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高中数学三角函数专题专项练习非常好

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 18:01
tags:高中数学函数

高中数学选修4一4常见考题-高中数学教师笑着讲课


【三角函数疑难点拔】
一、 忽略隐含条件
例3. 若
sinx?cosx?1?0
,求
x
的取值范围。
正解:
2sin(x?
?
)?1
,由
sin(x?
?
)?
2

2k
?
?
?
?x?
?
?2k
?
?
3
?
(k?Z)

2k
?
42444
4
二、 忽视角的范围,盲目地套用正弦、余弦的有界性
例4. 设
?

?
为锐角,且
?
+
?
错解
?x?2k
?
?
?
2
(k?Z)

?12 0?
,讨论函数
y?cos
2
?
?cos
2
?的最值。
11
?
?
?
)??1
y?1?(cos2< br>?
?cos2
?
)?1?cos(
?
?
?
) cos(
?
?
?
)?1?cos(
?
?
?
)
,可见,当
cos(
22
3
1
;当
cos(?
?
?
)?1
时,
y
min
?
。分析 :由已知得
30??
?
,
?
?90?
,∴
?60? ?
?
?
?
?60?
,则
2
2
时,
y
max
?
1
1
?cos(
?
?
?
)?1
,∴当
cos(
?
?
?
)?1
,即
?
?
?
?60?
时,
y
min
?
,最大 值不存在。
2
2
三、 忽视应用均值不等式的条件
a
2
b
2
?
?(a?b?0,0?x?)
的最小值。 例5. 求函数
y ?
22
2
cosxsinx
a
2
b
2
2a b4ab
(2)(1)
????4ab(?0?sin2x?1)
,错解
y?
∴当
sin2x?1
时,
y
min
?4ab

sinxcosxsin2x
cos
2
xsin
2
x
2222222222
分析:在已知条件下,(1)、(2)两处不能同时取等号。正解:
y?a(1?tanx)?b(1?cotx)?a?b?(atanx?bcotx)

?a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2
当且仅当
ata nx
【经典题例】
?bcotx
,即
tanx?
b
a< br>,时,
y
min
?(a?b)
2

?bx?c
对任意α、β
?
R有:
f(sin
?
)?0,

f(2?cos
?
)?0,

(1)求f(1)的值;(2)证明:c
?3
;(3)设
f(sin
?
)
的最大值为10,求f(x)。
?
[思路](1)令α=,得
f(1)?0,
令β=
?
,得
f(1)?0,
因此
f(1)?0,
;(2)证明:由已知,当
?1 ?x?1
时,
f(x)?0,
2
例4:已知b、c是实数,函数f(x)=< br>x

1?
(3)由上述可知,[-1,1]是
f(x)
的减区
x?3
时,
f(x)?0,
通过数形结合的方法可得:
f(3)?0 ,
化简得c
?3

2
间,那么
f(?1)?10,

f(1)?0,
联立方程组可得
b??5,c?4
,所以
f(x) ?x
2
?5x?4

例5:关于正弦曲线回答下述问题:
24??
x
y?log
1
sin(?)
的单调递增区间是?
[8k??x?8k?]k?Z

33
34
2
?
(2)若函数
y?sin2x?acos2x
的图象关于直线
x?
对称,则< br>a
的值是 1 ;
8< br>?
?
(3)把函数
y?sin(3x?)
的图象向右平移个单位,再将 图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变),则所得
8
4
?
的函数 解析式子是
y?sin(x?)

8
sin2x
例6:函数
f( x)?
,(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的最大值及对应的x值。
1?sin x?cosx
(1)函数
[思路](1){x|x
?2k
?
?
?
且x?2k
?
?
?
2

k?Z}
(2 )设t=sinx+cosx,则y=t-1
y
max
?2?1,x?2k
?
?
?
4

k?Z


例7:在ΔA BC中,已知
sinAcos
2
CA3
(2)求角B的取值范围。
?sinCcos
2
?sinB
(1)求证:a、b、c成等差数列;
222
[思路](1)条件等式降次化简得
sinA?sinC?2sinB?a?c?2b??∴……,得B的取值范围
(0,
(2)
a
2
?c
2?(
?cosB?
14.设
x
a?c
2
)
3( a
2
?c
2
)?2ac6ac?2ac1
2
???,??< br>2ac8ac8ac2
?
3
]

