高中数学三角函数解题方法技巧

高中数学三角函数解题方法技巧
一、基础知识
定义1 角，一条射线绕着 它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角
为正角，若旋转方向为顺时针方向，则 角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等 价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的
圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧 长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平 面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，
在角的终边上任意取一个不同于原点的点P， 设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦
函数sinα=
y
r
L
r
,其
,余弦函数cosα=
x
r
,正切函数tanα=< br>y
x
，余切函数cotα=
x
y
，正割函数secα=
r
x
,
余割函数cscα=
r
y
.

1
cot
?
1
csc
?
1
sec
?
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=
商数关系：tanα=
2
,sinα=，cosα=；
sin
?
cos
?
2
,co t
?
?
2
cos
?
sin
?
；乘积关系： tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
222
平方关系：sinα +cosα=1, tanα+1=secα, cotα+1=cscα.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;
（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-
α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin
?
?< br>?
??
?
?
?
?
?
=cosα, cos
?
?
?
?
=sinα,
?
2
??
2
?
tan
?
?
?
?
。
??
?
=cotα（奇变偶不变，符号看象限）
2
??
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间
?
3< br>?
??
???
上为增函数，在区间
2k
?
?,2k< br>?
?
?
?
上为减函数，最小正周期为
2k
?
?,2k
?
?
?
??
22
?
22
?
?
?
2
?
. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+
值-1。 对称性：直线x=k
?
+
这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]
上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性： 偶函数。对称性：
直线x=kπ均为其对称轴，点
?
k
?
?
?
?
?
2
时，y取最大值1，当且仅当x=3k
?
-
?
2
时, y取最小
?
2
均为其对称轴，点（k
?
, 0）均为其对称中心，值 域为[-1，1]。
?
?
,0
?
均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2kπ时，y取
2
?

最大值1；当且仅当x=2kπ- π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函 数y=tanx(x
?
kπ+
?
2
)在开区间(kπ-
?< br>2
?
2
, kπ+
?
2
)上为增函
数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α
?
β)=cosαcosβ
?
sinα sinβ,sin(α
?
β)=sinαcos
β
?
cosαsin β; tan(α
?
β)=
(tan
?
?tan
?
)
(1
?
tan
?
tan
?
)
.

定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sin
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
cos,sinα- sinβ=2sincos
???????
,
?
2
??
2
??
2
??
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
cos
??
, cosα- cosβ=-2sin
??
sin
??
,
?
2
? ?
2
??
2
??
2
?
1
2
cos α+cosβ=2cos
?
1
2
1
2
sinαcosβ=< br>cosαcosβ=
[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin( α+β)-sin(α-β)],
1
2
[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos
2
α-sin
2
α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α,

tan2α=
2tan
?
(1?tan
?
)
2
.

定理9 半角公式:sin
?
?
?
?
?
=
?
?
2
?
?
?
?
?
=
?
?
2
?
(1?cos
?
)
2
,cos
?
?
?
?
?
=
?
?
2
?
(1?cos
?
)
2
,
tan
?
(1? cos
?
)
(1?cos
?
)
=
sin
?
(1?cos
?
)
?
(1?cos
?
)
s in
?
.

定理10 万能公式:
sin
?
?
?
?
?
2tan
??
?
2
?
2< br>?
?
?
1?tan
??
?
2
?
,
cos
?
?
2
?
?
?
1?tan
??
?
2
?
2
?
?
?
1?tan
??
?
2
?
,
tan
?
?
?
?
?
2tan
??
?
2
?
1?tan
??< br>?
2
?
2
?
?
?
.

定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a
2
+b
2
?0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)
的一个角为β，则sinβ=
ba?b
22
,cosβ=
a
a?b
22
，对任意的角α .

asinα+bcosα=
22
(a?b)
sin(α+ β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有
a
sinA
22
?
b
sinB
2
?
c
sinC
其中a, b, c分别是角A，
?2R
，
B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a=b+c-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移 得
，得到y=sin
?
x
(
?
?0
)
?< br>的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；< br>y=Asin(
?
x+
?
)(
?
>0)的图象（周期 变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx
y=sin(x+
?
)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
的图象（振幅变换）；y=Asin(
?
x+
?
)(
?
,
?
>0)(|A|叫作振幅 )的图象向右平移
y=Asin
?
x的图象。
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m
定义4 函数y=sinx
?
?
x?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
个单位得到
? ?
?
?
2
,?
[-1, 1])，函数
?
的反函数 叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈
?
2
?
?
?
?
?
?
y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx
??
x?
?
?
??
?
?
2
,?
?
2
?
?
?
的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈ [-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，
记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+( -1)
n
arcsina, n∈Z}。方
程cosx=a的解集是{x|x=2kx
?
arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,
??
k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
22
定理16 若
x?
?
0,
?
?
?< br>?
?
，则sinx2
?
二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。






2三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

?
cos
?
例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：
?
?
2
?
si n
?
x
x
?
?
?
cos
?
??
?
??
?2.

