高中数学求函数值域的方法十三种

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高中数学：求函数值域的十三种方法
一、观察法（☆ ）
二、配方法（☆）
三、分离常数法（☆）
四、反函数法（☆）
五、判别式法（☆）
六、换元法（☆☆☆）
七、函数有界性
一、观察法
：
从自变量< br>x
的范围出发，推出
y?f(x)
的取值范围。

【例1】
求函数
y?x?1
的值域。
【解析】∵
x?0
，∴
x?1?1
， ∴函数
y?x?1
的值域为
[1,??)
。
y?
1
x
的值域。
八、函数单调性法（☆）
九、图像法（数型结合法）（☆）
十、基本不等式法
十一、利用向量不等式
十二、一一映射法
十三、 多种方法综合运用
【例2】求函数
1
? 0
(??,0)?(0,??)

x?0
x
【解析】∵

∴

显然函数的值域是：
【例3】已知函数
y?
?
x?1
?
?1
，
x?
?
?1,0,1,2
?，求函数的值域。
2
【解析】因为
x?
?
?1,0,1,2< br>?
，而
f
?
?1
?
?f
?
3
?
?3
，
f
?
0
?
?f
?
2< br>?
?0
，
f
?
1
?
??1
所以：< br>y?
?
?1,0,3
?

注意：求函数的值域时，不能忽视定 义域，如果该题的定义域为
x?R
，则函数的值域为
?
y|y??1
?
。
二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
F(x)?a f
2
(x)?bf(x)?c
的函数的
值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。
【解析】 将函数配方得：
时，
【变式】已知
∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当
2
故函数的值域是：[4，8]
，求函数的最值。
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【解析 】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配
方得，其对称轴方程，顶点坐标，且 图象开口向上。显然其顶点横坐
标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。
图2
【例2】 若函数
f(x)?x?2x?2,当x?[t,t?1]
时的最小值为
g(t)
，（1）求函数
g(t)

（2）当
t?
[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分 法）
【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
2
图2
图1
①如图1所示，若顶点横坐标在区间
。
②如图2所示，若顶点横坐标在区间
值。
右侧时，有，即。当
上时，有，即
左侧时，有，此时，当
图3
时， 函数取得最小值
。当时，函数取得最小
③如图3所示，若顶点横坐标在区间

时，函数取得最小值
综上讨论，g(t)=
f(x)
min
?
(t? 1)
2
?1,t?1
?
?
?
1,0?t?1

?
t
2
?1t?0
?

t?(??,0]
时，
g(t)?t?1
为减函数
2
?< br>t
2
?1(t?0)
?
(2)
g(t)?
?
1(0?t?1)

?
t
2
?2t?2(t?1)
?
?
在
[?3,?2]
上，
g(t)?t?1
也为减函数
2
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?

2
g(t)
min
?g(?2)?5
，
g(t)
max
?g(?3)?10

【例3】 已知
f (x)?x?2x?2
，当
x?[t，t?1](t?R)
时，求
f(x)< br>的最大值．
【解析】由已知可求对称轴为
x?1
．
?f(x)min
?f(t)?t
t
?
?
2
1
t?3，f (x)
max
?f(t?1)?t
2
?2
（1）当时，．
（2）当
t≤1≤t?1
，即
0≤t≤1
时，．
根据对称 性
，
若
t?t?11
?
即
22
0≤t≤
1
2
f(x)?f(t)?t?2t?3
max
2
时，．
t ?t?111
??t≤1
f(x)
max
?f(t?1)?t
2?2
222
若即时，．
f(x)
max
?f(t)?t
2
?2t?3
t?1?1t?0
（3）当即时，．
综上，
f(x )
max
1
?
2
t?2,t?
?
?
2?
?