?cos
?
?sin
?
,且
sin
3
?
?cos
3
?
?0
,则
x
的取值范围是
(0,2]

19.已知
x?(0,
?
2
)< br>,证明不存在实数
m?(0,1)
能使等式cos
x
+msin
x
=m(*)成立;
3
3
(2)试扩大
x
的取值范围, 使对于实数
m?(0,1)
,等式(*)能成立;
(3)在扩大后的
x取值范围内,若取
m
提示:可化为
m
最值问题典型错例
?
,求出使等式(*)成立的
x
值。

x
???
?
?tan(?)?1
(2)
x?(?,)
(3)
x??
6
2422
sinx
的最大值和最小值。
13?4cos
2
x
22
错解:原函数化为
4
, 关于
sinx
的二次方程的判别式
?
,即
ysinx?sinx?9 y?0?(?1)?4?4y?9y?0
1113
11
??y?
,所以
y
max
?,y
min
??
。剖析:若取
y??
,将导致
sinx??
的错误结论,此题错在忽
1212122
12122
视了隐含条件
|s
,当
y?0
时,解得
s
, 满足
sinx?1

ysinx?sinx?9y?0
inx?0inx|? 1
。正解:原函数化为
4
例5. 求函数
y?

y?0
时,解得
1?1?144y
2
sinx?
8y
,又,
sinx?R,|sinx|?1
1?144y
2
?0
则有
??

2
?
1?1?144y
?1
?
?1?8y
?
?
1?144y
2
?0
?y?
,所以, 解得
?
?
2
1313
?
1?1?144y
?1?
?1?
8y
?
11
y
max
?
11
,y
min
??

1313
难点 化简与求值 < br>3
?
123
,cos(
α

β
)=,sin (
α
+
β
)=-,求sin2
α
的值_________.
5
413
22
[例1]不查表求sin20°+cos80°+
3< br>cos20°cos80°的值.
11
222
解法一:sin20°+cos 80°+
3
sin20°cos80°= (1-cos40°)+ (1+cos160°)+
3
sin20°cos80°
22
1111< br>=1-cos40°+cos160°+
3
sin20°cos(60°+20°)=1 -cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°
2222
33
1 1
sin40°)+
3
sin20°(cos60°cos20°-sin60°si n20°)=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-
44
243
2
sin20°
2
331
=1-cos40°-(1-cos40°)=
444
2222
解法二:设
x
=sin20°+cos80°+
3
sin2 0°cos80°,
y
=cos20°+sin80°-
3
cos20°si n80°,则
1
x
+
y
=1+1-
3
sin60 °=,
x

y
=-cos40°+cos160°+
3
si n100°=-2sin100°sin60°+
3
sin100°=0
2
11
22

x
=
y
=,即
x
=sin20 °+cos80°+
3
sin20°cos80°=.
44
1
2< br>[例2]关于
x
的函数
y
=2cos
x
-2
a
cos
x
-(2
a
+1)的最小值为
f
(
a
),试确定满足
f
(
a
)=的
a
值,并对此时 的
a
值求
y
的最大值.
2
【例】已知
?
2

β

α


a
2
a2
?4a?2
解:由
y
=2(cos
x
-)-及cos
x
∈[-1,1]得:
2
2
2
?
1 (a??2)
a
1111
2
??
f
(
a
)
?
,∵
f
(
a
)=,∴1-4
a
=
a
=[2,+∞,故--2
a
-1=,解得:
a
=-1,此时,
)
?
a
?2a?1 (?2?a?2)
2
2282
?
?
2
?
1?4a (a?2)
?
?
y
=2(cos
x
+
1
2
1
)+,当cos
x
=1时,即
x
=2


k
∈Z,
y
max
=5.
22
2
难点训练
1.(★★★★★)已知方程
x
+4ax
+3
a
+1=0(
a
>1)的两根均tan
α、tan
β
,且
α

β
∈(-
A.
? ?
22
,
),则tan
?
?
?
2
的值是( )
41
D. 或-2
32
?
3
?
? ?
33
?
5
3.设
α
∈(
,
),
β
∈(0,),cos(
α
-)=,sin(+
β
)=,则sin(
α
+
β
)=_________.
4444
5
4 13
2sin130??sin100?(1?3tan370?)
.
4.不查表求值:
1?cos10?
B.-2 C.
1

2
?
317
?
5.已知cos(+x
)=,(
5
412
8.已知cos
α
+sin
β
=
sin2x?2sin
2
x
7
?

x
<),求的值.
1?tanx
4
2x?3
的最小值,并求取得最 小值时
x
的值.
4x?10
7.扇形
OAB
的半径为1, 中心角60°,四边形
PQRS
是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P的位置,并求此最 大面积.
3
,sin
α
+cos
β
的取值范围是D,x
∈D,求函数
y
=
log
1
2
参考答案
难点磁场
?3??3?

