高中数学函数的应用知识点归纳与常考题型专题练习(附解析).docx

高中数学函数的应用知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
知识点：
第三章函数的应用
3.1
函数与方程
3?1
方程的根与函数的零点
【知识要点】
1
、 函数零点的概念
对于窗数
y
二
f(x),
使
f(x)=O
的实数
x
叫做函数的零点.(实质上是函数
y
二
f(x)< br>与
x
轴交点的横
坐标)
2
、 函数零点的意义
方程
f(x)=O
有实数根o函数
y
二
f(x)
的图象与< br>x
轴有交点o函数
y
二
f(x)
有零点.
3
、 零点定理
函数
y=f(x)
在区间
［a,b］上的图象是连续不断的，并且有
f(a)f(b)<0,
那么函数
y=f(x)< br>在区间
(a,b)
至少有一个零点
c,
使得
f( c)=O,lht
时
c
也是方程
f(x)=O
的根.
4
、 函数零点的求法
求函数
y=f(x)
的零点：
(1) (代数法)求方程
f(x)=O
的实数根；
(2) (儿何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y=f(x)
的图象联系起来，并 利用
函数的性质找出零点.
5
、 二次函数的零点
二次函数
f(x)=ax
2
+bx+c(a#O).
(1)
A>0,方程
f(x)=O
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，二 次函数有两 个零
点.
(2)
△=(),
方程
f(x)=O有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与
x
轴有一个交点，二 次函数
有一个二重零点或二阶零点.
(3)
△<(),
方程
f( x)=O
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点.
3.1.2
用二分法求方程的近似解
【知识要点】
1
、 概念
对于在区间
ra,b］±
连续不断且
f(a)f(b)<0
的函数< br>y=f(x),
通过不断地把函数
f(x)
的零点所在的 区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2
、 用二分法求方程近似解的步骤
⑴确定区间
［a,b］,
验证
f(a)f(b)<0,
给定精确度?；
(2)
求区间
(a,b)
的中点
c;
(3)
计算
f(c),
① 若
f(c)
二
0,
则
c
就是函数的零点；
② 若
f(a)f(c)<0,
则令
b=c
(此时零点
x
()
G(a,c))
③ 若
f(c)f(b)v0,
则令
a=c
(此时零点
x
()
W(c,b))
(4)
判断是否达到精确度?：即若|a
?
b0,
则得到零点近似值为
a
(或
b);
否则重复⑵?
(4)

2
几个增长函数模型
一次函数：
y=ax+b(a>0)
指数函数：
y=a
x
(a> 1)
指数型函数：
y
二
kaX(k>0,a> 1)
幕函数：
y=x
n
( neN*)
对数函数：
y=logdX
(
a>l)
二次函数：
y
二
ax'+bx+cQ
〉。)

3.2
几类不同增长的函数模型
【知识要点】
1
、 评价模型
给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况

增长快慢：
V(a
x
)>V(x
n
)>V(log
a
x)
解不等式(
1) Iog
2
x< 2
X
< X
2

(2) log
2
x< x
2
< 2
X

3
、分段函数的应用
注意端点不能重复取，求函数值先判断口变量所在的区间.
4
、二次函数模型 y=ax
2
+bx+c(a^0)
先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在 不在定义域内，
在的话代 进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值.

两个根都小于
K

两个根都大于
K

I
V

J
,
y k x
k
丿

「
1
> o
一个根小于
K,
一个根大于
K
i


弋
V
△ A O
V
△ A O
V
f(k)<0

b
v k
2c
J
【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的
> O
b
--------- > k
2c

增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 【难点】怎样
选择数学模型分析解决实际问题.
常考题：
一. 选择题(共24小题)
1.
函数
f (x) =|x-2|
?
lnx
在定义域内零点的个数为( )
A. 0 B
?
1 C
?
2 D. 3
2.
定义在
R
上的奇函数
f (x),
当
xNO
时，
log! (x+1), xE ［0, 1)
f (x) =
~2 ,
l-|x-3 I , ［1, +8
)
则关于
x
的函数
F (x) =f (x) -a (0的所有零点之和为( )
A. 1 -2
a
B
?
2
a
- 1 C
?
1 -2
「
a

D
?
2'
a
- 1
3.
已知函数
f (x)
函数
g (x) =b-f (2-x),
其中
beR,

若函数
y=f (x) -g (x)
恰有
4
个零点，则
b
的取值范围是( )
A.
(上，
4-00
)
B
?(?
oo, 1) C. (0, 1) D.
(上，
2)
4 4 4 4
4.
已知函数
f (x) y
二
f
l
(
，函数
g (x) =3 - f (2-x)
，
则函数
x-2)
2
, x>2
(x) - g (x)
的零点个数为( )
A. 2 B. 3 C
?
4 D
?
5
5.
已知函数
f (x) = I x - 2 I +1, g (x) =kx.
若方程
f (x) =g (x)
有两个不
相等的实根，则实数
k
的取值范围是( )
A. (0,
丄)
2 2
B.
(丄，
1) C
?(
1, 2) D. (2, +g)
6.
函数
f (x) =ln (x+l) -Z
的零点所在区间是
X
( )
A.
(丄,
2
1) B
?
(1, e - 1) C
?
(e-1, 2) D. (2, e)
7.
已知函数
f (x) - log
2
x,
在下列区间中，包含
f (x)
零点的区间是(
A. (0, 1) B
?
(1, 2) C
?
(2, 4) D
?
(4, +oo)
8.
若
X>
° (畔
1),
在定义域
Coo, +oo)
上是单调函数，
严
x<0
则
a
的取值范围是( )
A.
(
1
，
V21 B.
［也，
T
)
U
［佢
，
+8
)
c ? (a
，
-近］
U(l, V2］
D
?
(0,
?山［屈+8)
)

9.
=x
2
- 2x+a (e
x
'
!
+e
x+1
)
有唯一零点，贝
ij a
二(
已知函数
f (x)
)

-丄
B.
丄
C
?
丄
D.
2 3 2
内有零点且单调递增的是（
下列函数中， 在（-
1
10. ,1)
A.

）
A.


y=lo g] x B ? y=2
x
- 1C.
尸
X
2
今
D
?
y= - X
3

函数
f(x)=2^3
零点所在的一个区
)
11.
间是(
A. ( - 1, 0) B. (0, 1) C
?
(1, 2) D
?
(2, 3)
12.
设函
=f（x）
“〈° 若
f（-4
）
二
f（0）, f（-2）
二-
：，
则函数
g（x）
2, x>0
-X
的零点的个数为（ ）
A. 3
个
B
?
2< br>个
C
?
1
个
D
?
0
个
13.
若函数
f （x） =x
2
+a|x|+2, xER
在区间
［3, +oo）
和
［- 2, - 1］
上均为增函数,
则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
[-旦
，
一
3] B. [ -6, -4] C
?
[一
3, - 2^2] D. [-4, -3]
3
14.
已知实数
a, b
满足
2
a
=3, 3
b
=2,
则函数
f (x) =a
x
+x - b
的零点所在的区间 是( )
A. ( - 2, - 1) B. ( - 1, 0) C
?
(0, 1) D. (1, 2)
15
?
函数
f (x) =log
2
x -
丄的零点所在的区间为(
X
A. (0, 1) B
?
(1, 2) C
?
(2, 3) D
?
(3, 4)
)
16.
若函数
f (x) =x
2
- 2mx+m
2
- 1
在区间
[0, 1]±
恰有一个零点，则
m
的取值 范
围为( )
A. [ - 1, 0]U[l, 2] B
?
[
?
2,
?
l]U[0, 1] C. [ - 1,
1]
D. [ - 2, 2]
17.
函数
f (x) =2
x
|log
0
.
5
x| - 1
的零点个数
为( )
A. 1 B
?
2 C
?
3 D
?
4
18. f (x) =e
x
- x - 2
在下列那个区间必有零点( )
A.(
?
1, 0) B
?
(0, 1) C
?
(1, 2) D
?
(2, 3)
19.
设函数
f(
x
)
4
x2_6x+6, X>0
,
若互不相等的实数“
X
2
, X3
满足
f (X|) 3x+4,
x=f
（
X
2
）
=f
（
X3
）
,
则
X1+X2+X3
的取值范围是
（


20.
间是(
A. (1, 2) B
?
(2, 3) C
?
(3, 4) D
?
(e, +00)
—-3, -1 < 0
x
函数
f (x)
二
lnx-Z
的零点所在的区
)

21
?
已知函数
g (x)
二
x+1
x^~3 x+2,
有两个不等的实根，则实数
m
的取值范围是（
,若方程
g (x)x-m=0
有且仅
）

A. ( -2]U[0, 2]
B
?
(一旦,
-2]U[0, 2] C
?
(
一
2, - 21U[0, 2)
4 4
D.
( - 旦，
-2]U[0, 2)
4
22.
已知
f (x)
二上
1 (xWR),
若关于
x
的方程
f
2
(x) - tf (x) +t - 1=0
恰好
e
x

有
4
个不相等的实数根，则实数
t
的取值范围为( )
A.
(丄，
2) U (2, e) B
?
(丄，
1) C
?(
1,
丄
+1) D.
(丄，
e)
e e e
23
?
下列函数屮，在
(
-1, 1)
内有零点且单调递增的是(
A. y=log2X B
?
y=2
?
1 C
?
y=x?
?
2D
?
y= - x
3

e
)
(
(3

)
Y
—4 g x i
n

X>1
贬
5
尹

是
R
上的增函数，那么
a
的取值范围是( )
A
. r~|-, 3) B
?
r~|-, 1)C. (?, 3)D
?
(?, 1)
二. 填空题(共7小题)
f 9
X
-1
x
>0
25
?
已知函数
f (x)
二 '
[-x
2
,若函数
g (x)
二
f (x) - m
有
3
个零点,
则实数
m
的取值范围是 _______ ?
26.
己知函数
f(x) =|2
X
- 2| - b
有两个零点，则实数
b
的取值范围是 ___________ ?
<|| ,
T
：
::

已知函数
f(x)
二；，* ” ，其中
m>0
,若存在实数
b,
使得关
27.
x
z_
2irix+4in,
X
>
ITI

于
x
的方程
f (x) =b
有三个不同的根，则
m
的取值范围是 _________
4
(
x-a) (x-2a),
① 若
a=l,
则
f (x)
的最小值为 __________ ；
② 若
f (x)
恰有
2
个零点，则实数
a
的取值范围是 _________ ?