1
?
t
2
?2t?3,t?
?
2
?
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨 论呢？这些
问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端 点或
二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区< br>间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值
不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，
当然 也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为
什么这样讨 论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
b1
?
f(m)，??(m ?n)(
如图1
)
?
?
2a2
时
f(x)
max
?
?
f(x)
min
b1
?
f(n)，?? (m?n)(
如图2
)
?
2a2
?
当
b
?
f(n)，??n(
如图3
)
?
2a
?
bb
?
?
?
f(?)，m???n(
如图4
)

2a 2a
?
b
?
f(m)，??m(
如图5
)
?
2a
?
当
b
?
f(n)，??n(
如图6
)?
b1
?
2a
f(m)，??(m?n)(
如图9
)< br>?
?
?
2a2
bb
f(x)?
时
f(x)< br>max
?
?

f(?)，m???n(
如图7
)?
min
?
2a2a
?
f(n)，?
b
?1
(m?n)(
如图10
)
?
?
b
?
2a2
?
f(m)，??m(
如图8
)
?
2a
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【例4】 (1) 求
f(x)?x?2ax?1
在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数
y??x(x?a)
在
x?[?1,1]
上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为
x??a
，
当
?a?2
11
即
a??
时，
f(x)
max
?f(2 )?4a?5
；
22
11
即
a??
时，
f(x)
max
?f(?1)?2a?2
。 综上所述：
f(x)
max
22
1
?
?2a?2,a??
?
?
2
?< br>?
。
1
?
4a?5,a??
?
?2
当< br>?a?
a
2
a
2
aaaa
(2)函数
y?? (x?)?
图象的对称轴方程为
x?
，应分
?1??1
，
? ?1
，
?1
即
?2?a?2
，
a??2
24
2222
和
a?2
这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）
a? ?2
；由图可知
f(x)
max
?f(?1)

（2）?2?a
?2
；由图可知
f(x)
max
?f()

（3）
a?2
时；由图可知
f(x)
max
?f(1)

a
2
?
y
最大
?
?(a?1),a??2
?
f(?1),a??2
?
2
?
a
?
?
a
?
?
f(),?2?a?2
；即
y
最大
?
?
,?2?a?2

?
2
?
4
?
?
?f(1),a?2
?
a?1,a?2
2
【例5】 已知二次函数
f(x)?ax?(2a?1)x?1
在区间
?
?
?
3
?< br>,2
?
上的最大值为3，求实数a的值。
2
??
【分析】这 是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分
a?0
与
a?0
两大类五种情形 讨论，过程繁琐不堪。若
注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的 函数值，再检验其真假，过程
就简明多了。具体解法为：
（1）令
f(?
2a?11
)?3
，得
a??
< br>2a2
1
?
3
?
,2
?
，故
?不合题意；
2
?
2
?
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x??2
，且
?2?
?
?
（2）令
f(2)?3
，得
a?
1

2
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴 较远，故
a?
（3）若
f(?
1
符合题意；
2
32
)?3
，得
a??

23
2
符合题意。
3
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对 称轴较远，故
a??
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综上，
a?
12
或
a??

23
解后反思 ：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先
斩后奏 的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的
资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。
【变式】 已知函数
f (x)?ax?2ax?1
在区间
[?3,2]
上的最大值为4，求实数a的值。
【解析】
f(x)?a(x?1)?1?a,x?[?3,2]

（1）若
a?0,f(x)?1,
，不符合题意。
（2）若
a?0 ,
则
f(x)
max
?f(2)?8a?1

2
2
3

8
（3）若
a?0
时，则
f(x)
max
?f(?1)?1?a

由
1?a?4
，得
a??3

3
综上知
a?
或
a??3

8
x
2
?x
在区间
[m,n]
上的最小值是3
m
最大值是3n
，求
m
，
n
的值。 【例6】 已知函数
f(x)? ?
2
m?n
【解法1】讨论对称轴中1与
m,,n
的位置关系。 < br>2
?
f(x)
max
?f(n)?3n
①若，则
?< br>
?
f(x)
min
?f(m)?3m
由
8a?1? 4
，得
a?
解得
②若

?
f(x)
max
?f(1)?3n
m?n
，无解
?1?n
，则
?
f(x)?f(m)?3m
2
?
min< br>?
f(x)
max
?f(1)?3n
m?n
，则
?< br>，无解
2
?
f(x)
min
?f(n)?3m
，则
?
③若
m?1?
④若
?
f(x)
max
? f(m)?3n
，无解
?
f(x)
min
?f(n)?3m
综上，
m??4,n?0

1111
2
【解法2】由
f( x)??(x?1)?
，知
3n?,n?,
，则
[m,n]?(??,1]< br>，
2226
?
f(x)
max
?f(n)?3n
又 ∵在
[m,n]
上当
x
增大时
f(x)
也增大所以
?
解得
m??4,n?0

