高中数学 涉及函数的实际应用问题研究(教师版)

专题四：涉及函数的实际应用问题研究
【题型导引】
题型一：函数实际应用问题
（1）一次函数的实际应用；（2）二次函数的实际应用；（3 ）一次与二次函数的综合应；（4）一次函数与
反比例函数的综合应用。
题型二：方程、不等式与函数综合应用问题
（1）反比例函数与分式的综合应用；（2）一 次函数和方程的综合应用；（3）函数与不等式的综合应用；
【典例解析】
类型一：函数实际应用问题
例题1：(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎 龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先
出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出 行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大
客车以出发时速度的
10
继续行驶， 小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在
7
驶过景点入口6 km时 ，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行
驶时间t(min )之间的函数关系如图所示．
请结合图象解决下面问题：

(1)学校到景点的路程为 km，大客车途中停留了 min，a＝ ；
(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 kmh，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？
(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待 分
钟，大客车才能到达景点入口．
【解析】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km，大客车途中停留了5 min，
小轿车的速度为
40
＝1(kmmin)，
60－20
a＝(35－20)×1＝15.
故答案为40，5，15.

151
(2)由(1)得a＝15，∴大客车的速度为＝(kmmin)．
302< br>1
小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)××＝(km)，40－－15＝(km) ．
72777
50
答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有 km.
7
??
?
20k＋b＝0，
?
k＝1，
( 3)设直线CD的表达式为s＝kt＋b，将(20，0)和(60，40)代入得
?
解得?

??
60k＋b＝40，b＝－20，
??
∴直线CD的表 达式为s＝t－20.
当s＝46时，46＝t－20，解得t＝66.
40－15
小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为＝35(min)，
110< br>×
27
3
小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝(kmmin )＝90 kmh＞80 kmh.
2
答：小轿车折返时已经超速．
40
(4)大客车的时间：＝80(min)，80－70＝10(min)．
1
2
故答案为10.
技法归纳：解答解决函数之间的综合题目时，结合题意 进行审题后确定函数的类型是最关键的，已知量和
未知量之间的关系式一次函数，反比例函数还是二次函 数，往往题目中有所题型，这样我们就可以直接利
用待定系数法写出解析式并根据相关条件解答，这一问 题是基础也是关键，再根据后续的问题进行最值解
答或者取值范围内的要求得到相应的答案.
类型二：方程、不等式与函数综合应用问题
例题2：（2019?四川省广安市?8分）为了 节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型
节能灯和5只B型节能灯共需50元，2 只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型 号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3
倍，请设计出最省钱的购买 方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
?
3x?5y?50
?
x?5
，解得，，
??
?
2x?3y?31
?
y?7
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能 灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，
w＝5a＋7（200﹣a）＝﹣2a＋1400，

∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
技法归纳：(1)方程、 不等式与函数实际应用问题需要掌握以下几个类型的问题：一、一次函数与方程或
不等式的综合应用，这 类属于高频命题形式，考查内容可以涉及多个，如一次函数图象信息题，一次函数
方案选择类型问题等， 结合二元一次方程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式；二、二
次函数与方程或不等式 的综合应用，包括销售利润类，与一次函数结合等类型．(2)命题中常常以方程或
方程组，根据已知条 件确定某个量，利用不等式或不等式组确定变量的取值范围，再根据函数的性质解答
问题．(3)利用表 格、图例、函数图象等手段，利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础，关于运用
转化为方程、不等 式或函数模型是解决问题的关键，把握数量间的内在联系，从整体着眼探索方法，从细
微处思考争满分．
【变式训练】
1. （2019?浙江绍兴?8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后 ，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于
已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直 接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦
时的电量汽车 能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶18 0千米时，蓄电池的剩余电量．

【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：
150
＝6千米；
60?35
（2）设y＝kx＋b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得
∴，
，
∴y＝﹣0.5x＋110，

当x＝180时，y＝﹣0.5×180＋110＝20，
答：当150≤x≤200时，函 数表达式为y＝﹣0.5x＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为
20千瓦时．
2. (2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x( 千米)之间是一
次函数关系，其部分图象如图所示．

(1)求y关于x的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)
(2)已知当油箱中的剩余 油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米
时，司机发现离前方最近 的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时
离加油站的路程是多少千 米？
【解析】：(1)设该一次函数表达式为y＝kx＋b，
将(150，45)，(0，60)代入y＝kx＋b中得
?
?
150k＋ b＝45，
?
k＝－
10
，
?
?
解得
?< br>
?
b＝60，
?
?
?
b＝60，
∴该一次 函数表达式为y＝－
1
x＋60.
10
1
1
(2)当y＝－x＋60＝8时，解得x＝520，
10
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530－520＝10(千米)，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
3. (2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.
(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩 形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？
为什么？
3
【解析】 (1)①由题意可得xy＝3，则y＝.
x
3
②当y≥3时，≥3，解得x≤1，
x

