x?
4
)??
5
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2sin
x(sinx?cosx)cosx
??
sinx
1?tanxcosx?sinx<
br>1?
cosx
74
?
?(?)
sin2xsin(?x)5
?
28
4
??
25
?
3
75
cos(?x)
45
5.解:?cos(
?
7.解:以
OA
为
x
轴.
O
为原点,建立平面直角坐标系,并设
P
的坐标
为(cos
θ
,sin
θ
),则
3
sin
θ;sin
θ
),所以|
PQ
|=cos
θ
-
3
33333
2
sin
θ。
于是
S
PQRS
=sin
θ
(cos
θ
-sin
θ
)=(
3
sin
θ
cos
θ
-sin
θ
)=(sin2
θ
-
33332
3333
1?cos2?11????51
)=(si
n2
θ
+cos2
θ
-)= sin(2
θ
+)-.∵0<
θ
<,∴<2
θ
+<
π
.∴<
3236
2
22
26366
6
331
???
sin(2
θ
+)
≤1.∴sin(2
θ
+)=1时,
PQRS
面积最大,且最大面积是,此时
,
θ
=,点
P
为的中点,
P
(
,
). <
br>622
666
22222
8.解:设
u
=sin
α<
br>+cos
β
.则
u
+(
3
)=(sin
α<
br>+cos
β
)+(cos
α
+sin
β
)=2+2s
in(
α
+
β
)≤4.∴
u
≤1,-1≤
u
≤1.即
D
=[-
|
PS
|=sin
θ
.直线<
br>OB
的方程为
y
=
3
x
,直线
PQ
的方程为
y
=sin
θ
.联立解之得
Q
(
1,1]
,设
t
=
2x?3
,∵-1≤
x
≤1,∴1≤
t<
br>≤
?M?
t
2
?3
5
.
x
=.42
当且仅当2t?,即t?2时,M
max
?.?y?log
0.5<
br>M在M?0时是减函数,
2
t8
?y
min
?log
0.5
[提高训练C组]
一、选择题
5 已知
sin
?
2x?3t112
?
2
???.
4x?10
2t?4
2t
?
4
42
8
t
251
?log
0.5<
br>2?log
0.5
8?时,此时t?2,2x?3?2,x??.
822
?sin
?
,那么下列命题成立的是( )
A 若
?
,
?
是第一象限角,则
cos
?
?cos
?
B 若
?
,
?
是第二象限角,则
tan
?
?tan
?
C 若
?
,
?
是第三象限角,则
cos
?
?cos
?
D 若
?
,?
是第四象限角,则
tan
?
?tan
?
二、填空题
1 已知角
?
的终边与函数
5x?12y?0,(x
?0)
决定的函数图象重合,
cos
?
?
11
?
t
an
?
sin
?
的值为_________
2 若
?
是第三象限的角,
?
是第二象限的角,则
?
?
?
2
4 如果
tan
?
sin
?
?0,
且
0?sin
?
?cos
?
?1,
那么
?
的终边在第
象限
?
??
?x?k
?
?
?
,k?Z
?
,
B?
?
x|?2?x?2
?
,则
A?B=_______________________ 5
若集合
A?
?
x|k
?
?
3
??
是第
象限的角
三、解答题
1 角
?
的终边上的点
P
与
A(a,b)
关于
x
轴对称
(a?0,b?0)
,角
?
的终边上的点
Q
与
A
关于直线
y?x
对称,求
sin
?
tan
?
1
值
??
cos
?
tan
?
cos
?
sin
?
66
3 求
1?sin
?
?cos
?
的值
1?sin
?
?cos
?
44
参考答案
一、选择题
5 D 画出单位圆中的三角函数线
二、填空题
1
?
77
在角
?13
的终边上取点
P(?12,5),r?13,cos
?
??
1255
,tan
?
??,sin
?
?
131213
2 一、或三
2k
?
?
?
?<
br>?
?2k
?
?
3
?
,(k?Z),2k
?<
br>?
?
?2
?
?2k
?
?
?
,(k?
Z),
(k?k)
?
?
?
?
?
?
?
?(k?k)
?
?
?
1212
111222
422
22
sin
2
?
4 二
tan?
sin
?
??0,cos
?
?0,sin
?
?0
cos
?
三、解答题
1 解:
P(a,?b),
sin
?
?
?b
a
2
?b
2
,cos?
?
a
a
2
?b
2
,tan
?
??
b
Q(b,a),sin
?
?
a
a
a
2
?b
2
,cos
?
?
b
a
2
?b
2
,tan
?
?
a
b
?
sin
?
?
tan
?
?
cos
?
tan
?
1b
2
a
2
?b
2
?
?1?
2
??0
2
cos
?
sin
?
aa
66224224
22
3 解:
1?sin
?<
br>?cos
?
?
1?(sin
?
?cos
?
)
(sin
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
)
?
1?(1?3sin
?
cos
?
)
?
3
1?sin
4
?
?cos
4
?<
br>1?(1?2sin
2
?
cos
2
?
)
1?
(1?2sin
2
?
cos
2
?
)2
【练习】
一、选择
)
D.[0,1]
1
、
A.
函数
[-1,1]
B.[-2,2]
的值
域是
C.
[0,2]
(
5
、
空 二、填
3、已知f(x)=asinx-bcosx且x= 为f(x)的一条对称轴,则a:b的值为
.
4、若函数
1、选B.
答
一、
案
选
与
择
解
题
析
:
,当x≥0时,-2≤2sinx≤2即-2≤y≤2;当x<0时,y=
0包含于[-2,2].于是可知所求函数
值域为[-2,2],故应选B.
5、选C.解析:由f(x)在区间[- , ]上递增及f(x)为奇函数,知f(x)在区间[-
,
]上递增,该区间长度应小于或等于f(x)的半个周
期.
二、填空
,应选
题
3、答案:a:b=-1。解析:由题设得 ,又x=
为f(x)的一条对称轴,∴
当x=
时f(x)取得最值,∴即
,
,∴由
∴a:b=-1
。
4、答案:,解析:
①,注意到
,由①得:②,再注意到当且仅当
于是由②及 得