?
f(x)
min< br>?f(m)?3m
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了
m
，
n
的取值范围，避开了繁难的分类
讨论，解题过程简洁、明了。
【例7】 求函数
y?x?3?5?x
的值域.
22
y?x?3? 5?x?2(x?3)(5?x)?2?21?(x?4)
【解法1】
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22
y?2?21?(x?4)?[2,4]
显然
故函数的值域是：
【解法2
y?[2,2]

】显然3≤x≤5 ,
x?3?2sin
2
?
(
?
?[0,])?5?x?2c os
2
?
2
?
,
y?x?3?5?x?2(sin
?
?cos
?
)?2sin(
?
?)?[2,2]
4
三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过
?
该方法可将原函数转化为为
y?k?f(x)
(
k为
常数 )的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例1】 求函数
y?
x?2
的值域
x?1
1
，容易观察知x≠-1,y≠1，得函数的值域为
y ∈(-∞,1)∪(1, +
x?1
【解析】利用恒等变形，得到：
y?1?
∞)
。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数 值域。
x
2
?x
【例2】 求函数
y?
2
的值域。
x?x?1
【解析】观察分子、分母中均含 有
x
2
?x
项，可利用部分分式法；则有
x
2
?x x
2
?x?1?11
1
2
31
f(x)?(x?)?,g( x)?(f(x)?0)
从而
y?
2
??1?
不妨令：
2< br>13
24f(x)
x?x?1x?x?1
(x?)
2
?
24
?
3
?
?
3
?
1
f(x)?
?
,??
?
注意：在本题中应排除
f(x)?0
，因为
f(x)
作为分母。所以
g(x)?
?
0,
?
故
y ?
?
?,1
?

?
4
?
3
?4
?
【变式】
求下列函数的值域：
2
x?1
1
y?
(1)
y?
3
x
x
?
(2) .
?2
2
x?1
1
答案：（１）值域
y?(??,
1
3
) ?(
3
,??)
（２）值域
y ∈[-1,1]
四、反函 数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到
原函数的值域。
1?2
x
【例1】
求函数
y?
的值域。
1?2< br>x
1?y
1?y
1?2
x
x
x
2?
?0
，
2?0
【解析】由
y?
解得， ∵，∴
1?y< br>1?y
1?2
x
1?2
x
∴
?1?y?1
∴函数
y?
的值域为
y?(?1,1)
。
1?2
x
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【例2】求函数
y?
3x?4
值域。
5x?6
【解析】由 原函数式可得：
故所求函数的值域为：
(??,)
则其反函数为：，其定义域为：
3
5
3
(,?)

5
e
x
?1
【例3】 求函数
y?
x
的值域。
e?1
e
x
?1
解答：先证明
y?
x
有反函数，为此，设
x
1
?x
2
且
x
1
,x
2
?R
，
e?1
e
x
1
?1e
x
2
?1e
x
1
? e
x
2
y
1
?y
2
?
x
1
?
x
2
?2
x
1
?0
。
x
2
e?1e?1(e?1)(e?1)
所以
y
为减函数，存在反函数。可以求得 其反函数为：
y
值域为
y?(?1,1)
。
【例4】
求 函数
y?
?1
?x
?ln
1
1?x
。此函数的定义 域为
x?(?1,1)
，故原函数的
a?bx
(a?0,b?0,a?b,x ?[?1,1])
的值域。

a?bx
2a2a2a

??
a?ba?bxa?b

【解法1】-1≤x≤1 a-b≤a-bx≤a+b
2a2a2aa?ba?b
，
?1?y??1??? 1??y?
a?ba?bxa?ba?ba?b
【解法2】（反函数法）：
x?
a2aa2a
a?ba?b
???1
，,由-1≤x≤1得：
?1?x?< br>?y?
bb(y?1)bb(y?1)
a?ba?b