28.
设函数
f (x)
2
x
-a,
x29
?
己知函数
f(x)=[xj
若存在实数
b,
使函数
g(x)=f(x) -b
有两
[x
2
, x>a
个零点，则
a
的取值范围是 _______ ?
30.
函数
f (x)
』异-
2,
X
<0
的零点个数是 _________ .
2x-6+lnx, x>0
31
?
已知函数
f (x) =|
X
2+3
X
|,
X
GR,
若方程
f (x) - a|x - l|=0
恰有
4
个互异的 实数根，则实数
a
的取值范围为 _____________________ ?
三. 解答题(共19小题)
32.
已知
f (x) =|2x - l|+ax - 5 (a
是常数，
a^R)
① 当
a=l
时求不等式
f (x) >0
的解集.

② 如果函数
y=f (x)
恰有两个不同的零点，求
a
的取值范围.
33
?
已知
a
是实数，函数
f (x) =2ax
》+
2x - 3 - a,
如果函数
y=f (x)
在区间
[-1,
1]
上有零点，求
a
的取值范围.
34.
设
f (x) =|x - a| - —+a, xW[l, 6], aW (1, 6).
X
(I )
若
aW (1, 2],
求
f (x)
的单调区间；
(II )
求
f (x)
的最小值.
35.
已知函数
f (x)
二
aX+x'-xlna (a>0, a^l)
?
(I )
当
a>l
时，求证：函数
f (x)
在
(
0, +oo)
上单调递增；
(II)
若函数
y=|f (x) -t|- 1
有三个零点，求
t
的值；
(III)
若存在
X], X2U[-1, 1],
使得
|f
(
X|) - f (x
2
) |>e - 1,
试求
a
的取值范 围.
36.
已知定义在
(
1, +oo)
上的函数
f (x) =x - lnx - 2, g (x) =xlnx+x
?
(1)
求证：
f (x)
存在唯一的零点，且零点属于
(
3, 4)
；
(2)
若
kw
乙 且
g
(
X
)
>k (x - 1)
对任意的
x>l
恒成立，求
k
的最大值.
37.
已知函数
g (x) =ax
2
- 2ax+l+b (a
工
0, b在区间
[2, 3]
上有最大值
4,
最小值
1,
设
f
(x)
=迪?
X
(I )
求
a, b
的值；
(II)
不等式
f
⑵)
?
k-2
x
>0
在炸[?
1, 1]
上恒成立，求实数
k
的范围；
(III)
方程
f 1|) +k (—?—
?
3)
二< br>0
有三个不同的实数解，求实数
k
的
|2
X
-1|
范围.
38.
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半 径为
1
? 米，
高为
h
米，体积为
V
立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧 面积 的建造成本为
100
元
平方米，底面的建造成本为
160
元平 方米，该蓄水池的总 建造成木为
12000
K
元(兀为
圆周率).
(I )
将
V
表示成「的函数
V (r),
并求该函数的定义域；
(II)
讨论函数
V (r)
的单调性，并确定
r
和
h
为何值时该蓄水池的体积最大.
39.
某公司计划购买
1
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零 件，在购
进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个
200
元.在机器使用 期间，如果备件不
足再购买，则每个
500
元.现需决策在购买机器时应同时购买 几个易损零件，为此搜集并
整理了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零 件数，得如图柱状图：

频数

记
X
表示
1
台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，
y
表示
1
台机器在购买
易损零件上所需的费用(单位：元)，
n
表示购机的同时购买的易损零件数.
(I )
若
n
二
19,
求
y
与
x
的函数解析式；
(II)
若要求“需更换的易损零件数不犬于
rT
的频率不小于
0.5,
求
n
的最小值;
(III)
假 设这
100
台机器在购机的同时每台都购买
19
个易损零件，或每台都购 < br>买
20
个易损零件，分别计算这
100
台机器在购买易损零件上所需费 用的平均数,
以此作为决策依据，购买
1
台机器的同时应购买
19
个还是
20
个易损零件？
40.
设
a>0,
函数
f (x)
二
x'+allnx - 1|
?
(I )
当
a
二
2
吋，求函数
f (x)
的单调增区间；
(II)
若
xW[l, +oo)
时，不等式
f (x) Na
恒成立，实数
a
的取值范围.
41
?
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，
计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条和互垂直的公路为
h
，
12
，
山区边界曲线为
C,
计划修建的公路为
1,
如图所示，
M, N
为
C
的两个 端
点，测得点
M
到
h
，
12
的距离分别为
5
千米和
40
千 米，点
N
到
h
，
b
的距离 分
别为
20
千米和
2.5
千米，以J
h
在的直线分别为
x, y
轴，建立平面直角坐 标系
xOy,
假设曲线
C
符合函数(其屮
a, b
为常数)模型.
x +b
(1)
求
a, b
的值；
(2)
设公路
1
与曲线
C
相切于
P
点，
P
的横坐标为
t
?
① 请写出公路
1
长度的函数解析式
f(t),
并写出其定义域；
② 当
t
为何值时，公路
1
的长度最短？求出最短长度.

o i
2

42.
甲厂以
x
千克小时的速度匀速生产某种产品( 生产条件要求
lWxWlO),
每 小时
口
J
获得的利润是
100 (5x+l -—)
兀.
X
(1)
要使生产该产品
2
小时获得的利润不低于
300 0
元，求
X
的取值范围;

(2)
要使生产
900
千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速 度？
并求此最大利润.
43
?
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，
大桥上的车流速度
v
(单位：千米小时)是车流密度
x
(单位：辆千米)的函数, 当
桥上的车流密度达到
200
辆千米时，造成堵 塞，此时车流速度为
0
；
当车流密 度
不超过
20
辆千米时 ，车流速度为
60
千米小时，研究表明：当
20时,
车流速度
v
是车流密度
x
的一次函数.
(I )
当
0时，求函数
v (x)
的表达式；
(II
)当车流密度
x
为多人时，车流量(单位吋间内通过桥上某观测点的车辆数, 单
位：辆小时)
f (x) =x
?
v (x)
可以达到最大，并求出最大值.(精确到
1
辆 时).
44.
已知函数
f (x)
二
^^+kx+b,
其中
k, b
为实数
UkHO.
|x+2|
(I)
当
k>0
吋，根据定义证明
f (x)
在
(
-oo, - 2)
单调递增；
(II)
求集合
M
k
={b|
函数
f (x)
有三个不同的零点}?
45.
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼
养殖提供政府补贴 .设淡水鱼的市场价格为
x
元千克，政府补贴为
t
元千克.根
据市 场调查，当
8时，淡水鱼的市场日供应量
P
千克与市场日需求量< br>Q
千
克近似地满足关系：
P
二
1000 ( x+t - 8 ) ( x>8, t>0), Q=500
A

40
_
(
x
_g
)
2
(
8当
P=Q
时市场价格称为市场平衡价格.
(1)
将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求岀函数的定义域；
(2)
为使市场平衡价格不高于每千克
10
元，政府补贴至少为每千克多少元？
46.
已知美国苹果公司生产某款
iphone
手机的年固定成本为
40
万美元，每生产
1
只还需另投入
16
美元.设苹果公司一年 内共生产该款
iphone
手机
x
万只并全

部销售完，每万只的销售收入为
R(x)
万美元，且
R(x)^ 7400 40000
? x>4Q
Y 2
I X X
(1)
写出年利润
W
(万元)关于年产量
x
(万只)的函数解析式；
(2)
当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？
并求出最大利润.
47
?
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
y
(单位：千克)与 销
售价格
x
(单位：元千克)满足关系式尸亠
+10 (x-6)
2
,
其中
3x~3
a
为常数.已知 销售价格为
5
元千克时，每
H
可售出该商品
11
千克.
(I )
求
a
的值；
(II)
若该商品的成品为
3
元千克，试确定销售价格
x
的值，使商场每日销售 该商
品所获得的利润最大.
48.
已知函数
f (x) =lnx - —ax+a - 2, a^R
?
2
(1)
求函数
f (x)
的单调区间；
(2)
当
a<0
吋，试判断
g (x)
二
xf (x) +2
的零点个数.
49
?根据预测，某地第
n (nCN
「个月共享单车的投放量和损失量分别为昂和

、
5i?+15, l亠、
b
n

（单位：辆），其中
a
n
=^
、 ，
bn=n+5,
第
n
个月底的共孚单
[-10n+470, n>4
车的保有量是前
n
个月的累计投放量与累计损失量的差.
（
1
）

求该地区第
4
个月底的共享单车的保有量；
（2）
已知该地共享单车停放点第
n
个月底的单车容纳量
S
产?
4 （n
?
46）
2
+8800
（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了
此时停放点的单车容纳量？
50
?
经过多年的运作，“双十一抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体
促销盛宴.为迎接
2014
年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，
对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一''的销售量
P
万件
与促销费用
x
万元满足
P=3
-旦（其中
OSxSa, a
为正常数）.已知生产该批产
x+1
品
P
万件还需投入成本< br>10+2P
万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
（
4
谬）元件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
（
I
）将该产品的利润
y
万元表示为促销费用
x
万元的函数；
（
II
）
促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

必修一 第三章函数的应用知识点与常考题(附解析)
参考答案与试题解析
一.选择题(共24小题)
1.
函数
f (x) =|x-2|-lnx
在定义域内零点的个数为(
A. 0 B
?
1 C. 2 D
?
3
)
【解答】解：由题意，函数
f (x)
的定义域为
(
0, +oo)
；
由函数零点的定义,
f (x)
在
(0, +8
)
内的零点即是方程
|x - 2| - lnx=0
的根. 令
yi=|x
?
2|, y2=lnx (x>0),
在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有
两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点.
故选：C.