β

α
<,∴0<α

β
<.
π

α
+
β
<, ∴sin(
α

2444
54
2
β
)=
1 ?cos(
?
?
?
)?,cos(
?
?
?
)??1?sin
2
(
?
?
?
)??.
∴sin2
α
=sin[(
α

β
)+(
α
+
β
)]=sin(
α

135
541235654
β)cos(
α
+
β
)+cos(
α

β
)sin(
α
+
β
)
??(?)??(?)??.
。解法 二:∵sin(
α

β
)=,cos(
α
+
β)=-,
5
1351356513
7240
∴sin2
α+sin2
β
=2sin(
α
+
β
)cos(
α

β
)=-sin2
α
-sin2
β
=2cos (
α
+
β
)sin(
α

β
)=- 6565
1724056
∴sin2
α
=
(??)??

2656565
解法一:∵
难点训练
?
?
?
?? ?
,)∴
α

β
∈(-,
θ
),则
222 2
???
2tan
tan??tan??4a44
?
2
?? ,又tan(???)??
,整理得∈(-,0),又tan(
α
+
β
)=
???
31?tan?tan?1?(3a?1)3
2
1?tan2
2
??????
2
?3tan?2
=0.解得tan
???
=-2.答案:B 2tan
22
2
?3????3
3.解析 :
α
∈(
,
),
α
-∈(0, ),又cos(
α
-)=.
44424
5
一、1.解析:∵
a
>1,tan
α
+tan
β
=-4
a
<0。t an
α
+tan
β
=3
a
+1>0,又
α

β
∈(-
?4?3?3?3?53?12
?sin(??)?,??(0, ).????(,?).sin(??)?,?cos(??)??.
45444413413
?3??
?sin(???)?sin[(??)?(??)?]
答案:
442
?3?
??cos[(??)?(??)]
44
?3??3?3124556
??cos(??)?cos(??)?sin(??)?sin(??)???(?)???.
44 4451351365
56
即sin(???)?
65
56

65


3
?
7
?x)?,?sin2x??cos2(?x) ?.
45425
17
?
75
???
4
三、4.答案 :2

12
?x?
4
?
,?
3
?x?4
?2
?
,?sin(x?
4
)??
5
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2sin x(sinx?cosx)cosx
??
sinx
1?tanxcosx?sinx< br>1?
cosx
74
?
?(?)
sin2xsin(?x)5
?
28
4
??
25
?
3
75
cos(?x)
45
5.解:?cos(
?
7.解:以
OA

x
轴.
O
为原点,建立平面直角坐标系,并设
P
的坐标 为(cos
θ
,sin
θ
),则
3
sin
θ;sin
θ
),所以|
PQ
|=cos
θ

3
33333
2
sin
θ。
于是
S
PQRS
=sin
θ
(cos
θ
-sin
θ
)=(
3
sin
θ
cos
θ
-sin
θ
)=(sin2
θ

33332
3333
1?cos2?11????51
)=(si n2
θ
+cos2
θ
-)= sin(2
θ
+)-.∵0<
θ
<,∴<2
θ
+<
π
.∴<
3236
2 22
26366
6
331
???
sin(2
θ
+) ≤1.∴sin(2
θ
+)=1时,
PQRS
面积最大,且最大面积是,此时 ,
θ
=,点
P
为的中点,
P
(
,
). < br>622
666
22222
8.解:设
u
=sin
α< br>+cos
β
.则
u
+(
3
)=(sin
α< br>+cos
β
)+(cos
α
+sin
β
)=2+2s in(
α
+
β
)≤4.∴
u
≤1,-1≤
u
≤1.即
D
=[-

