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高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 18:08
tags:高中数学函数

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高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
新课标高中数学教材上就 函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,
但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、 凹凸性的考查。尤其是对
称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对
称性,三角函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念:
①函数轴对称:如果一 个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全
重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直 线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原 函数
图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中
心。
2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)
①常数函数:既是轴对称又是 中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,
与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,
与该直线相垂直的直线 均为它的对称轴。
b
③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为
x??

2a
④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x
均为它的对称轴。
⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。
⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。
⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称 ,对称中心是原点;幂函数中的偶
函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,
2
⑨正弦型函 数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从
ωx+φ=kπ中解出x, 就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从
ωx+φ=kπ+π2中解出x,就是它的对称轴 ;需要注意的是如果图像向上向下
平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。
⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,
(k
?
?
是它的对称中心。
x?k
?
?
?
是它的对称轴。
?< br>2
,0)
k
?
,0)
是它的对称中心,
2
容 易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。
(12)对号函数:对号函数y=x +ax(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,
原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可 能误以为最值处是它的对称
轴。
(13)三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对 称中心是原点,而其
他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
(11)正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中
(



(14)绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然
是偶函数, 它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是
否仍然具备对称性,这也没有一定的 结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而
y=│sinx│却仍然是轴对称。
二、函数的对称性猜测:
1、具体函数特殊的对称性猜测
①一个函数一般是不会关 于x轴对称,这是由函数定义决定的,因为一个x不会
对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x轴对称 的。
例1、判断曲线
y
2
?4x
的对称性。
②函数关于y轴对称
例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。
③函数关于原点对称
例3、判断函数
y?x
3
?sinx
的对称性。
④函数关于y=x对称
1
例4、判断函数
y?
的对称性。
x
⑤函数关于y=-x对称
4
例5、判断函数
y??
的对称性。
x
总结为:设(x,y)为原曲线图像上任一点,
如果(x,-y)也在图像上,则该曲线关于x轴对称;
如果(-x,y)也在图像上,则该曲线关于y轴对称;
如果(-x,-y)也在图像上,则该曲线关于原点对称;
如果(y,x)也在图像上,则该曲线关于y=x对称;
如果(-y,-x)也在图像上,则该曲线关于y=-x轴对称。
2、抽象函数的对称性猜测
①轴对称
例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x),求该函数的所有对 称轴。(任意取
值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中间2.5,从而该函数关于x=2.5对 称)
例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),求该函数的所有对称轴。(按上例一< br>样的方法可以猜出对称轴为x=0,可见偶函数是特殊的轴对称)
例8、如果f(x)为偶函数 ,并且f(x+1)=f(x+3),求该函数的所有对称轴。(因
为f(x+1)=f(-x-3), 按上例可以猜出对称轴x=-1,又因为它以2为周期,所以
x=k是它所有的对称轴,k∈Z)
②中心对称
例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6,求该函数的 对称中心。(因为自
变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它
的对称中心)
例10、如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,求该函数的所 有对称中心。(按上
例一样的方法可以猜出对称中心为(0,0),可见奇函数是特殊的中心对称) < br>例11、如果f(x)为奇函数,并且f(x+1)+f(x+3)=0,求该函数的所有对称中心
和对称轴。(由周期性定义知周期为4,又f(x+1)=-f(x+3),从而f(x+1)=f(-x-3 ),
按上例知x=-1为对称轴,所以x=-1+2n为对称轴,(2k,0)为对称中心,其中
k∈Z)