五、
判 别式法：把函数转化成关于
x
的二次方程
F(x,y)?0
；通过方程有实数 根，判别式
??0
，从
a
1
x
2
?b
1< br>x?c
1
而求得原函数的值域，形如
y?
（
a
1、
a
2
不同时为零）的函数的值域，常用此方法求
a
2
x
2
?b
2
x?c
2
解。
（解析式中含有分式和根 式。）
1?x?x
2
【例1】求函数
y?
的值域。
1?x
2
【解析】原函数化为关于x的一元二次方程,由于x取一切实数，故有
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（1）当时， 解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为
【例2】求函数
y?x?x(2?x)
的值域。
【解析】两边平方整理得：
∵ ∴ 解得：
，得
（1）


在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]
求出的范围可能比y的实际 范围大，故不能确定此函数的值域为
但此时的函数的定义域由
由，仅保证关于x的方程：
上，即不能确保方程（1）有实根，由
。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
代入方程（1） 解得：
即当时， 原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔< br>除。
解法二：
y?x?x(2?x)?x?1?(x?1)
2
，令
x?1?sin
??
?[?
??
,]

22
原函数的值域为：
2x
2
?ax?b
【例3】 已知函数
f(x)?
的值域为[1，3]，求
a,b
的值。
2
x?1
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2x< br>2
?ax?b
?(y?2)x
2
?ax?y?b?0???a
2
?4(y?2)(y?b)?0
【解析】
y?
2
x?1
4y
2
?4(2?b)y?8b?a
2
?0
。
2x
2
?ax?b
由于
f(x)?
的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为 {y|1≤y≤3}
2
x?1
【例4】求函数
y?
x?1
x
2
?2x?2
的值域。
2
【解法1】先将此函数化成隐函数的形 式得：
yx?(2y?1)x?2y?1?0
，(1)
这是一个关于
x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式
1
??(2y ?1)
2
?4y(2y?1)?0
，解得：
?
1
2
?y?
2
。
1
故原函数的值域为：
y?[?
1
2
,
2
]
。
【解法2】当x≠-1时
y?
x ?1
2
x?2x?2
?
1
1
(x?1)?
x?1< br>
由于 当x+1< 0时，
(x?1)?
1
??2
，即
y?[?
1
2
,0)

x?1
当x+1＞ 0 时，
(x?1)?
1
?2
，即
y?(0,
1
2]

x?1
1
考虑到x=-1时y=0 故原函数的值域为：
y?[?
1
2
,
2
]

【例5】已知函数
y?
mx?n
的最大值为4，最小值为 —1 ，则
m
= ，
n
=
2x?1
【解析】
y?
mx?n
22
?y?x?mx?n?y?0 ???m?4y(y?n)?0

2
x?1
4y
2
?4ny ?m
2
?0
………………
○
1。
2x
2
?ax?b
由于
f(x)?
的值域为[－1，4]，故不等式
○
1的 解集为{y|－1≤y≤4}
x
2
?1
【例6】求函数
y?
2
x?2
的值域。
x
2
?2x?3
【解析】
y ?x?(y?1)x?3y?2?0

○
1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点；
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16y
2
?4y?1)?0
?
?
1
○
2得函数的值域为R .
?
?y?R
， 由
○
?
y
??48?0
?
?
六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数 的值域，
形如
y?ax?b?cx?d
（
a
、
b
、
c
、
d
均为常数，且
a?0
）的函数常用此法求解。 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的< br>熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
【例1】求函数
y?2x?1?2x
的值域。
1?t
2
【 解析】令
t?1?2x
（
t?0
），则
x?
，
2
15135
∴
y??t
2
?t?1??(t?)
2
?
∵当
t?
，即
x?
时，
y
max
?，无最小值。
24284
5
∴函数
y?2x?1?2x
的值域 为
(??,]
。
4
x?5
y?2?log
3
x? 1(2?x?10)
的值域。
【例2】
求函数
【解析】
令
y
1
?2
x?5
,y
2
?log
3
x?1

则
y
1
,y
2
在[2，10]上都是增函数
所以
y?y
1
?y
2
在[2，10]上是增函数
当x=2时，
y
min
?2
?3
?log
3
2?1 ?
1
8

5
当x=10时，
y
max
?2 ?log
3
9?33

?
1
?
?
8
,33
?
?
故所求 函数的值域为：
?
【例3】
求函数
y?x?1?x?1
的值域。
y?
2
x?1?x?1

【解析】
原函数可化为：
令
y
1
?x?1,y
2
?x?1
，显然
y
1
,y
2
在
[1,??]
上为无上界的增函数
所以
y?y
1
，
y
2
在
[1,??]
上也为无上界的 增函数
2
所以当x=1时，
y?y
1
?y
2
有最 小值
2
，原函数有最大值
2
显然
y?0
，故原函数的值域为
(0,2]

?2

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2
y?x?2?1?(x?1)
【例4】
求函数的值域。
2
2
【解析】
因
1?(x?1)?0

即
(x?1)?1

故可令
x?1?cos?,??[0,?]

