高中数学校本课程----函数的基本性质

高中
数学校本课程----函数的基本性质


函数的性质通 常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、
周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如 方程、不等式等)问题时，巧
妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问
题的目的.
I．函数的定义
设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个 对应法则.那么，从A到
B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A， y∈B，
原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然
C
?
B.
II．函数的性质
（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且 D是关于原点对称的数集.若
对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数； 若对任意的x∈D，
都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.
（2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x
1
, x
2∈D′，
并且x
1
2
时，总有f(x
1
) 2
) (f(x
1
)>f(x
2
)),则称f(x )在区间D′上的增函数（减
函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间.
III．函数的周期性
对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义 域中的每
个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的
周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T
0
，称T
0
为周 期函数f(x)的最
小值正周期.
例题讲解
1．已知f(x)＝8＋2x－x2
，如果g(x)＝f(2－x
2
)，那么g(x)( )
A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增
C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增

2．设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤
＝( )
A.－1
3
时，f(x)＝x，则f(2003)
2
B.0 C.1
D.2003

3．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f (x＋1)＝f(2－x)成立，
若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
第1页 共3页

A.150 B.
303

2
C.152 D.
305

2

4．实数x，y 满足x
2
＝2xsin(xy)－1，则x
1998
＋6sin
5< br>y＝______________.



5．已知x＝
19?99
是方程x
4
＋bx
2
＋c＝0的根，b，c为整数，则b ＋c＝
__________.



6．已知f(x)＝ax< br>2
＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有
两 个实数根，求证：a＞4.





7．已知f(x) ＝x
2
＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M≥






8．⑴解方程:(x＋8)
2001
＋x
2001
＋2x＋8＝0
⑵解方程：






第2页 共3页
1
.
2
2x?4x
2
?1
x
2
?1?(x
2
?1)
2
?1
?2
(x?1)
2

9．设f(x)＝x
4
＋ax
3
＋bx
2
＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求
的值.






1
[f⑷＋f(0)]
4
课后练习
1. 已知f(x)＝ax
5
＋bsin
5
x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( )
A.3 B.－3 C.5

2. 已知(3x＋y)
2001
＋x
2001
＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.

3. 解方程：ln(
x
2
?1
＋x)＋ln(
4x
2
?1
＋2x)＋3x＝0

4. 若函数y＝log
3
(x
2
＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是
_______ _______.

5. 函数y＝
x
2
?4x?5?x
2
?4x?8
的最小值是______________.

6. 已知f (x)＝ax
2
＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x
1
，x
2，a＞0，x
1
－x
2
＞
若0＜t＜x
1
，试 比较f(t)与x
1
的大小.


7. 设a，b，c∈R，|x |≤1，f(x)＝ax
2
＋bx＋c，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax＋b|≤4.



8. 已知函数f(x)＝x
3
－x＋c定义在[0 ，1]上，x
1
，x
2
∈[0，1]且x
1
≠x
2
.
⑴求证：|f(x
1
)－f(x
2
)|＜2|x
1
－x
2
|；
⑵求证：|f(x
1
)－f(x
2
)|＜1.

第3页 共3页
1
，
a
D.－5