PS
|=sin
θ
.直线< br>OB
的方程为
y
=
3
x
,直线
PQ
的方程为
y
=sin
θ
.联立解之得
Q
(
1,1] ,设
t
=
2x?3
,∵-1≤
x
≤1,∴1≤
t< br>≤
?M?
t
2
?3
5
.
x
=.42
当且仅当2t?,即t?2时,M
max
?.?y?log
0.5< br>M在M?0时是减函数,
2
t8
?y
min
?log
0.5
[提高训练C组]
一、选择题
5 已知
sin
?
2x?3t112
?
2
???.
4x?10
2t?4
2t ?
4
42
8
t

251
?log
0.5< br>2?log
0.5
8?时,此时t?2,2x?3?2,x??.
822
?sin
?
,那么下列命题成立的是( )
A 若
?
,
?
是第一象限角,则
cos
?
?cos
?

B 若
?
,
?
是第二象限角,则
tan
?
?tan
?

C 若
?
,
?
是第三象限角,则
cos
?
?cos
?

D 若
?
,?
是第四象限角,则
tan
?
?tan
?

二、填空题
1 已知角
?
的终边与函数
5x?12y?0,(x ?0)
决定的函数图象重合,
cos
?
?
11
?
t an
?
sin
?
的值为_________
2 若
?
是第三象限的角,
?
是第二象限的角,则
?
?
?
2
4 如果
tan
?
sin
?
?0,

0?sin
?
?cos
?
?1,
那么
?
的终边在第 象限
?
??
?x?k
?
?
?
,k?Z
?

B?
?
x|?2?x?2
?
,则
A?B=_______________________ 5 若集合
A?
?
x|k
?
?
3
??
是第 象限的角
三、解答题
1 角
?
的终边上的点
P

A(a,b)
关于
x
轴对称
(a?0,b?0)
,角
?
的终边上的点
Q

A
关于直线
y?x
对称,求
sin
?
tan
?
1

??
cos
?
tan
?
cos
?
sin
?
66
3 求
1?sin
?
?cos
?
的值
1?sin
?
?cos
?
44

参考答案
一、选择题
5 D 画出单位圆中的三角函数线


二、填空题
1
?
77
在角
?13
的终边上取点
P(?12,5),r?13,cos
?
??
1255
,tan
?
??,sin
?
?

131213
2 一、或三
2k
?
?
?
?< br>?
?2k
?
?
3
?
,(k?Z),2k
?< br>?
?
?2
?
?2k
?
?
?
,(k? Z),

(k?k)
?
?
?
?
?
?
?
?(k?k)
?
?
?

1212
111222
422
22
sin
2
?
4 二
tan?
sin
?
??0,cos
?
?0,sin
?
?0

cos
?
三、解答题
1 解:
P(a,?b), sin
?
?
?b
a
2
?b
2
,cos?
?
a
a
2
?b
2
,tan
?
??
b

Q(b,a),sin
?
?
a
a
a
2
?b
2
,cos
?
?
b
a
2
?b
2
,tan
?
?
a

b

?
sin
?
?
tan
?
?
cos
?
tan
?
1b
2
a
2
?b
2
? ?1?
2
??0

2
cos
?
sin
?
aa
66224224
22
3 解:
1?sin
?< br>?cos
?
?
1?(sin
?
?cos
?
) (sin
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
)

?
1?(1?3sin
?
cos
?
)
?
3

1?sin
4
?
?cos
4
?< br>1?(1?2sin
2
?
cos
2
?
)
1? (1?2sin
2
?
cos
2
?
)2
【练习】
一、选择



D.[0,1]




1


A.
函数
[-1,1]

B.[-2,2]
的值

域是
C. [0,2]







5



空 二、填
3、已知f(x)=asinx-bcosx且x= 为f(x)的一条对称轴,则a:b的值为 .
4、若函数


1、选B.


一、









,当x≥0时,-2≤2sinx≤2即-2≤y≤2;当x<0时,y= 0包含于[-2,2].于是可知所求函数
值域为[-2,2],故应选B. 5、选C.解析:由f(x)在区间[- , ]上递增及f(x)为奇函数,知f(x)在区间[- ,
]上递增,该区间长度应小于或等于f(x)的半个周
期.
二、填空
,应选

3、答案:a:b=-1。解析:由题设得 ,又x= 为f(x)的一条对称轴,∴
当x=

时f(x)取得最值,∴即

,∴由
∴a:b=-1


4、答案:,解析:
①,注意到
,由①得:②,再注意到当且仅当


于是由②及 得

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