2
y?cos??1?1?cos??sin??cos??1
∴
∵
0????,0???
?5
??
44

故所求函数的值域为
[0,1?2]

x
3
?x
y ?
4
x?2x
2
?1
的值域。
【例5】
求函数< br>12x1?x
2
y???
2
2
1?x1?x
2

【解析】
原函数可变形为：
2x1?x
2
?sin2?,?co s
2
?
22
1?x
可令
x?tg?
，则有
1?x

当
??
k??
1
?
y
max?
4

28
时，
k??1
?y
min
??
28
时，
4
当
??
而此时
tan?
有意义。
?
11
?
?
?
4
,
4
?
?
故所求函数的值域为
?
?
??
?
x?
?
?,
?
?
12 2
?
的值域。
【例6】
求函数
y?(sinx?1)(cosx? 1)
，
【解析】
y?(sinx?1)(cosx?1)

1
sinxcosx?(t
2
?1)
2
令
sinx?cosx?t< br>，则
?
??
?
2
x?
?
?,
?< br>?t?2
?
122
?

可得：
2
由
t?sinx?cosx?2sin(x??4)

且
∴当
t?2
时，
y
max
?
3
232
?2
t?y??
2
时，
42

2
，当
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?3
?
23
,?2
??
?
422
??
?
。 故所求函数的值域为
?
2
【例7】
求函数
y?x?4?5?x
的值域。
2
【解析】
由
5?x?0
，可得
|x|?5

故可令
x?5cos?,??[0,?]

??5?
?????
44
∵
0????

4
当
???4
时，
y
max
?4?10

当
???
时，
y
min
?4?5

故所求函数的值域为：
[4?5,4?10]

【例8】
求函数y?(x
2
?5x?12)(x
2
?5x?4)?21
的值域。
9
5
?
9
?
【解析】
令
t?x?5x?4 ?
?
x?
?
?
，则
t??
。
4
2
?
4
?
2
2
y?t
?
t?8
?
?21?t
2
?8t?21?
?
t?4
?
?5，
2
1
?
9
1
?
?
9
?< br>当
t??
时，
y
min
?
?
??4
?
?5?8
，值域为
?
y|y?8
?

16
?
4
16
?
?
4
?
2
【例9】
求函数
y?x?21?x
的值域。
【解析】
令
t?1?x
，则
x?1?t
2
，
t?0
，
y?1?t
2
?2t??
?
t?1
?
?2

2
2
当< br>t?0
时，
t
max
?1?0?2?0?1

所以值域为
(??,1]
。
【例10】
．求函数
y?x?10x?x
2
?23
的值域。
【解析】
由
y?x?10x?x
2
?23
=
x?2 ?
?
x?5
?
，
2
令
x?5?2cos
?
，
2
2
因为
2?
?
x?5
?
?0?2?2cos
?
?0??1 ?cos
?
?1
，
?
?[0,
?
]
， < br>则
2?
?
x?5
?
=
2sin
?
，
2
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于是：
y?
?
?
??
5
?
?
2sin
?
?2cos
?
?5?2sin
?
?
?
?
? 5
，
?
??[,]
，
4
?
444
??
2
?
??
?sin
?
?
?
?
?1
，所以：
5?2?y?7
。
24
??
七、函数有界 性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客
为主来确定函数的值域。
x
2
?1
【例1】
求函数
y?
2
的值域。
x?1
【解析】由函数的解析式可 以知道，函数的定义域为
R
，对函数进行变形可得
(y?1)x
2
??(y?1)
， ∵
y?1
，∴
x
2
??
y?1
（
x?R
，
y?1
），
y?1
y?1
x
2
?1
?0
，∴
?1?y ?1
， ∴函数
y?
2
∴
?
的值域为
{y|?1?y?1}

x?1
y?1
e
x
?1
y?
x
e?1的值域。 【例2】求函数
e
x
?
y?1
y?1
【解析】
由原函数式可得：
y?1
?0
x
y?1
?1? y?1