?
sin
?
??
?




注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。









4．三角最值问题。
例5 已知函数y=sinx+
1?cosx
，求函数的最大值与最小值。






例6 设0<
?
<π，求sin






例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。




注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差 化积与积化和差公式、均值不等式、柯
?
2
(1?cos
?
)
的最大值。
2

西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例8 求
y?






例9 已知a
0
=1, a
n
=





注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈
?
0,
?
?
1?a
n?1
2? 1
a
n?1
sinxcosx
1?sinx?cosx
的值域。 < br>(n∈N
+
)，求证：a
n
>
?
2
n?2< br>.
?
?
?
时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时 不证明，学完导数后，证明是
2
?
很容易的。







6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(
?
x+
?
)(A,
?
,
?
>0).
由y=sinx的图象向左平移
?
个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，然后再
保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
?
，得到y=Asin(< br>?
x+
?
)的图象；也可以由y=sinx的图象
1
先保持横 坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
后向左平移
?
?
，最
?
例10 例10 已知f(x)=sin(
?
x+
?
)(
?
>0, 0≤?
≤π)是R上的偶函数，其图象关于点
?
3
?
??
?
?
M
?
,0
?
对称，且在区间
?
0,?
上是单调函数，求
?
和
?
的值。
?
4??
2
?
个单位，得到y=Asin(
?
x+
?
)的图象。

7．三角公式的应用。
例11 已知sin(α-β)=
的值。








例12 已知△ABC 的三个内角A，B，C成等差数列，且
A?C
2
5
13
，sin(α +β)=-
5
13
，且α-β∈
?
??
3
??
α+β∈
?
求sin2α,cos2β
,
?
?
，
,2
?
?
，
22
????
?
?
1
cosA
?
1
cosC
??
2
cosB
，试求
cos
的值。









例13 求证：tan20
?
+4cos70
?
.







三、基础训练题
1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。

2．适合
1?c osx
1?cosx
?
1?cosx
1?cosx
?
-2c scx的角的集合为___________。
3．给出下列命题：（1）若α
?
β ，则sinα
?
sinβ；（2）若sinα
?
sinβ,则α
?< br>β；（3）若sinα>0，
则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则si nα>0. 上述四个命题中，正确
的命题有__________个。
4．已知sinx+cosx=
1
5
(x∈(0, π))，则cotx=___________。
?
?
5．简谐振动x
1< br>=Asin
?
?
t?
?
?
?
??
?
和x
2
=Bsin
?
?
t?
?
叠加后得到 的合振动是x=___________。
3
?
6
??
4
6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+
?
1
)=5sin(x-
?
2
)=5cos(x+
?
3
)=5cos(x-
?
4
)，则
?
1
，
?
2
，
?
3< br>，
?
是第________象限角。
7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 8．已知
3
2
分别
?
?x?2
?
，则
??
1
2
?
1
2
?
1
2
?
1
2
cosx
=___________。
9．
cos40?s in50(1?
sin70
?
3tan10)
?
=________ ___。
1?cos40
10．cot15
?
cos25
?
cot35
?
cot85
?
=___________。
11．已知α,β∈(0, π), tan
?
2
?
1
2
, sin(α+β)=
?
?
5
13
，求cosβ的值。
12 ．已知函数f(x)=
m?2sinx
cosx
在区间
?
0,
?
?
?
上单调递减，试求实数m的取值范围。
2
?
四、高考水平训练题
1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若 其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，
a=__________.
2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.
3. 函数
y?
2?sinx
2?cosx
的值域为__________.
4. 方程
2sin
?
2x?
?
?
?
?< br>?
?lgx
=0的实根个数为__________.
6
?
?
?
5. 若sina+cosa=tana, a
?
?
0,
?
?
2
?
?
，
则
?
3
__________a（填大小关系）.
6. (1+tan1
?< br>)(1+tan2
?
)…(1+tan44
?
)(1+tan45?
)=__________.
7. 若0?
2
且tanx=3tany，则x- y的最大值为__________.