2.
定义在
R
上的奇函数
f (x),
当
xNO
时，
log! (x+1), xE [0, 1)
f (x) =
~2 ,
l-|x-3|, [1, +8
)
则关于
X
的函数
F (x) =f (x) -a (0的所有零点之和为( )
a
aa
A. 1 - 2 B
?
2- 1 C
?
1 —2
「

D
?
2
_a
- 1
【解答】解：???当
xNO
时，
、
log^(x+l), X ? [o, 1)
f (x)
二彳 ；
l-|x-3 I , x? [1, +8
)
即
xe[0, 1)
时，
f (x) =10
§1
(x+1) e ( - 1, 0]
；
xG[l, 3]
时,
f (x) =x-2e[- 1, 1]
；
xG (3, +oo)
时,
f(x)=4
?
xG ( - oo, - 1 )
；

画出总
0
时
f (x)
的图象，
再利用奇函数的对称性，画
IW x<0
时
f (x)
的图象，如图所示;

则直线
y
二
a,
与
y=f (x)
的图象有
5
个交点，则方程
f (x) - a=0
共有五个实根, 最左
边两根之和为-
6,
最右边两根之和为
6,
*.*x(-1, 0)
时，
-xW (0, 1),
.f ( - X
)
= log J ( - x+l),
T
又
f ( - x) = - f (x), .f (x) = - logj ( - x+l ) = logj ( 1 - X
)

l=
log2 ( 1 -
X
)
,
~2 ~2
中间的一个根满足
log2 (1 - x) =a,
即
1 - x=2
a
,
解得
x=l -2
a
,
???所有根的和为
1 -2
a
.
故选：
A.
(
2-|x I
；
(x-2)
2
, x>2
,函数
g (x)
二
b
?
f (2
?
x),
其中
beR,
)

若函数
y
二
f (x) - g (x)
恰有
4
个零点，则
b
的取值范围是(
A. (1, +oo) B
?(
-co, 1) C
?(
0, 1) D. (1, 2)
4 4 4 4
【解答】解：
Tg (x) =b - f (2 - x),
A y=f (x) -g (x) =f (x) - b+f (2 - x),
[tlf (x) - b+f (2 - x) =0,
得
f (x) +f (2 - x) =b,
设
h (x) =f (x) +f (2
?
x),
若
x<0,
则-
x>0, 2 - x>2,
则
h (x) =f (x) +f (2 - x) =2+x+x‘
，
若
0则 -
2S - x<0, 0<2 - x<2,
则
h (x) =f (x) +f (2 - x) =2 - x+2 - |2 - x|=2 - x+2 - 2+x=2,
若
x>2, - x< - 2, 2 - x<0,
贝!
Jh (x) =f (x) +f (2 - x) = (x - 2)
2
+2 - |2 - x|=x
2
- 5x+8.

X
2
+
X
+2,
X
=C0
即
h (x)=-
2,

0< x=C 2,
x>2
X
2_
5
X
+&

作出函数
h (x)
的图彖如图：
当拓
0
时，
h (x)
二
2+x+x?
二
(
x+
丄)
2
+1>1,
2 4
一
4
当
x>2
时，
h (x) =x
2
- 5x+8= (x-5)
2
+1>1,
2 4~4
故当
b=
丄时，
h (x) =b,
有两个交点，
4
当
b=2
时，
h (x)
二
b,
有无数个交点，
由图象知要使函数
y
二
f (x) -g (x)
恰有
4
个零点, 即
h (x)
二
b
恰有
4
个根，
则满足
l4

(
2 -

；
，
函数
g (x) =3 - f (2 - x)
，
则函数
(x-2)
2
, x>2
(x) - g (x)
的零点个数为( )
A
?
2 B
?
3 C. 4 D
?
5
【解答】解:
Vg (x) =3 - f (2 - x),
. y=f (x) -g (x) =f (x) - 3+f (2 - x),
由
f (x) - 3+f (2 - x) =0,
得
f (x) +f (2 - x) =3,
设
h (x) =f (x) +f (2-x),
若
x<0,
则-
x>0, 2 - x>2,
则
h (x) =f (x) +f (2
?
x)
二
2+x+xS
若
0则-
2< - x<0, 0<2 - x<2,
则
h (x) =f (x) +f (2 - x) =2 - x+2 - |2 - x|=2 - x+2 - 2+x=2,
若
x>2, - x<0, 2 - x<0,
贝!
J h (x) =f (x) +f (2 - x) = (x - 2)
2
+2 - |2 - x|=x
2
- 5x+8.
y
二
f

X
2
+
X
+2,
x=CO
即
h (x) =< 2,
0X
2
-5
X
+8,
x>2
作出函数
h (x)
的图彖如
图：
当
y=3
时，两个函数有
2
个交点，
5.
已知函数
f(x) = | x - 2
I +1, g (x) =kx.
若方程
f (x)
二
g
相等的实根，则实数
k
的取值范围
是( )
A. (0,
丄)
2 2
B.
(丄，
1) C. (1, 2) D. (2, +oo)
【解答】解：由题意可得函数
f (x)
的图象(蓝线) 和函数
g (x)
的图
象(红线)有两个交点，
2
如图所不：
K
OA
二丄，
数形结合可得丄
＜
2
kVl,
故选：
B.
有两个不
(x)

故函数
y=f (x) - g (x)
的零点个数为
2
个,

6.
函数
f (x) =ln (x+1) - 2
的零点所在区间是
x
( )
A.
(丄,
1) B
?
(1, e- 1) C
?
(e-l, 2) D. (2, e)
2
【解答】解：
Vf (e - 1) =lne -
e~l e~l e~l
—^—=1 - ^-=-^^-<0,
f (2) =ln3 - 1 >lne - 1=0,
即
f (e - 1)
?
f (2) <0,
???函数
f(x)=ln(x+l)
X
的零点所在区间是
(e- 1, 2),
故选：
C
?
7.
已知函数
f (x) =1 - lo
X
g2
x,
在下列区间中，包含
f (x)
零点的区间是(
A. (0, 1) B
?
(1, 2) C
?
(2, 4) D
?
(4, +oo)
【解答】解:
Vf (x) — - 10g2X,
X
???
f (2) =2>0, f (4)
二-丄
2
VO,
满足
f (2) f (4) <0,
???
f (x)
在区间
(
2, 4)
内必有零点，
故选：
C.
8.
若
f（x
）
」
X>
°
31）,
在定义域
（
-co, +oo）
单调函数，
［（一
1
北生
x<0
则
a
的取值范围是（ ）
A.
（
1
，
伍］
B. 1W
，
-1
）
U
［逅
，
+8
）
c
?（
a
，
-V21U （1, V2］
D
?
（0, ?）U
［血 +8）
【解答】解：
f（
X
）
在定义域
（?
00, +00
）
上是单调函数时，
① 函数的单调性是增函数时，可得当
x=0
时，
（a
2
-l） e
ax
2
+l=l,
即
a
2
- 1<1,
解之得 -
V2?
??
xNO
时,
y=ax
2
+l
是增函数,
Aa>0
又
Vx< 0
时，
（
a?
?
1）
严是增函数，
A a
2
- 1>0,
得
aV
?
1
或
a>l
因此，实数
a
的取值范围是:
Ka② 函数的单调性是减函数时，可得当
x=0
时，
（
a?- 1） e
a
XNax2+l = l,
即
a
2
- 1>1,
解之得
a<
-伍或
a>V2
?
?.?xNO
时,
y=ax
2
+l
是减函数,
Aa<0
又
Vx< 0
时，
（
a?
?
1）
严是减函数，
A a
2
- 1>0,
得
aV
?
1
或
a>l
因此，实数
a
的取值范围是：
a<-V2
综上所述，得曲（Q，
-V21U（1, V21
)
上是

故选：
C.
9.
已知函数
f (x) =x
2
- 2x+a (e
x_,
+e'
x+,
)
有唯一零点，贝2=(
A.
-丄
2
B.
丄
C.
丄
D. 1
3 2
)
【解答】解:因为
f (x) =x
2
- 2x+a
(产】+严)=-
1+ (x- 1)
2
+a
(产】+亠)
=0,
所以函数
f (x)
有唯一零点等价于方程
1 - (x- 1)
2
=a (e
x
-'+^-)
有唯一解, 等价于函数
y=l - (x- 1)
$$的图象与
y=a
(『-】+?)的图象只有一个交点.
e
①
当
a=0
时，
f (x) =x
2
- 2x> - 1,
此时有两个零点，矛盾；
2
②
当
a<0
时，由于
y=l - (x - 1)
在(-
oo, 1)
上递增、在
(
1, +oo)
上递减,
且
y=a
(『“+
1
)在(-
oo, 1)
上递增、在
(
1, +oo)
上递减，
所以函数
y=l - (x - 1)
$$的图象的最高点为
A (1, 1), y=a (e
x 1
+
象的最高点为
B (1, 2a),
由于
2a<0此时函数
y=l - (x- 1)
的图象与
y=a
2
e
)的图
的图象有
e
两个交点，矛盾；
③
当
a>0
时，由于
y=I - (x - 1)
在(-
co, I)
上递增、在
(
1, +oo)
上递减,
2
且
y=a (e
x
'
)在(-
oo, 1)
上递减、在
(
1, +oo)
上递增，
e
x_1

所以函数
y=l - (x - 1)
的图象的最高点为
A (1, 1), y=a (e
x l
4-
2
e
)的图
象的最低点为
B (1, 2a),
由题 可知点
A
与点
B
重合时满足条件，即
2a=l,
即
a=l,
符合条件；
2
综上所述，
a—,
2
故选：
C.
10.
下列函数中，在(
-1, 1)
内有零点口单调递增的是(
A
、
y=lo gj x B. y=2
x
- 1 C.
尸丄
D. y= - x
3

2
7
)
【解答】解：
A
、
y=lo gj x
的定义域是
(
0, +oo),
且为减函数，故不正确；
7
B
、
y=2
x
- 1
的定义域是
R,
并且是增函数，且在(-
1, 1)
上零点为
0,
故正确;
C
、 尸丄在
(
-1
，
0)
上是减函数，在
(
0, 1)
上是增函数，故不正确；
2
D
、
y=-x
3
是减函数，故不正确.

故选:
B.