故所求函数的值域为
(?1,1)
∵
e?0

∴

解得：
【例3】求函数
y?
cosx
sinx?3
的值域。
2
y?1sinx(x??)?3y

ysinx?cosx?3y
【解析】
由原函数式可得：，可化为：
sinx(x??)?
即
3y
y
2
?1

?1?
3y
y?1
2
?1

解得：∵
x?R

∴
sinx(x??)?[?1,1]

即
?
22
?y?
44

?
22
?
?,
??
44
??
?
故函数的值域为
?
【例4】
y?
3?sinx

4?2cosx
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【解法 1】
sin(x?
?
)?
3?4y
1?4y
2
，< br>sin(x?
?
)?
3?4y
1?4y
2
?1
，
解得
1?
3333
?y?1?,1?]
即函数值域为：
y?[1?
3333
【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值
x
23?sinx
?y
2
?1
y?
4?2cosx
聚会取值 范围．设y=k(x-4)+3 代入椭圆方程
4
范围就是
222
(4k? 1)x?8(3?4k)kx?4(16k?24k?8)?0
，由Δ＝0得答案． 得
【例5】 已知a>0，x
1
,x
2
是方程ax+bx-a=0的 二个实根，并且|x
1
|+|x
2
|=2,求 a的取值范围以及b的最大值 。
22
【解析】由韦达定理知：
xx=
-a<0,故两根必一正一负，
｜
x
|
+
|
x
|
=2
12
12
从而
|x
1
-x
2
|=2
由韦达定理知：4=|x
1
-x
2
|
2
=(b2
+4a
3
)a
2

从而4a
2
-4a
3
=b
2
≥0
即4a
2
(1-a) ≥ 0
即a≤1,注意到a>0，从而a的取值范围是0< a≤1
a?a?2?2a
3
16
从而
b
2
?4a
2
(1?a)?2?a?a?(2?2a)?2?(

)?
327
即b的最大值为
43
，当且仅当a=23时“＝”成立。

9
八、函 数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
【例1】求函数
y?x?1?2x
的值域。
【解析】∵当
x
增大时，
1?2x
随
x
的增大而减少，
?1?2x
随x
的增大而增大，
1
∴函数
y?x?1?2x
在定义域
(??,]
上是增函数。
2
∴
y?
111
1
? 1?2??
，∴函数
y?x?1?2x
的值域为
(??,]
。 222
2
【例2】
求函数
y?x?
1
在区间
x ?
?
0,??
?
上的值域。
x
【解析】任取
x< br>1
,x
2
?
?
0,??
?
，且
x< br>1
?x
2
，则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
x
1
?x< br>2
??
x
1
x
2
?1
?
x
1
x
2
，因为
0?x
1
?x
2
，所以：< br>x
1
?x
2
?0,x
1
x
2
?0< br>，
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当1?x
1
?x
2
时，
x
1
x
2
?1?0
，则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
；
当
0?x
1
?x
2
?1
时，
x
1
x
2
?1?0
，则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
；而当
x?1
时，
y
min
?2

于是：函数
y ?x?
1
在区间
x?
?
0,??
?
上的值域为[2,??)
。
x
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
【例4 】
求函数
f
?
x
?
?1?x?1?x
的值域。 < br>【解析】因为
?
?
1?x?0
??1?x?1
，而
1 ?x
与
1?x
在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数
?
1?x ?0
g
?
x
?
?1?x?1?x
，易知
g(x)< br>在定义域内单调增。
g
max
?g
?
1
?
? 2
，
g
min
?g
?
?1
?
??2
，
?g
?
x
?
?2
，
0?g
2
?
x
?
?2
，
又
f
2
?
x?
?g
2
?
x
?
?4
，所以：
2?f
2
?
x
?
?4
，
2?f
?
x?
?2
。
【例5】
求函数
y?3x?6?8?x
的值域。
【解析】此题可以 看作
y?u?v
和
u?3x?6
，
v??8?x
的复合函数 ，显然函数
u?3x?6
为单调递增
3x?6?8?x
也是单调递增函数。而 此函数的定函数，易验证
v??8?x
亦是单调递增函数，故函数
y?
义域为
[?2,8]
。
当
x??2
时，
y
取得最小值< br>?10
。当
x?8
时，
y
取得最大值
30
。
故而原函数的值域为
[?10,30]
。
九.
图像法（数型结合 法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图
像求得函数值域，是一种求值 域的重要方法。
当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直
线的斜率、截距等） 或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
【例1】求函数
y?|x?3|?|x?5|
的值域。
?
?2x? 2
(x??3)
?
【解析】∵
y?|x?3|?|x?5|?
?8