∴x的取值范围是0＜x≤1.
(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y＝3，
3
∴x＋＝3，整理得x
2
－3x＋3＝0.
x
∵b
2
－4ac＝9－12＝－3＜0，
∴矩形的周长不可能是6，
∴圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，
∴x＋y＝5，
3
∴x＋＝5，整理得x
2
－5x＋3＝0.
x
∵b
2
－4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，
∴方方的说法对．
4. (2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工 厂接到一批纪念品生产订单，按要求在
15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天 (1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本
是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：

任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：

设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
(3)任务完成后，统计发现平 均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工
人某天创造的利润超过该平 均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【解析】：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，
代入(1，7.5)，(3，8.5)得
??
?
k＋b＝7.5，
?
k＝0.5，
?
解得
?

?
3k＋b＝8.5，
?
b＝7，
??
即p与x的函数关系式为p＝0.5x＋7(1≤x≤15， x为整数)．
当1≤x＜10时，
W＝[20－(0.5x＋7)](2x＋20)＝－x
2
＋16x＋260.

当10≤x≤15时，
W＝[20－(0.5x＋7)]×40＝－20x＋520，
2
?
?－x＋16x＋260（1≤x＜10，x为整数），
即W＝
?

?－20x＋520（10≤x≤15，x为整数）.
?
(2)当1≤x＜10时，
W＝－x
2
＋16x＋260＝－(x－8)
2
＋324，
∴当x＝8时，W取得最大值，此时W＝324.
当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，
∴当x＝10时，W取得最大值，此时W＝320.
∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．
(3)当1≤x＜10时，
令－x
2
＋16x＋260＝299，得x1
＝3，x
2
＝13，
当W＞299时，3＜x＜13.
∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.当10≤x≤15时，
令W＝－20x＋520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11.
由上可得，李师 傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)．
答：李师傅共可获得160元奖金．
5. (原创题)环保局对某企业排污情况进行检测，结 果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的
浓度超过最高允许的1.0 mgL.环保局要求该 企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程
中，所排污水中硫化物的浓度y(mgL )与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化
规律，从第3天起，所排污水中 硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mgL？为什么？

【解析】：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10小时
k
(2)∵点B(12，18)在双曲线y＝上，
x
k
∴18＝，∴k＝216
12

216
(3)当x＝16时，y＝＝13.5，
16
所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃
6. （2019·贵州安 顺·10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60
元的价格销售， 为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元
降价x（元）（ 0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx＋b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴
解得：
，
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x＋100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x＋100）＝2090，
整理得：x
2
﹣10x＋9＝0，
解得：x
1
＝1．x
2
＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
7
. （
2018
?河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台
AB
距
x
轴（水平）
18
米，与
y
轴交于点
B
，与滑
道
y
＝（
x
≥
1
）交于点
A
，且
AB
＝
1
米．运动员（看成点）在
BA
方向 获得速度
v
米秒后，从
A
处向右
下飞向滑道，点
M
是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：
M
，
A
的竖直距离
h
（米）与飞出时
间
t
（秒）的平方成正比，且
t
＝
1
时
h
＝
5
，
M
，
A
的水平距 离是
vt
米．
（
1
）求
k
，并用
t
表示
h
；

（
2
）设
v
＝
5
．用< br>t
表示点
M
的横坐标
x
和纵坐标
y
，并求< br>y
与
x
的关系式（不写
x
的取值范围），及
y
＝
13
时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（
3
）若运动员甲、 乙同时从
A
处飞出，速度分别是
5
米秒、
v
乙
米秒 ．当甲距
x
轴
1
.
8
米，且乙位于甲
右侧超过4
.
5
米的位置时，直接写出
t
的值及
v
乙< br>的范围．

【解答】（
1
）由题意，点
A
（
1
，
18
）带入
y
＝
得：
18
＝
∴
k
＝
18

设
h
＝
at
2
，把
t
＝
1
，
h
＝
5
代入
∴
a
＝
5

∴
h
＝
5t
2

（
2
）∵
v
＝
5
，
AB
＝
1

∴
x
＝
5t
＋
1

∵
h
＝
5t
2
，
OB
＝
18

∴
y
＝﹣
5t
2
＋
18

由
x
＝
5t
＋
1

则
t
＝
∴
y
＝﹣
当
y
＝
13
时，
13
＝﹣
解得
x
＝
6
或﹣
4

∵
x
≥
1

∴
x
＝
6

把
x
＝
6
代入
y
＝
y
＝
3

∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是
13
﹣
3
＝10
（米）

（< br>3
）把
y
＝
1
.
8
代入
y
＝﹣
5t
2
＋
18

得
t
2
＝
解得
t
＝
1
.
8
或﹣
1
.
8
（负值舍去）
∴
x
＝
10

∴甲坐标为（< br>10
，
1
.
8
）恰号落在滑道
y
＝
此时，乙的坐标为（
1
＋
1
.
8v
乙
，
1
.
8
）
由题意：
1
＋
1
.
8v
乙
﹣（
1
＋
5
×
1
.
8
）＞
4
.
5