11.
函数
f(x)=2^3
零点所在的一个区间是(
A. ( - 1, 0) B. (0, 1) C
?
(1, 2) D
?
(2, 3)
【解答】解:
Vf ( - 1)
=丄-
3<0
2
)
f (0) =1 - 3=
?
2V0
f (1) =2-3=- KO,
f (2) =4-3=l>0
???
f (1) f (2) <0,
???函数的零点在
(
1, 2)
区间上，
故选：
C.
12.
设函

2, x>0
“〈° 若
f(-4
)
二
f(0), f(-2)
二-
：，
则函数
g(x)=f(x)
?
x
的零点的个数为( )
A. 3
个
B
?2
个
C
?
1
个
D
?
0
个
【解答】解：
T x<0
时，
f (x) =x
2
- bx+c, f (-4) =f (0), f ( - 2) = - 2 f (x) =
X
2
+4
X
+2,
解
方程
X
2
+4
X
+2=
X
,
得
x= - 1,
或
x= - 2
；

当
x>0
时，
f (x) =2,
解方程
2=x,
得
x=2,
综上函数
g (x) =f (x) -x
的零点的个数为
3
个， 故选：
A.
13.
若函数
f (x) =x
2
+a|x|+2, xeR
在区间
[3, +oo)
和[?
2, -
1]
上均为增函数, 则实数
a
的取值范围是( )
A.
[-丄，
-3] B. [-6, -4] C
?
[-3, -2
A
2] D
?
[- 4, - 3]
3
【解答】解：
f (x) =x
2
+a|x|+2,
Vf ( - x) = ( - x)
2
+a| - x|+2=x
2
+a|x|+2=f (x),
???
f (x)
为实数集上的偶函数，由
f (x) =x
2
+a|x|+2
在区间
[3, +oo)
和
[-2,- 1]
上均
为增函数，
知
f (x)
在
[3, +oo)
上为增函数，在
[1, 2]
上为减函数，
???函数
y=x
2
+ax+2 (x>0)
的对称轴二』?
[2, 3]
，
得
a^[-6, -4].
2
故选：
B.
14.
已知实数
a, b
满足
2
a
=3, 3
b
=2,
则函数
f(x)F+x-b
的零点所在的区间 是( )
A. ( - 2, - 1) B. (-1, 0) C
?
(0, 1) D. (1, 2)
【解答】解：???实数
a, b
满足
2
a
=3, 3
b
=2,
A a=log23 > 1, 0???函数
f (x) =a
x
+x - b,
???
f (x) = (log
2
3) x+x-log32
单调递增,

???
f (0) =1 - log
3
2>0
f ( - 1) =log32 - 1 - log32= - KO,
???根据函数的零点判定定理得岀函数
f (x) =a
x
+x - b
的零点所在的区间(-
1, 0),
故选：
B.
15.
函数
f
(
X
)
=log
2
x -
丄的零点所在的区间为(
X
A. (0, 1) B
?
(1, 2) C
?
(2, 3) D. (3, 4)
)
【解答】解：由函数
f
(
X
)
二
Id g
2
x—?
可得
f
(
1
)
= - KO, f (2) =1
-丄二丄
>0,
??
?
f (1)
?
f (2) <0.
根据函数零点的判定定理可得，函数
f(x
)=l
0
g
2X
-i
的零点所在的区间为
(
1,2),
故选：
B.
16.
若函数
f (x) =x
2
- 2mx+m
2
- 1
在区间
[0, 1]
上恰有一个零点，则
m
的取值
范围为( )
A. [ - 1, O]U[1, 2] B
?
[一
2, - 1]U[O, 1] C
?
[一
1, 1] D. [-2, 2]
【解答】解：令
f (x)

?
2mx+m2
?
1=0,
可得
X2=m+1,
???函数
f (x) =x
2
- 2mx+m
2
- 1
在区间
[0, 1]±
恰有一个零点，
0或
0?
1 或
1 ?
故选：
A.
17.
函数
f (x) =2
x
|log
0
.
5
x| - 1
的零点个数为(
A. 1 B. 2 C
?
3 D
?
4
y=
(占)％.与
y=|logo.5x|,
如图，
2
由图可得零点的个数为
2
?
故选：
B.
)
【解答】解:函数
f (x) =2
X
|logo.5X| - 1,
令
f (x) =0,
在同一坐标系中作出

18
?
f (x) =e
x
- x - 2
在下列那个区间必有零点(
A. ( - 1, 0) B. (0, 1) C
?
(1, 2) D. (2, 3)
【解答】解:
Vf (x) =e
x
- x - 2, Af (x) =e
x
- 1,
Vf (x) =e
x
- l>0, x>0,
)

f (x) =e
x
- 1=0, x=0,
f (x) =e
x
- KO, x<0
:.f (x) =e
x
- x - 2 S ( - oo, 0)
单调递减，在
(0, +oo)
Vf (1) =e-3<0, f (2) =e
2
- 4>0,
???
f (x)
在
(
1, 2)
内存在零点， 故选：
C.
19< br>?
设函数
f(
x
)-
x2

6x+6, X>
3x+4,
°,
若互不相等的实数
0
xi
=f
（
X2
）
=f
（
X3）,
则
X1+X2+X3
的取值范围是
（
A.
卑，
6]
B
?
号，
6）
26
D. (f

【 解答】解：???函数
f
(
x
)
4
X
2_6
X
+6,
[3x+4, x< 0

???根据二次函数性质得出
X2+X3=6,
利用函数
y=3x+4
得出:
Xi=O
时,
X1+X2+X3V6,
y= (x - 3)
2
- 3,
3x]+4= - 3, X]=-X,
3
.X1+X?+X3> _JL+6=
~ 3
—
3
,
.X1+X2+X3
的取值范围是(―
3
,
6),
故选：
B.
20.
函数
f (x) =lnx - -2
的零点所在的区间是
x
( )

A. (1, 2) B. (2, 3) C
?
(3, 4) D
?
(e, +00)

【解答】解:
Tf （x） =lnx
2,
则函数
f （x）
在
（
0,
Tf (2) =ln2
?
1<0, f (3) =ln3
?
Z>0,
3
:.f (2) f (3) <0,
在区间
(
2, 3)
内函数
f (x)
存在零点， 故

选：
B.
21.
已知函数
g （x）
亠
x+1
-
3, -l，
若方程
g
x^
_
3 x+2,
有两个不等的实根，则实数
m
的取值范围是（ ）
单调递增.
X2
，
X3
满足
f
(
Xi
)
26_-,
上单调递增,
-mx - m=0
有且仅

A
?
(一
2, -21U[0, 21 B
?
(一旦,
-21U[0, 2] C
?
(
一
2, —2]U[0, 2) 4 4 4
D.
( - 旦，
-2]U[0, 2)
4
【解答】解：由
g (x) - mx - m=0
得
g (x) =m (x+1),
原方程有两个相异的实根等价于两函数尸
g (x)
与尸
m (x+1)
的图象有两个不 同的
交点.
当
m>0
时，易知临界位置为
y
二
m (x+1)
过点
(
0, 2)
和
(
1, 0),
分别求岀这两个位置
的斜率
kj=2
和
k
2
=0,
由图可知此时
me[0, 2)
；
当
mVO
时，设过点(-
1, 0)
向函数
g (x)
二丄
-3, xe ( - 1, 0]
的图象作
x+1
切线的切点为
(xo, yo)
，
则由函数的导数为
0 (x)
一 得，
(x+1 )
2

1 _ ^0
< (x
0
+l)
2
x°+l
疔卄
1
解得 ；，
得切线的斜率为
k|=-2,
而过点
(
-1, 0), (0, -2)
的斜率为
k|=-2,
4
故可知
mW (
4
-2],
则
me (
?
2]U[0, 2).
4
故选：
C.
22.
已知
f (x)
二上
1 (xWR),
若关于
x
的方程
f
2
(x) - tf (x) +t - 1=0
恰好
e
x

有
4
个不相等的实数根，则实数
t
的取值范围为( )
A.
(丄，
2) U (2, e) B
?
(丄，
1) C
?(
1,
丄
+1) D
?
(丄，
e)
e e e e
【解答】解:
化简可得
f (x)

e
x

七、
x<0
、
e
x

当沦
0
时，
f (x)
二匕,

当
OWxVl
时，
f (x) ＞0,
当
xNl
时，
f (x) ＜0
???
f (x)
在
(
0, 1)
上单调递增，在
(
1, +oo)
单调递减；
当
xVO
时，
f (x)
二耳＜
0, f (x)
为减函数，
e
x

???函数
f (x)
二旦在
(
0, +oo)
上有一个最大值为
f (1)
二丄，作出函数
f (x) e
x e

的草图如图：
设
m=f (x),
当
m＞
丄时，方程
m=f (x)
有
1
个解，
e
当
01=
丄时，方程
m=f (x)
有
2
个解，
当
0Vm＜
丄吋，方程
m=f (x)
有
3
个解，
e
当
m=0
吋，方程
m=f (x),
有
1
个解，
当
mVO
时，方程
m=f (x)
有
0
个解，
则方程
f
2
(x) - tf
(
X
)
+t - 1=0
等价为
m
2
- tm+t - 1=0,
要使关于
x
的方程尸
(x) -tf (x) +t-l=O
恰好有
4
个不相等的实数根, 等价为方程
m
2
- tm+t - 1=0
有两个不同的根
mi＞
丄且
0Vm?V
丄，
e e
设
g (m) =m
2
- tm+t - 1,
电(
0)
二
t-l>0
ft>l
则哙K*
即怜
1
右
t＞0



解得
ivtvi+
丄,
e


23
?
下列函数中，在(
-1,1)
内有零点且单调递增的是(
A. y=log2X B
?
y=2
?
y=x? - 2 D
?
y= - x‘
)
【解答】解：
y=log 2*
在(-
1
，
1
)
有没有意义的情况，故
A< br>不对,

y=x
2
?
1
在(?
1, 0)
单调递减，故
C
不对，
y=-x
3
在
(-1,1)
单调递减，故
D
不对，
故
A, C, D
都不对，
Vy=2
x
- 1,
单调递增，
f ( - 1) <0, f (1) >0,
???在(-
1, 1)
内存在零点 故选：
B.
{
(3

)
Y
—4 g x i
n

X>1
贬
5
尹
是
R
上的增函数，那么
a
的取值范围是( )
A
?
[?, 3) B.
[辛,
1)C.
(寺,
3)D
?
(寺，
1)
【解答】解：根据题题意：
也>
1
有一
3-a>0
3
-宫-
logg
a

解得
aW g, 3)
故选：
A.
二.填空题(共
7
小题)
25
?
已知函数
f (x)=
(9
x
-i
Y
>n
'
[-x-2x, x<0
,若函数
g
(
X
)
二
f (x)
?
m
有
3
个零点,
则实数
m
的取值范闱是
(
0, 1) ?
【解答】解：函数
f (x)=
乂函数
g (x) =f (x) -m
有
3
X
2
X
-1, x>0
=
2-1, x>0
个零点, 知
f (x)
二
m
有三个
2 _
-
X
2
X
,
X
<0

[ -(x+1)
2
+l, x=C0
零点，
则实数
m
的取值范围是
(
0, 1).
故答案为：
(
0, 1 )
?
26.
已知函数
f (x)=|2
x
-2|-b
有两
个零点，则实数
b
的取值范 围是
0?