(?3?x?5)
，
?
2x?2
(x?5)?
y
8
o
-35
x
∴
y?|x?3|?|x? 5|
的图像如图所示，
由图像知：函数
y?|x?3|?|x?5|
的值域为
[8,??)

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22
y?(x?2)?(x?8)
【例2】
求函数的值域。
【解析】原函数可化简得：
y?|x?2|?|x?8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），
B(?8)
间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

故所求函数的值域为：
[10,??]

22
【例3】
求函数
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。
【解析】原函数可变形为：
上式可看成x轴上的点
P(x,0)
到两定点< br>A(3,2),B(?2,?1)
的距离之和，
22
y?|AB|?(3?2)?(2?1)?43
，
min
由图 可知当点P为线段与x轴的交点时，
故所求函数的值域为
[43,??]

十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征
解析式是和式时要求积为定 值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
k
x
2
?2
【例1】求下列函数的值域：(1)
y?x??3
(k>0);(2)
y?
。
2
x
x?1
【解析】(1)若x>0时，则
y?x?
k
k
?3
? 2x??3?3?2k
,等号仅当x=kx，即
x?k
时成立；
x
x
若x<0时，则
y?x?
k
k
?3
??2?x?(?)? 3?3?2k
,等号仅当-x=-kx，即
x??k
时成立；
x
x
故，
y?(??,3?2k]?[3?2k,??)

(2)
解法一：
y?
x
2
?2
x?1
2
=
?x
2
?1?
1
x?1
2
?2
，故
y?[2,??)

解法二：令
t?x
2
?1
,则
y?t?
1
(t?1)
．即方程
f(t)?t
2
?ty?1?0
在[1,+∞)上有解．
t

所以
t
1
t
2
?1
．从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在( 0,1)内，从而f(1)≤0,即y≥2.
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x2
?2x?2
【例2】
若
?4?x?1
，求的最小值
2x?2
x
2
?2x?21(x?1)
2
?11111
?? ?[(x?1)?]??[?(x?1)?]
【解析】
2x?22x?12x?12?(x?1)
∵
?4?x?1
∴
0??(x?1)?3

???
11
?

?(x?1)3
从而
[?(x?1)?
111
]?2

?[?(x?1)?]??1
，
?(x?1)2?(x?1)
1
，即x=-2时”=”成立
?(x?1)< br>当且仅当
?(x?1)?
x
2
?2x?2
)
min< br>??1
即
(
2x?2
【例3】
求函数
y?2x?< br>2
3
,(x?0)
的最小值
x
【解析】
y?2x< br>2
?
3333393
?2x
2
???3
3
2 x
2
???3
3
?
3
36

x2x2x2 x2x22
3
6
33
当且仅当
2x?
即
x?
时
y
min
?
3
36

2
2x2
2
【例4】
求y=
14
?
(x?
(0,)
)的最 小值。
?
cosxsinx2
【解析】y>0,y
2
=(sec x+4csc x)
2
= sec
2
x+16csc
2
x+ 8sec xcsc x
?
cos
2
x?sin
2
=(tanx+1)+16(cotx+1)+8
?
?
cosxsinx
?< br>22
x
?
?
?