总结为:
①当括号里面x前面的符号一正一负时就是 对称性,其中的对称轴为多少可以用
特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论,因为很容易与后面的结论 相混淆。
②而当x前面的符号相同时就是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6
为周期。
③当x前面的符号相同,同时告诉奇偶性时也可以推出对称性,因为奇偶性有制
造负号的能力。
3、两个抽象函数之间的对称性猜测
例12、求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称 轴方程。(当第一个函数的x取0时,值
为f(2),这时第二个函数的x必须取-1才也对应那么多, 他们的正中间为-1.5,
因而猜测对称轴为x=-1.5)
总结为:
①当括号里 面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多
少仍然可以用特殊值代入来猜测,仍 然不主张记结论,因为很容易与前面的结论
相混淆。
②而当x前面的符号相同时告诉的是图像 平移。例如y=f(x+2)与y=f(x-1),前
者是由后者向左移三个单位得到。
三、对称性的证明
如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的,我们要辅以完整的证明才行。
1、一个函数的对称性证明
a?b
例13、证明若函数y=f(x)满足f(a+x )=f(b-x),则函数关于直线
x?
对称。
2
a?b
证明:在 y=f(x)上任取点(m,n),则n=f(m),而点(m,n)关于
x?

2< br>对称点为(a+b-m,n),又因为f(a+b-m)=f(a+(b-m))=f(b-(b-m)) =f
a?b
(m)=n,这正表明(a+b-m,n)也在原函数图像上,从而原函数关于直线
x?
2
对称。
总结为:核心是相关点法,即在函数上任取一点,对称点如果 仍在函数图像上,
就可以下结论该函数关于它对称。
2、两个函数之间的对称性的证明 b?a
例14、证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线
x?
对称。(注意不是
2
a?b
,证明的方法类似于上例方法)
x?
2
总结为:仍是相关点法,但是多一次,需在函数上任取一点,对称点如果在对方
函数图像上,同 时在对方函数上任取一点,对称点又在该函数图像上,才可以下
结论该函数关于它对称。取两次的原因是 以免两个图像一个只是另一个对称过来
图像的一部分。
3、特别地关于y=x对称性的证明
2x?1
例15、证明
y?
关于y=x对称。(只需求出它的反函数是自己即 可)
3x?2
总结为:



①一个函数自身关于y=x对称 不需要用上面的相关点法,只需要证明它的反函数
是自己就可以了。
②两个函数关于y=x对 称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法,只需证明两个
函数互为反函数,即求一个的反函数为另外一个 就可以了。
③反过来这句话也成立,如果需要证明两个函数互为反函数,只需要证明它们的
图 像关于y=x对称即可。
四、对称性的运用
1、求值
4
x
例1 6、已知
f(x)?
x
,f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0 )+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
4?1
的值。(只需要考虑当两个自变量加起来 为0时函数值的和是否为定值,验证果
然。而这里显然隐含的是函数的对称性)
总结为:“配对”,对称性主要是考查一对函数值之间的关系。
2、“对称性+对称性”可以推导出周期性
例17、如果函数y=f(x)满足f(x+3) =f(2-x)和f(4+x)=f(5-x),求该函数的最小
正周期。
(因为f(x+3 )=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4)
总结为:两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号,从而得出周期性。
3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性
这在前面已经提到,还是因为奇偶性有制造负号的能力。
4、三角函数的奇偶性
例 18、如果函数
y?3sin(2x?
?
?)
(其中0<θ<π)是奇函数, 求θ的值。
4
(2x+θ+π4=kπ,而x=0,所以θ+π4=kπ,在要求的范围上只有 θ=3π4)
总结为:几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用,先求出所有的对称
轴,然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心,然后原点是其中的一
个)。
5、关于y=x对称的应用
例19、求函数
f(x)?e
x?1
与 函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。(因为f(x)=e^x
与g(x)=lnx互为反函数 ,关于y=x对称,而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左
移一个单位得到,g(x) =ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到,因而对
称轴也跟着左移一个单位,即y =x+1)
6、对称性的本义
例20、如果y=asinx+bcosx关于x=π4对称 ,求直线ax+by+3=0的直线的斜率。
(既然关于x=π4对称,则f(0)=f(π2)代入求 出a和b的关系即可)
总结为:对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数
值的紧密关系。

?

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