∴
v
乙
＞
7
.
5

8. （20 19?贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，
某村 织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每
袋的 销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
y（袋）
15
25
20
20
30
10
…
…
上
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶 段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定
为多少元？每日销售的最大利润是 多少元？
【解答】解：
（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx＋b得
，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x＋40
（2）依题意，设利润为w元，得
w＝（x﹣10）（﹣x＋40）＝﹣x
2
＋50x＋400
整理得w＝﹣（x﹣25）
2
＋225
∵﹣1＜0
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
9
. （
2018
?扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌 的漆器笔筒，成本为
30
元件，每天
销售
y
（件）与销售单价
x
（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（
1
）求
y
与
x
之间的函数关系式；
（
2
）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于
240
件，当销售单价为多少元时 ，每天获取的利润最大，最
大利润是多少？
（
3
）该网店店主热心公益事业 ，决定从每天的销售利润中捐出
150
元给希望工程，为了保证捐款后每天
剩余利润不 低于
3600
元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

【解析】：（
1
）由题意得：
解得：．
，
故
y
与
x
之间的函数关系式为：
y
＝﹣
10x
＋
700
，
（
2
）由题意，得
﹣
10x
＋
700
≥
240
，
解得
x
≤
46
，
设利润为
w
＝（
x
﹣
30
）?
y
＝（
x
﹣
30
）（﹣
10x
＋
700
），
w
＝﹣
10x
2
＋
1000x
﹣
21000
＝﹣
10
（
x
﹣
50
）
2
＋
4000
，
∵﹣
10
＜
0
，
∴
x
＜
50< br>时，
w
随
x
的增大而增大，
∴
x
＝
46
时，
w
大
＝﹣
10
（
46
﹣
50
）
2
＋
4000
＝
3840
，
答 ：当销售单价为
46
元时，每天获取的利润最大，最大利润是
3840
元；
（
3
）
w
﹣
150
＝﹣
10x
2
＋
1000x
﹣
21000
﹣
150
＝
3 600
，
﹣
10
（
x
﹣
50
）
2
＝﹣
250
，
x
﹣
50
＝±
5
，
x
1
＝55
，
x
2
＝
45
，
如图所示，由图象得：
当
45
≤
x
≤
55
时，捐款后每天剩余利润不低于
3600
元．

10
. （
2 018
?衢州）某游乐园有一个直径为
16
米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水 头，喷出的水柱
为抛物线，在距水池中心
3
米处达到最高，高度为
5
米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物
处汇合．如图所示，以水平方向为
x
轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（
1
）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（
2< br>）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高
1
.
8
米的王师傅站立时必
须在离水池中心多少米以内？
（
3
）经检修 评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的
直径扩大到< br>32
米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

【解答】（
1
）设水柱所在抛物线（ 第一象限部分）的函数表达式为
y
＝
a
（
x
﹣
3< br>）
2
＋
5
（
a
≠
0
），
将（
8
，
0
）代入
y
＝
a
（
x< br>﹣
3
）
2
＋
5
，得：
25a
＋5
＝
0
，
解得：
a
＝﹣，
∴水柱所在抛物 线（第一象限部分）的函数表达式为
y
＝﹣（
x
﹣
3
）2
＋
5
（
0
＜
x
＜
8
）．
（
2
）当
y
＝
1
.
8
时，有﹣（
x
﹣
3
）
2
＋
5
＝
1
.
8
，
解得：
x
1
＝﹣
1
，
x< br>2
＝
7
，
∴为了不被淋湿，身高
1
.
8< br>米的王师傅站立时必须在离水池中心
7
米以内．

（
3
）当
x
＝
0
时，
y
＝﹣（
x< br>﹣
3
）
2
＋
5
＝．
， 设改造后水柱所在 抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
y
＝﹣
x
2
＋
bx
＋
∵该函数图象过点（
16
，
0
），
∴
0
＝﹣×
16
2
＋
16b
＋，解得：
b
＝
3
，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
y
＝﹣
x
2
＋
3x
＋
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为< br>



米．
＝﹣（
x
﹣）
2
＋．