【解答】解：由函数
f(x)=0-2|-b< br>有两个
零点，可得
|2
X
- 2|=b
有两个零点, 从而可得函数
y=|2
x
- 2|
函数尸
b
的图象有两个
交点，

结合函数的图象可得，
0VbV2
时符合条件,

27.
已知函数
f(x)=C
[x
z_
2inx+4in, x>in
,其屮
m>0,
若存在实数
b,
使得关
于
x
的方程
f (x)
二
b
有三个不同的根，贝
U m
的取值范围是
(
3, +oo)
?
【解答】解：当
m>0
吋，函数
f(x)=r?'
X
的图象如下：
[x^
_
2inx+4iri, x>in
Vx>m
时，
f (x) =x
2
- 2mx+4m
二
(x - m)
2
+4m - m
2
>4m - m
2
,
.?
?
y
要使得关于
x
的方程
f (x)
二
b
有三个不同的根，
必须
4m - m’Vm (m>0),
即
m
2
>3m (m>0),
解得
m>3,
???
m
的取值范围是
(
3, +oo),
故答案为：
(
3, +oo).

2
x
-a, x28
?
设函数
f (x)=
4(x-a) (x-2a), x>l
① 若
a=l,
则
f (x)
的最小值为
- 1
；
② 若
f (x)
恰有
2
个零点，则实数
a
的取值范围是
l或
aN2
?
2
2
X
-1,
X
<1 ,
【解答】解：①当
a=l
时，
f
(
X
)
=
4
(
x-l) (x-2),
I
当
x时，
f (x) =2
X
- 1
为增函数，
f (x) > - 1,
当
x>l
时，
f (x) =4 (x- 1) (x-2) =4 (x
2
- 3x+2) =4 (x
■丄)
2
当
1时，函数单调递减，当
X>1
时，函数单调递增，
2 2
2
-1,
故当
X=
』时，
f
(
X
)
m
jn=f (―) 1,
2 2
②设
h (x) =2
X
- a, g (x) =4 (x - a) (x - 2a)
若在
x时，
h (x)
二与
x
轴有一个交点，
所以
a>0,
并且当
x=l
吋，
h (1) =2 - a>0,
所以
0Va<2,
而函数
g (x) =4 (x - a) (x - 2a)
有一个交点，所以
2aNl,
且
a所以丄
2
若函数
h (x) =2
x
-a
在
xVl
时，与
x
轴没有交点， 则函数
g (x) =4 (x-a) (x-2a)
有两
个交点， 当
a0O
时，
h (x)
与
x
轴
无交点， 当
h (1) =2 - a<0
时，即
g (x)
无交点，所以不满足题意(舍去)，
g (x)
的
血
2
时， 足题意的， 综上所述
a
两个交点满足
X]=a, x
2
=2a,
都是满
的取值范圉是
l2
或
a>2.
29.
已知函数
f(x
)
』｛‘
a
若存在实数
b,使函数
g(x)=f(x)
?
b
有两
x>a
个零点，则
a
的取值范围是
｛a|a<0
或
a>l｝ ?
【解答】解：
Tg (x) =f (x) -b
有两个零点，
???
f (x)
二
b
有两个零点，即
y=f (x)
与
y
二
b
的图象有两个交点，
由
x
3
=x
2
可得,
x=0
或
x= 1
①当
a>l
时，函数
f (x)
的图象如图所示，此时存在
b,
满足题意，故
a>l
满 足题意

R
上单调递增，故不符合题意
③当
OVaVl
时，函数
f(x)
单调递增，故不符合题意

⑤当
aVO
时，函数
y=f (x)
的图象如图所示，此时存在
b
使得，
y=f (x)
与
y=b
有两
个交点
综上可得，
a<0
或
a>l
故答案为:
{a|a<0
或
a>l}

30.
函数
f (x)
』舁-
2‘
X
<°
的零点个数是
2
?
2x-6+lnx, x>0
【解答】解：当
xSO
时，由
f (x) =0
得
-2二
0,
解得
x
二r伍或
2
範(舍去), 当
x>0
时，由
f(x)= 0
得
2x
?
6+lnx=0,
即
lnx=6 - 2x,
作岀函数
y=lnx
和
y=6-2x
在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有
1
个
交点，故
x>0
时，函数有
1
个零点.
故函数
f (x)
的零点个数为
2,

31.
已知函数
f (x) =|
X
2+3
X
|,
X
UR,
若方程
f (x) - a|x - 1|=0
恰有
4
个互异的 实数
根，则实数
a
的取值范圉为
(
0, 1) U (9, +QO
)
.
【解答】解：由
y=f (x) - a|x - 1|=0
得
f (x) =a|x - 1|,
作出函数
y=f (x), y=g (x)
=a|x - 1|
的图象， 当卒
0,
两个函数的图象不可能有
4
个交点，不满足条件，
则
a>0,
此时
g (x) =a|x - 1|=<
当-
3时,
f (x) = - x
2
- 3x, g
(x) = - a (x - 1),
当直线和抛物线
相切时，有三个零点，
此时 -
x? - 3x= - a (x - 1),
即
x
2
+ (3 - a) x+a
二
0,
则由△二
(
3
?
a)
2
- 4a=0,
即
a
2
- 10a+9=0,
解得
a=l
或
a=9,
当
a=9
时，
g (x) = - 9 (x - 1), g (0) =9,
此时不成立，???此时
a=l,
要使两个函数有
四个零点，则此时
0若
a>l,
此时
g (x) = - a (x - 1)
与
f (x),
有两个交点，
此吋只需要当
x>l
吋，
f (x) =g (x)
有两个不同的零点即可， 即
x
2
+3x=a (x - 1),
整理
得
x
2
+ (3 - a) x+a=O,
则由△二
(3 - a)
2
- 4a>0,
即
a
2
- 10a+9>0,
解得
aVl
(舍去)或
a>9,
综上
a
的取值范围是
(
0, 1) U (9, +oo),
方法
2
：
由
f (x) - a|x
?
1|=0
得
f (x) =a|x - 1|,
若
x=l,
则
4=0
不成立，
故
x^l,
则方程等价为
a=
抄卢
lx
2
+3x| =|
(
X
-1

)
2
+5(
X
-1)+4
|=|
X
_ i
+
_J_
+5
|,
a(x-l)
L
-a(x~l)

|x-l I X-l
设
g (x) =x - 1 +—^+5,
X-l
X-l X-l
当
X>1
时，
g (x) =x - l+?~+5N2j
(
x-l )—^
二
4+5
二
9,
当且仅当
x - 1
二
?
■，
x-l V x-l x-l
即
x=3
时取等号， _____________
当
X<1
时，
g (x) =x - 1+—^~+5<5-2j[-(x-l)]
?匕-二
5 - 4=1,
当且仅当 -
(x
X_
1 V X~1
-1 ) = - —
即
X= - 1
时取等号，
X-l
则
|g
(
X
)
I
的图象如图：
若方程
f (x) - a|x - 1|=0
恰有
4
个互异的实数根，
则满足
a>9
或
0故答案为：
(
0, 1) U (9, +oo)

371


2 0


6


<159


148


1




-6 ?5 -4 -3 -2 -
1 2 3
斗
5 6 7 8 9

11


-2


-3


三
.
解答题(共19小题)


32.
已知
f(x)=|2x
?
l|+ax
?
5 (a
是常数，
aGR)
①当


a=l
时求不等式
f (x) NO
的解集.

②如果函数
y
二
f (x)
恰有两个不同的零点，求
a
的取值范围.



3x-6,

【解答】解：①当
a=l
时，
f (x) =|2x
?
l|+x
?
5
二<


({)




解得
解得
X< - 4.


3x-6>0
x>2
；
一*一


??
.f (x) 20
的解为
{x|xN2
或
4
》

x< -
0


4).

②由
f (x) =0
得
|2x - 1|= - ax+5
?


作出
y=|2x-l|
和< br>y=-ax+5
的图象，观察可以知道，当-
2时，这两个函


彖有两个不同的交点，


函数
y
二
f (x)
有两个不同的零点.


故
a
的取值范围是(-
2, 2).

