8.
sin7?cos15?sin 8
cos7?sin15sin8
???
???
=__________.
3
11
9.
cos
2
?
11
·cos< br>2
11
?
·cos
?
·cos
2
4
11
?
·cos
5
11
?
=__________.
10. cos71
?
+cos71
?
cos49
?
+cos49
?
=__________.
11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.
12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.
13. 已知f(x)=< br>?
?
1
?
?
2
??
?
??
k
Asin
?
x?
?
3
??
5
(kA?
0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若
A>0, k=-1，求f(x)的单调 区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数
本身）间变化时，函数f(x)至 少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题（一）
1．若x, y∈R，则z=cosx+cosy-cosxy的取值范围是____________.
2．已知 圆x
2
+y
2
=k
2
至少盖住函数f(x)=
3s in
的取值范围是____________.
3．f(
?
)=5+8co s
?
+4cos2
?
+cos3
?
的最小值为______ ______.
4．方程sinx+
3
cosx+a=0在（0，2π）内有相异两 实根α，β，则α+β=____________.
5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.
6．设sina>0>cosa, 且sin
a
3
a
3
a< br>3
22
?
x
k
的一个最大值点与一个最小值点，则实数k>cos，则的取值范围是____________.
7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.
8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.
?
9．若0<
?
<, m∈N
+
, 比较大小：(2m+1 )sin
m
?
(1-sin
?
)__________1-sin< br>2m+1
?
.
2
10．cot70
?
+4cos7 0
?
=____________.
?
sinx?siny?a
?
11. 在方程组
?
cosx?cosy?b
中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。
?
cotx?coty?c
?
12．已知α，β，γ
?
?
0,
?
?
?
?
?
，且cosα+co sβ+cosγ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。
2
?
222
?
xsin3
?
?ysin
?
?a
?
13．关于x , y的方程组
?
xsin3
?
?ysin
?
?a
有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求
?
xsin3
?< br>?ysin
?
?a
?
sinα+sinβ+sinγ的值。

14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y
?
?
0,
?
?
?
?
?
.
2
?
联赛一试水平训练题（二）
1．在平面直角坐标系中，函数f(x)= asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与
函数g(x)=
a ?1
的图象所围成的封闭图形的面积是__________.
2．若
x??
?
?
?
5
?
12
,?
2
?
?< br>2
?
?
?
?
?
????
，则y=tan?
x?
-tan
?
x?
?
+cos
?
x?
?
的最大值是__________.
?
3
?
3?
6
?
6
?????
cotC
cotA?cotB3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a
2
+9b
2
-19c
2
=0，则
4．设f(x)=x
2
-πx, α=arcsin
1
3
5
4
=__________.
, β=arctan, γ=arccos
?
?
?
?
1
??< br>5
?
?
, δ=arccot
?
?
?
, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)
3
??
4
?
从小到大排列为__________.
5．log
sin1
cos1=a, log
sin1
tan1=b, log
cos1
sin1=c, log
cos1
tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为
__________.
6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________.
7．已知 矩形的两边长分别为tan
?
2
和1+cos
?
(0<
?< br><π)，且对任何x∈R,
f(x)=sin
?
·x
2
+< br>4
3
·x+cos
?
≥0，则此矩形面积的取值范围是_______ ___.
8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.
9．已知当x∈[0, 1]，不等式x
2
cos
?
-x(1-x) +(1-x)
2
sin
?
>0恒成立，则
?
的取值范围是_ _________.
10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz= 0，则cos
2
x+ cos
2
y+ cos
2
z=__________.
11．已知a
1
, a
2
, …,a
n
是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a
1
+x)+
+
1
2
n?1
1
2
c os(a
2
+x) +…
cos(a
n
+x)。求证：若实数x
1
, x
2满足f(x
1
)=f(x
2
)=0，则存在整数m，使得x
2< br>-x
1
=mπ.
sinA?sinB?sinC
cosA?cosB ?cosC
?3
，求证：此三角形中有一个内角为12．在△ABC中，已知
?
3
。
13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>

六、联赛二试水平训练题
8n
5
.
1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx- siny)+siny>0①（w∈R）.
?1
1
?
1
???
n
2
2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N，求证：
?
≥2-2+1.
?1?1
?? ?
nn
?
sina
??
cosa
?
n
+< br>3. 设x
1
, x
2
,…, x
n
,…, y
1
, y
2
,…, y
n
,…满足x
1
=y
1
=
3
, x
n+1
=x
n
+
1?x
n
, y
n+1
=
2n
y
n
<3(n≥2). 2
y
n
1?1?y
2
n
，求证：

4．已知α，β，γ为锐角，且cosα+cosβ+cosγ=1，求证；
222
3
4
π<α+β+γ<π.
?
?
?
5．求实数a的取值范围，使得 对任意实数x和任意
?
?0,
，恒有
?
2
?
??< br>(x+3+2sin?cos?)+(x+asin?+asin?)2≥
.

8
2
1
6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x
?
?
0,
?
?
?
?
?
都有2|sinx- cosx|≤3|sinx-cosx|.
2
?
nnnn
7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC- cosA-cosB-cosC的最大值。
8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2a, …中的每一项均为负数。
?
?
?
9． 已知
?
i
?
?
0,
?
，tan
?
1
tan
?
2
…tan
?
n
=2
2
, n∈N
+
, 若对任意一组满足上述条件的
?
2
?
n
n
?
1
，
?
2
，…，
?
n都有cos
?
1
+cos
?
2
+…+cos
?
n
≤λ，求λ的最小值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m