?
=17+(tan
2
x+4cot x+4cot x)+ (16cot
2
x+ 4tan x+4tan x)
=
1?
3
16

??
3
?
tan
2
x?4cotx?4cotx
?
tan
3
x?4
当且仅当
?
即
?
（这是两个相同的方程）,
23
?
16cotx?4tanx?4tanx
?
4cotx?1
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即当x =arctan
3
4
?
(0,
?
2
)
时， “=”成立（达到最小值）。

【例5】若函数y=f(X)的值域为
[,3]
,则函数
F(x)?f(x)?
1
2
1
10
的值域是
[2,]

。
f(x)
3
解析：f(x)>0,

F(x)?f(x)?
1
111
?2
,并且当f(x)=1时等号成立。而
g(t)?t?
在t?
[,1]
时单调递减,
g(t)?t?
在
f(x)
t2t
11151
在区间
[,1]
上的值域为
[g(1),g()] ?[2,]
;
g(t)?t?
在区间[1,3]上的值域为
t222t
10
[g(1),g(3)]=[2,103].综合知F(x)的值域为
[2,]

3
t?[1，3]时单调递增。从而
g(t)?t?
【例6】求函数
y?
x?2
的值域。
x?3
，则 【解析】令
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法
十一、利用向量不等式
性质1 若
当且仅当
性质2
性质3
类型（1）型（
时等式成立
，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，
，当且仅当
同号）
反向平行时左边等式成立。
，则
方向相同且两两平行时等式成立。
【例1】
求函数
y?5x?1?10?x
的最大值。
【解析】构造向量
由性质1，得

当且仅当
解2：显然1≤x≤10,
，即时，
x?1?9sin
2
?
?3sin
?
(
?
?[0,])?10?x?9(1?s in
2
?
)?3cos
?

4
1
y?15 sin
?
?3cos
?
?326sin(
?
?
?< br>)
(其中
?
?arctan
)
5
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?

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 所以3≤
y?15sin
?
?3cos
?
?326sin(?
?
?
)?326
即
型
的最大值。
类型（2）
【例2】
求函数
y?x?3?10?9x
2
【解析】原函数可变为
取且
构造向量
由性质1，得

从而
当且仅当
类型（3）
，即时，
型（

）
【例3】
求函数
y?x
2
?4?(3?x)
2
?9
的最小值 。
【解析】构造向量
由性质2，得
当且仅当a与b同向平行时等式成立


所以（此时
类型（4）其它类型
）
【例4】
设x< br>1
（i＝1，2，……，2003）为正实数，且
x
1
?x
1
??x
2015
?2015
，试求
y?x
1
?x
2
?x
2
?x
3
?
【解析】构造向量
由性质3，得
即
?x
2014
?x
2015
? x
2015
?x
1
的最小值。
【例5】
已知
【解析】构造向量
从而
由性质3，得
当且仅当a=b=c=12时“＝”成立。
，求的最小值。

所以
十二、一一映射法
原理：因为
y?
ax?b
(c?0)
c x?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可
以求另一个 变量范围。
【例1】求函数
y?
1?3x
2x?1
的值域。
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11
??
?
x|x??或x??
?
22
?
【解析】∵定义域为
?
1?3x
x?
1?y
y?
2y?3< br>
2x?1
得由
x?
故
1?y1?y
11
? ?x???
2y?32
或
2y?32

33
y??或y??
22
解得
3
??
3
??
?
??,?
?
?
?
?,??
?
2??
2
?
故函数的值域为
?
十三、多种方法综合运用
【例1】求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
2
【解析】令
t?x?2(t?0)
，则
x?3?t?1

y?
（1）当
t?0
时，
t11
??
1
t
2
?1
t?
1
2
0?y?
t
2
，当且仅当t=1，即
x??1
时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
?
1
?
?
0,
2
?
?
综上所述，函数的值域为：
?
注：先换元，后用不等式法
1?x?2x
2< br>?x
3
?x
4
y?
1?2x
2
?x
4
【例2】 求函数的值域。
y?
1?2x?xx?x
?
1?2 x
2
?x
4
1?2x
2
?x
4
2
243
【解析】

?
1?x
2
?
x
?< br>??
?
?
1?x
2
?
1?x
2
< br>??
2
2
??
1?x
?
??
?cos
2
?
x?tan
2
??
2
，则
?
1?x
?
令
∴当
sin??
117
y
max
?
4
时，
16

当
sin???1
时，
y
min
??2

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此时< br>tan
17
??
?
?2,
?
16
?
?

2
都存在，故函数的值域为
?
注：此题先用换元法，后用配方法 ，然后再运用
sin?
的有界性。
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