数的图

33.
己知
a
是实数，函数
f (x) =2ax
2
+2x - 3 - a,
如果函数
y=f (x)
在区间
［-1, 1］
上有
零点，求
a
的取值范围.
【解答】解：
a
二
0
时，不符合题意，所以
afO,
又
:.f (x) =2ax
2
+2x - 3 - a=0
在
［-1, 1］
上有解,?
(2x
2
- 1) a=3 - 2x
在
［-1, 2
1］
上有解
O
丄二力
a 3~2 x
在
［-1, 1］
上有解，问题转化为求函数尸疋二
1］
上的值域;
3-2 x
设
t=3-2x, xe
［-
1, 1］,
则
2x=3 - t, te［b 5］,
2
设
g
(
t)=t+-
?
?
递减,
t ?［i,
听)时，
g
(
t
)
此函数
g (t)
单调
t?
(
V7
，
5］
时，
g- (t) >o,
此函数
g (t)
单调递增，
???
y
的取值范围是
27-3, 11,
???
f (x) =2ax
2
+2x
?
3
?
a=0
在［?< br>1, 1］
上有解o丄
G
［街一
3, 1］ <=>a>l
或
a
艮
2 ?
2
.
故
a>l
或
aS -
34.
设
f (x) =|x - a| - —+a, x^［l, 6］, aW (1, 6).
x
(I )
若曲
(1, 21
，
求
f (x)
的单调区间；
(II )
求
f (x)
的最小值.
【解答】解:(
I )
首先
f (x) =
2a
-
(x+~
)，
l
〈
x
〈
aL
X
,
nW 6
因为当
lVaS2
时，
f (x)
在
［1, a］
上是增函数，在
［a, 6］
上也是增函数. 所以当
l时，
y
二
f (x)
在
［1, 6］
上是增函数；
(II)
①当
lVaW2
时，由(
I )
知，
f (x)
min
=f (1) =2a-5,
②当
2时，
f (x)
在
［1, 2］
上是增函数，在
［2, a］
上是减函数，在
［a, 6］
上
是增函数.
又
f (1) =2a
?
5, f (a) =a
?
2,
且
f (1)
?
f (a) =a+l
?
5>0,
你军得
4所以当
2时，
f (x)
min
=f (1) =2a-5,
当
4时，
f (x)
m
in=f (a) =a -—.
a

l综上可知,

4< a35
?
已知函数
f (x) =a
x
+x
2
- xlna (a>0, a1).
(I )
当
a>l
时，求证：函数
f (x)
在
(
0, +oo)
上单调递增；
(II)
若函数
y=|f (x) -t|-l
有三个零点，求
t
的值；
(III)
若存在
xi
，
x
2
e[- 1, 1],
使得
|f (xi
)
-f (x
2
) |>e- 1,
试求
a
的取值范 围.
【解答】解：(
I )
*.* 函数
f (x) =a
x
+x
2
- xlna, ...f (x) =a
x
lna+2x - lna=2x+ (a
x
-1)
Ina,
由于
a> 1,
故当
xW (0, +oo)
时，
lna>0, a
x
- 1 >0,
所以
f (x) >0,
故函数
f (x)
在
(
0,
+oo)
上单调递增.
(II )
当
a>0, aHl I]
寸，因为
f (0) =0,
且
f (x)
在
(
0, +oo)
上单调递增， 故
f (x) =0
有
唯一解
x=0.
所以
x, f (x), f (x)
的变化情况如下表所示：
X
(-00,0)
—
谨减
广
(X)

0
0
极小值
(0,-KO)
+
谨増

又函数
y=|f (x) -t|- 1
有三个零点，所以方程
f (x)
二仕
1
有三个根， 即
y=f (x)
的图
象与两条平行于
x
轴的两条直线
yn ±l
共有三个交点.
不妨取
a>l, y=f (x)
在(-
oo, 0)
递减，在
(
0, +Q
递增，极小值
f (0) =1
也是最小值，
当
X—>±ooH
寸,
f (x) —>+oo.
Vt- ivt+i,
??
.f (x) n+1
有两个根，
f (x) 1
只有一个根.
At - l=fmin
(
X
)
=f (0) =1, At=2.
(Ill)
因为存在
X], X
2
e[- 1, 1],
使得
If (xi) -f (x
2
) |>e- 1,
所以当
XE[ - 1, 1]
时
，
| (f
(
X
)
) max
一
(
f
(
X
)
)
爲二
(
f
(
X
)
) max
一
(
X
)
)
min
>e ~ 1 ,
由
(
II)
知，
f (x)
在[?
1, 0]
上递减，在
[0, 1]±
递增，
所以当
xe[- 1, 1]
时，
(f (x))
min
=f (0) =1,
(f (x)) max
二
max{f ( - 1 ), f ( 1 ) },
而
f (1) -f (-l) = (a+l-lna) -21na
,

a a
记
g(t)=t
耳皿（〉
0）
，
因为当口时取等
=

号）, 所以
g(
t
)=t^-21nt
在
tw
(
0
，
+
00
)
上单调递增，而
g
(
1
)
=0,
所以当
t>l
时，
g (t) >0
；
当
OVtVl
时，
g (t) <0,
也就是当
a>l
时，
f (1) >f ( - 1),
当
0时，
f (1) 综合可得，①当
a> 1
时
*,由
f (1) - f (0) >e - 1,
可得
a - lna>e - 1,
求得
a>e.

②当
0Va时，由
f(-l)-f(O
)< br>>e-l=^Ulna>e-l=>O>
a
综上知，所求
a
的取值范圉为
(
0, ljU［e, +00).
e
36.
已知定义在
(
1, +oo)
上的函数
f (x) =x - Inx - 2, g (x) =xlnx+x.
(1)
求证：
f (x)
存在唯一的零点，且零点属于
(
3, 4)
；
(2)
若
kw
乙 且
g (x) >k (x - 1)
对任意的
x>l
恒成立，求
k
的最大值.
【解答】
(
1)
证明：令
f(x) =0,
得
:x - 2=lnx,
画出函数
y=x - 2, y=lnx
的图象，如图
示：
???
f (x)
存在唯一的零点，
乂
f (3) =1 - ln3<0, f (4) =2- ln4=2 (1 - In2) >0,
???零点属于
(
3, 4)
；
(2)
解：由
g
(
X
)
>k (x - 1)
对任意的
x>l
恒成立， 得：
k<
xlnx+
L>
(x>l),
X-l
令
h (x)
二旦竺
(x>l),
则
h
，
(x)
二旦咤二主込
□
(x-l)
2

设
f (xo) =0,
则由
(1)
得：
30
<4,
Ah (x)
在
(1, x
0
)
递减,在
(xo, +oo)
递增,
而
331n3+3

<4>
J_<
h
(
4
)
=
41n4+4_
<4>

2 3 3
.h (xo
)
<4,
???
k
的最大值是
3
?
(x-l)
2


37.
已知函数
g (x) =ax
2
- 2ax+l+b (a#), b在区间
［2, 3］
上有最大值
4,
最小值
1,
设
f (x)
=迪.
X
(I )
求
a, b
的值;
x
>0
在
xU[-l, 1]
上恒成立，求实数
k
的范围;
(II)
不等式
f
(公)
-k-2

(III)
方程
f (|2
X
- 1|) +k (
- 3) =0
有三个不同的实数解，求实数
k
的
|2
X
-1
范围.
【解答】解：(
I ) (1) g (x) =a (x - 1)
2
+l+b - a
当
a>0
时，
g (x)
在
[2, 3]
上为增函数
故匹
(
3)
二
4 J9a-6a+l+b
二
a
二
1

[g(2)=l
(
48-48+1+21 [b
二
0
当
aVO
时，
g
(
X
)
在
[2, 3]
上为减函数
故(
g
(
3
)
-1 9a
_
6a+l+b-l a-
_
l
?(2)
二
4 14a-4a+l+b=4 [b
二
3
Vb
(II )
由(
I )
即
g (x)
二
x? - 2x+l
?
f(J
二
x+
丄-
2
?
X
方程
f(2T - k-2
x
>0
化为
2
X
+
J—
2
>k*2
x

2
X

令丄二
t
，
k2
2
- 2t+1
X

Vxe[- 1, 1]
???疋[寺，
2]
记 ?
(t) =t
2
- 2t+l
??(
P ( t ) min
=
0
???
k<0
(III)
方程
f (|2*-1 |)+k(
广
3)
|2
二
X
-1|
0
化为
| 2
X
-1 |+
,1
I 2 -11
严
-(2+3k)
二
0
|2
X
- 1|
2
- (2+3k) |2
X
- 1|+ ( l+2k) =0, |2
X
- 1|
工
0
令
0- l|=t,
则方程化为
F - (2+3k) t+ ( l+2k) =0 (t
壬
0)
_
(2+3k)
二
0
有三个不同的实数解，
???由匸
0 - 1|
的图象知
|2
X
-1|
,
t
2
- (2+3k) t+ (l+2k) =0
有两个根 “、
t2
，
MO2
或
0Vt]2
=l
记(|)
(t) =t
2
- (2+3k) t+ (l+2k)
?(0
)
二
l+2k>0
?(0)
二
l+2k>0
J)(l)=-k<0
或
0(1)
二-
20
0<
警<
1

Ak>0.
?方程
|
2
X
-1 |+
l+氐
??

38
?
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不 计厚度).设该蓄水池的底面半 径为
「米，高为
h
米，体积为
V
立 方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积 的建造
成本为
100
元平方米，底面的 建造成本为
160
元平方米，该蓄水池的总 建造成
本为
1 2000
K
元(兀为圆周率).
(I )
将
V
表示成
r
的函数
V (r),
并求该函数的定义域；
(II)
讨论函数
V (r)
的单调性，并确定
r
和
h
为何值吋该蒂水池的体积最大.
【解答】解：(
I ) I
蓄水池的侧面积的建造成本为
200-jrrh
元，
底面积成本为
1607rF
元，
???蓄水池的总建造成本为
200
?
7irh+16070*2
元
即
200
?兀由+
160
兀『=
12000
兀
??
.h
二丄
(
300
?
4
宀
5r
AV (r)
二兀“尸卅?丄
(300-4r
2
) =— (300r - 4r
3
)
5r 5
又由
r>0, h>0
可得
0<
丫
<5
品

故函数
V (r)
的定义域为
(
0, 5^3
)
(II)
由(
I )
中
V (r) =— (300r-4r
3
), (0)
5
可得
V
，
(r) =— (300 - 12r
2
), (0)
5
???令
V
，
(r) =— (300
?
12r
2
) =0,
则
i=5
5
???当胆
(0, 5)
时，
7 (r) >0,
函数
V (r)
为增函数
当
rW (5, 5V3
)
时，
7 (r) <0,
函数
V (r)
为减函数
且当尸
5, h=8
时该蓄水池的体积最大
39.
某公司计划购买
1
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零
件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个
200
元.在机器使用 期
间，如果备件不足再购买，则每个
500
元.现需决策在购买机器时应同时购买 几个
易损零件，为此搜集并整理了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零 件
数，得如图柱状图：

频数

记
X
表 示
1
台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，
y
表示
1
台机器在购买
易损零件上所需的费用(单位：元)，
n
表示购机的同时购买的易损零件数.
(I )
若
n
二
19,
求
y
与
x
的函数解析式；
(II)
若要求“需更换的易损零件数不犬于
rT
的频率不小于
0.5,
求
n
的最小值;
(III)
假 设这
100
台机器在购机的同时每台都购买
19
个易损零件，或每台都购 < br>买
20
个易损零件，分别计算这
100
台机器在购买易损零件上所需费 用的平均数,
以此作为决策依据，购买
1
台机器的同时应购买
19
个还是
20
个易损零件？
【解答】解：
(I )
当
n=19
时，
_J19X 200,
X
<19 _f3800, x<19
y
~[19X 200+(x-19)X 500, x>l<~t500x-5700, x>19
(
II)
由柱状图知，更换的易损零 件数为
16
个频率为
0.06,
更换的易损零件数为
17
个频率为
0.16,
更换的易损零件数为
18
个频率为
0.24,
更换的易损零件数为
19
个频率为
0.24
又???更换易损零件不大于
n
的频率为不小于
0.5.
则
G19
???
n
的最小值为
19
件；
(
III
)
假设这
100
台机器在购机的同时每台都购买
19
个易损零件，
所须费用平均数为： 丄
(
70x19x200+4300x20+4800x10) =4000
(元)
100
假设这
100
台机器在购机的同时每台都购买
20
个易损零件，
所须费用平均数为丄
(90x4000+10x4500) =4050
(元)
100
V4000<4050
???购买
1
台机器的同时应购买
19
台易损零件.
40.
设
a>0,
函数
f (x)
二
x'+allnx - 1|
?
(I )
当
a
二
2
吋，求函数
f (x)
的单调增区间；
(II )
若
xG[l, +oo)
时，不等式
f (x) Na
恒成立，实数
a
的取值范圉.
【解答】解
：(
1)
当
a=2
时，
f (x) =x
2
+2|lnx
?
1|
x
2
-21nx+2
=
9

x
z
+21nx-2
(0< x(
X
>
E
)
(
2
分)

当
0时,
f (x)
在
(
0,
当
XN1
时，
F
(?二
2
齢
2 >0
恒成
故
f (x)
在
［1,
立,
+oo)
内单调递增；
Af (x)
的单调增区间为
［1, +oo). (6
分)
(2)
①当
xNe
时，
f (x) =x
2
+alnx - a,
1］
内单调递减；
F (x)=2x+~ (xNe) Va>0,
x
.f (x) >0
恒成立，
Af (x)
在
［e, +oo)
上增函数. 故当
x=e
时,
ymin=f (e) =e
2
. (8
分)
②当
lSxVe
时，
f (x) =x
2
- alnx+a, f
，
(x )
二鼻
(x+,
叵
)(x-~
巨)
(
10x当
需》已
,
即
a>2c
2
时，
f (x)
在
xW (1, e)
进为负数， 所以
f (x)
在区间
［1, e］
上为减函数， 故当
x=e
时,
y
m
in=f (e) =e
2
. (14
分) 所以函数
y=f (x)
的最小值为
fl+a, 06
或 此时无解.
、
ai>2e
2

综上，
0VaW2e
?(
16
分)
［22

41.
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状， 计
划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为
h
，
12
，
山区边界曲线为
C,
计划修建的公路为
1,
如图所示，
M, N
为
C
的两个 端点，测
得点
M
到
h
，
12
的距离分别为
5
千米和
40
千 米，点
N
到
h
，
12
的距离 分别为
20
千米和
2.5
千米，以
12, h
在的直线分别为
x, y
轴，建立平面直角坐 标系
xOy,
假设曲线
C
符合函数(其中
a, b
为常数)模型.

(1)
求
a, b
的值；
(2)
设公路
1
与曲线
C
相切于
P
点，
P
的横坐标为
t
?
① 请写出公路
1
长度的函数解析式
f (t),
并写出其定义域;
② 当
t
为何值吋，公路
1
的长度最短？求出最短长度.
O

h
【解答】解：
(1)
由题意知，点
M, N
的坐标分别为
(5, 40), (20, 2.5),
将其分别代入
y=
a
x
2
+b

— =40
25+b
4U

——-——-
2 5
(5史学
),
t
2

a=1000
解得
b
二
0 '
(2)
①由
(1) y
』#
X
.
??丫
2000
???切线
1
的方程为
y
-譽=-響
(x - t)
设在点
P
处的切线
1
交
x, y
轴分别于
A, B
点,
焙'
0)> B
⑹響,
???
f
⑴
彳(琴)

2
+巴家)弓
2
24X1
°
6
, te[5, 20]
t

+

；
t
4

6 6
②设
g (t)
二严+仝
4,
则
g‘ 16X^0
* 解得匸］
0
.伍，
t
4
t
5

te (5, 10^2
)
时，
g
z
(t) <0, g (t)
是减函数；出
(10^2, 20)
时，
g
，
(t) >0, g (t)
是增函
数，
从而
t= 10V2
时，函数
g (t)
有极小值也是最小值，
?：
g ?*-f )
min=15V3
，
答:
t=10V2
时，公路
1
的长度最短，最短长度为
15V3T
米.
42.
甲厂以
x
千克小时的速度匀速生产某种产品(生产条 件要求
IS
X
SIO),
每 小时可
获得的利润是
100 (5x+l -1)
元.
X

(1)
要使生产该产品2
小时获得的利润不低于
3000
元，求
x
的取值范围；
(2)
要使生产
900
千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速
度？并求此最大利润.
【解答】解：
(
1)
生产该产品
2
小时获得的利润为
100 (5x+l - 1) x2=200 (5x+l
X
-|)
根据题意，
200 (5x+l
-色)
>3000,
即
5x
2
- 14x - 3>0
X
???
x>3
或
x
「丄
5
Vl；
(
2)
设利润为
y
元则生产
900
千克该产品获得的利润为
y=100(5x+l
2
=90000
(二』+
5
)
=9
X
10
4
[-3(-4
)
+
昱]
z
x 6
x
x 12
X X
Vl时,取得最大利润为
9X 1 0
4
Xy|-
=
457500
元
故甲厂应以
6
千克小时的速度生产，可获得最大利润为
457500
元.
43
?
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，
大桥上的车流速度
v
(单位：千米小时)是车流密度
x
(单位：辆千米)的函数, 当
桥上的车流密度达到
200
辆千米吋，造成堵 塞，此吋车流速度为
0
；
当车流密 度
不超过
20
辆千米时 ，车流速度为
60
千米小时，研究表明：当
20时,
车流速度
v
是车流密度
x
的一次函数.
(I )
当
0时，求函数
v (x)
的表达式；
( II)
当车流密度
x
为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单
位：辆小时)
f (x) =x
?
v (x)
口
J
以达到最大，并求出最大值.(精确到
1
辆 时).
v
(
X
)
=60
；
当
20时，设
V
【解答】解：(
I )
由题意：当
0240
时,
(x)
=ax+b
1
200a+b=0
r
,解得<
再由已知得
I 200
20a+b=60
r
[60
0故函数
v (x)
的表达式为
v(x)
二]
1 . .
20ly(200-x)


60x
(ID
依题并由(
I
)
可得玖?二
0|yx(200-x) 20当
0时，
f (x)
为增函数，故当
x=20
时，其最大值为
60x20=1200

当
20
駅
200
吋，
f (J
号
(200-xXy
［恥严)】?=驾也
当且仅当
x=200 - x,
即
x=100
时，等号成立.
所以，当
x=100
时，
f (x)
在区间
(20, 200］
上取得最大值塑竺.
综上所述，当
x=100
时，
f (x)
在区间
［0, 200］
上取得最大值为塑匹
~3333
，
3
即当车流密度为
100
辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为< br>3333
辆
小吋.
%0 0答：(
I )< br>函数
v
(
X
)
的表达式
V
門寺
(< br>2007 20<
X
<200
(II)
当车流密度为
100
辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为
3333
辆
小吋.
44.
己知函数
f (x)
「
1 |
+kx+b,
其中
k, b
为实数且心
0
?
Ix+2|
(I)
当
k>0
时，根据定义证明
f (x)
在(-
oo, -2)
单调递增；
(II )
求集合
M
k
={b|
函数
f (x)
有三个不同的零点}?
【解答】解：
(
I)
证明：当
xW ( - co, -2)
时，
f(x)
二」^
■
+kx+b
?
x+2
任取
X], X
2
^ (-8, - 2),
设
X2>X]
?
f (xj-f (
七)二(-丁 打 +也
1+?)-(-
乂 爲
+kx2+b)
一七)(七+
2) +k]
?
]
>0,
又
k>0,
(引+
2) (
X
2
+2)
.f
(
X1 ) - f
(
X2
)
<0,
即
f
(
X1
)
(
X2
)?
???
f (x)
在(
-00,
?
2)
单调递增.
由所设得
xi - x
2
<0,
(
II
)
函数
f (x)
有三个不同零点，即方程 一
kx+b
二
0
有三个不同的实根?
|x+2
、十八，
(x>-2
」
f x<-2
万程化为： 与
I ?
[kx
z
+(b+2k)x+(2b+l)=0 [kx
z
+(b+2k)x+(2b-l)=0
记
u (x) =kx
2
+ (b+2k) x+ (2b+l), v (x) =kx
2
+ (b+2k) x+ (2b - 1).
(1)
当
k>0
时，
u (x), v (x)
开口均向上.
由
v (- 2) = - 1<0
知
v (x)
在(-
oo, - 2)
有唯一零点.
为满足
f (x)
有三个零点，
u (x)
在(-
2, +oo)
应有两个不同零点.
(b+2k)
2
-4k(2b+l)>0
」+
2k
2k

???
bV2k
?
2
血?
(2)
当
k<0
时，
u (x), v (x)
开口均向下.
由
u ( - 2) =1>0
知
u (x)
在(-
2, +oo)
有唯一零点.为满足
f (x)
有三个 零点，
v (x)
在
(
-2)
应有两个不同零点.
V(-2)<0
■
: (b+2k)
2
-4k(2b-l)>0
b+2k ” c
Ab<2k-2V
Z
k.
综合
(
1) (2)
可得
M
k
={b|b<2k-2?
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价
格控制在适当范围内，决定对淡水鱼 养 殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为
x
元千克，政府补贴为
t
元千克.根 据市场调查，当
8时，淡水鱼的市场口
供应量
P
千克与市 场口需求量
Q
千 克近似地满足关系：
P= 1000 （ x+t - 8 ）
（ x>8, t>0）, Q=5OO7
40
_
（
x
_g
）
2
（< br>8当
P=Q
时市场价格称为市场平衡
价格.
（
1
）

将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求岀函数的定义域；
（
2）
为使市场平衡价格不高于每千克
10
元，政府补贴至少为每千克多少元？
【解答】解：
（
1
）
依题设有
1000 (x+t - 8) =500
(
40-
仗-
8)
2
,
化简得
5x?+ (8t- 80) x+ (4t
2
- 64t+280) =0.
当判别式△=&)() -
16t
2
>0
时，
可得
x=8
- |^±叙
50-
?
由
—0, t>0, 8得不等式组：
02
<14 08<8-y 50-1
2
<14
解不等式组①，得
0不等式组②无解.故所求的函数关系式为
x=8-yt+-|A50-t
2

函数的定义域为
[0, V10].
(2)
为使
x<10,
应有
8
-^t-^|V50-t
2
-
10

化简得
t
2
+4t - 5N0.
解得
01
或
t<-5 ,
由知
Cl.
从而政府补贴至少为每千克
1
元.

46.
已知美国苹果公司生产某款
iphone
手机的年< br>I
古
I
定成本为
40
万美元，每生
产
1< br>只还需另投入
16
美元.设苹果公司一年内共生产该款
iphone
手 机
x
万只并全
—6x, 0部销售完，每万只的销售收入为< br>R
(
x)
万美元，
MR(x)^ 7400 40000
x>4Q

.x
2

(1)
写出年利润
W
(万元)关于年产量
x
(万只)的函数解析式；
(2)
当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？
并求出最大利润.
【解答】解：
(1)
利用利润等于收入减去成本，可得
当
0时，
W=xR (x)
?(
16x+40)=
?
6x
2
+384x
?
40
；
当
x>40
时，
W=xR
(x) - (16x+40) =-
40000
-16x+7360
I
-6
X
2
+384
X
-40,

0<
X
<40
W
~

J
000Q
-16
X
+7360,
X
>40

；
(2)
当
0时，
W= - 6
X
2
+384
X
- 40= - 6 (x - 32)
2
+6104,
W
max
=W (32) =6104
；

当
x>40
吋，
W
二 一
40000 _
X
16x+7360^ - 2
^
4Q
Q
Q0
-.+736O,
16
X
? x=32
时
，

当口仅当型叫吒烈 即
x=50
吋，
W
max
=W (50) =5760
x
V6104>5760
A x=32
时，
W
的最大值为
6104
万美元.
47.
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
y
(单位：千克)与 销售
价格
x
(单位：元千克)满足关系式
y
二」
-+10 (x-6)
2
,
其+
3a
为常数 .已知销售价格为
5
元千克时，每日可售岀该商品
11
千克.
(I )
求
a
的值；
(II)
若该商品的成品为
3
元千 克，试确定销售价格
x
的值，使商场每日销售 该商
品所获得的利润最大.
【解答】解：(
I
)
因为
x=5
时，
y=ll,
所 以
—+10=11,
故
a=2
2
(II)
由(
I )
可知，该商品每日的销售量
y
二丄+io(x_6
)
2

x-3
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x) = (x-3)[~^-+10(x-6)
2
]=2+10(x-3)(x-6)
2

x-3
从而,
f (x) =10[ (x - 6)
2
+2 (x - 3) (x - 6) ]=30 (x-6) (x - 4)
于是，当
x
变化时，
f (x)
、
f (x)
的变化情况如下表：
X (3,4) 4 (4,6)
+
一
f
0

(
x) f
单调
极大值
单调 递
(
递增
减
42
x)

由上表可得,
x=4
是函数
f (x)
在区间
(
3, 6)
内的极大值点，也是最大值点.

所以，当
x=4
时，函数
f (x)
取得最大值，且最大值等于
42
答：当销售价格为
4
元
千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

48.
已知函数
f (x) =lnx - —ax+a - 2, a^R
?
2
(1)
求函数
f (x)
的单调区间；
(2)
当
a<0
时，试判断
g (x) =xf (x) +2
的零点个数.
【解答】解：(
I ) f (x) — - —(x>0)
?
x 2 2x
若
a?0,
则
F (x) >0,
???函数
f (x)
的单调递增区间为
(
0, -boo)
；
若
a>0,
当
OVxvZ
时，
f (x) >0,
函数
f (x)
单调递增，
a
当
x>—
时，
f (x) <0,
函数
f (x)
单调递减，
a
综上，若
a?0
时，函数
f (x)
的单调递增区间为
(
0, +00
)；
若
a>0
吋，函数
f (x)
的单调递增区间为
(
0, 2),
单调递减区间为
(
Z, +00
)
. a a
(II ) g (x) =xlnx - —
ax
2+ax
~ 2x+2, g' (x) = - ax+lnx+a - 1.
又
a<0,
易知
g' (x)
在
(
0, +oo)
上单调递增，
g' (1) = - 1 <0, g
r
(e) = - ae+a=a (1 -
e) >0,
故而
g' (x)
在
(
1, e)
上存在唯一的零点
x
()
,
使得
g
，
(x
0
) =0.
当
O时，
g
r
(x) <0, g (x)
单调递减；当
x>xo
时，
g' (x) >0, g (x)
单调递增.
取
XL
『，
又
a<0, .0?Ig (xi
)
=xi (lnxi ~
2
1

~ 2+^-) =e
a
(a - —ae
a
+a - 2+-^-),
a
xj 2
e

设
h (a) =a - —ae
a
+a - 2+-?-, (a<0), h' (a) = - —ae
a
- —e
a
- ^-+2, (a<0),
2
e
a
22
f (0)
二-丄，
2
h
a
- e
a
+e'
a
- —ae
a
>0,
2
???
h' (a)
在(?
oo, 0)
上单调递增，
h' (a) Vh' (0) <0,
Ah (a)
在(
-oo, 0)
上单调递减，
Ah (a) >h (0) =0,
.g (xj) >0,
即当
a<0
时,
g (e
a
) >0.
当
x
趋于
+oo
吋，
g (x)
趋于
+oo,
且
g (2) =21n2 - 2<0.
???函数
g (x)
在
(
0, +oo)
上始终有两个零点.
49.
根据预测，某地第
n （nWN*）
个刀共享单车的投放量和损失量分别为务和

5
I
?+15, lb
n

（单位：辆），其屮
a
n
=<
-10n+470, n>4
、
, b
n
=n+5,
第
n
个月底的共孚单
车的保有量是前
n
个月的累计投放量与累计损失量的差.
（
1
）

求该地区第
4
个月底的共享单车的保有量；
（2）
己知该地共享单车停放点第
n
个月底的单车容纳量
S
n
= -4 （n- 46）
2
+8800
（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超岀了
此时停放点的单车容纳量？
（
5r?+15, l【解答】解：
（
1） Tan
彳 .
，
bn
二
n+5
[-10n+470, n>4
.ai=5xl
4
+15=20
a
2
=5x2
4
+15=95
a
3
=5x3
4
+15=420
如=-
10
X
4+470=430
b|=l+5=6
b2=2+5=7
b
3
=3+5=8
b4=4+5=9
???前
4
个月共投放单车为纲+“
2+
屯+
34=20+95+ 420+430=965,
前
4
个月共损失单车为
b|+b2+b3+b< br>尸
6+7+8+9
二
30,
???该地区第
4
个月底的共享单车的保有量为
965 - 30=935
?
（
2
）令
a
n
>b
n< br>,
显然
n<3
时恒成立,
当
G4
时，有-
10n+470Nn+5,
解得
n
吕罕，
???第
42
个月底，保有量达到最大.
当
n>4, ｛an｝< br>为公差为-
10
等差数列，而
｛b
】｝为等差为
1
的 等差数列，
，
b 1 + L42
x42^
430+50
X39+535
???到第
42
个月底，单车保有量为匀+
”42
x39+535 -
2 2 2
-3^1x42=8782
?
2
S
42
= - 4x16+8800=8736.
V 8782 >8736,
???第
42
个月底单车保有量超过了容纳量.
50.
经过多年的运作，“双十一抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体 促
销盛宴.为迎接
2014
年“双^一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费， 对网
上所售产甜进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量
P
万件 与促
销费用
x
万元满足
P=3-2
（其中
0Sx&, a
为正常数）.已知生产该批产
x+1
品
P
万件还需投入成本< br>10+2P
万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
（
4
谬）元件，假定厂家的牛产能力完全能满足市场的销售需求.
（
I
）将该产品的利润
y
万元表示为促销费用
x
万元的函数；
（
II
）
促销费用投入多少万元吋，厂家的利润最大？

【解答】解：
（
I ）
由题意知，尸
（
4+
空）
p-x-（10+2p）
，
- -- -- -- -- - P
________________
（
3
分）
将
p
二
3-
一^~代入化简得：尸
16― -x
（
0）. --------------------------
x+1 x+1
__________ （6
分）

IT




_

[
y

-4 -（x+1） ?+4 __x?+2*-3 __（x+3） （*-1）
（x+1）
2

一
（
x+1）
2
（x+1）
2
（x+1）
2

当
aNl
时，
xG （0, 1
）时
y'>0,
所以函数尸
16-x―
在（
0,1）
上单调递增
x x+1
e （1, a）
时
y'VO,
所以函数尸
16-x—
-在
（
1
，a）
上单调递减
x+1
促销费用投入
1
万元时，厂家的利润最大； --------------------------------
----------- ----------------------------------------
（
9
分）
当
a时，因为函数
y=16-x—
在
（
0, 1）
上单调递增
y=16-
x
^-
在
[0, a] x+1 x+1
上单调递增，
所以
X
二
a
时，函数有最大值.即 促销费用投入
a
万元时，厂家的利润最大. 综
上，当
a21
时，促销费用投入
1
万元，厂家的利润最大；
当
a时，促销费用投入
a
万元，厂家的利润最大 --------------------------
----------------- ------------------------------------- （12
分）
（注：当
aNl
时，也可：尸
17-（
缶匕+
1）<17-*
占
X （x+1）
二
13
，
当且仅当
-^_=
x+
i,
即
x
二
1
时，上式取等号）
x+1