高中数学《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计
一、教材内容分析

“函数” 是中学数学的核心概念。函数贯穿于整个高中数学的教学中，是整
个高中数学的主题内容。
学生在初中已经学习过函数的概念。初中函数的概念是：
一般地，在一个变化过程中，如果有 两个变量
x
和
y
，并且对于
x
的每一个
确定的值，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，
y
是
x
的
函数。如果当
x?a
时
y?b
，那么b
叫做当自变量的值为
a
时的函数值。
这个定义把函数看成是 两个变量之间的依赖关系。根据这个观点，有些函数
很难进行深入研究。例如
y??
， 对于这个函数，如果用变量观点来解释，会显
得特别勉强。但用高中集合、对应的观点来解释就十分自然 。
在高一，学生需要建立的函数概念是：
设
A,B
是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中
的 任意一个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的数
f(x)
和它 对应，那么就称
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数 ，记作
y?f(x),x?A.


其中，
x
叫做 自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x
的值相对 应
的
y
值叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)|x?A
?
叫做函数的值域。
实际上，初中的函数概念和高中的函数概念本质上是一样的。只是 高中的函
数概念更具有一般性，高中用集合、对应的语言描述函数概念，在初中虽然没有
提及， 但事实上是客观存在的，学生在解决具体问题的过程中也渗透了集合与对
应的观点。
不同之处在于初中没有明确强调“确定的对应关系”，或者所接触的函数多
数是有解析式的，而高中引入 了用“
f
”表示对应关系，用
f(x)
表示集合
B
中
与
x
对应的那个数。
在函数的概念教学中，我认为需要注意以下几点：
1、集合
A
和集合
B
都必须是非空的数集，这与映射是不同的。

2、两个数集之间有确定的对应关系
f
，即对于数集
A
中的每一个数
x
，在
集合
B
中都有唯一确定的
y
和它相对应。对于集合
A
中的数，不能有些在
B
中有
元素跟 它对应，而有些没有；而且，在集合
B
中只能有一个数跟它对应，不能是
两个或两个以 上。
3、函数概念中集合
A
和集合
B
以及对应法则
f
是一个整体。
基于以上认识我认为本节课教学重点是：通过概括具体实例的共同 属性得出
用集合与对应的语言刻画的函数概念。

二、教学目标分析

1、学生能通过观察、辨析具体实例的共同属性，逐步抽象出用集合的语言
刻画的函数的概念；
2、函数的概念及函数的三要素；
3、学生能求出一些简单函数的定义域及具体的函数值；
4、通过从实例中抽象概括函数概念的过程，提高抽象概括能力。
三、学生学情分析
学生在初中已经学习了用变量观点描述的函数的概念，并具体研究了几类简
单初等函数，对函数有了一定 的感性认识。另一方面在第一章已经学习了集合，
为学习用集合和对应的语言描述的函数的概念打下基础 。
初中函数的概念比较直观。本节课函数的概念较为抽象，高一学生的思维水
平还不 善于把抽象概念和具体实例联系起来，因此在教学中需要在学生头脑中建
构情景帮助学生理解函数是从集 合
A
到集合
B
的对应关系，它是一个整体。
四、教学策略分析

问题式教学法（问题情境、启发引导、合作交流、归纳抽象）
本节课从集合与对应的角度揭示函数的本质。根据学生的心理特征和认知
规律，我结合 以问题为主线，以学生为主体，以教师为主导的教学理念，采用
一系列的设问、引导、启发、发现，让学 生归纳概括出函数概念的本质，并灵
活应用多媒体和黑板来呈现、展示、交流，并以此来突破本节课的难 点：符号
y?f(x)
的意义以及值域与集合
B
的关系。

五、教学过程分析
（1）引入问题
我们在初中已经学习了函数，就函数这个内容，你还有哪些印象呢？
问题1：
根据初 中学习的函数的概念，你能举出几个函数的具体例子吗？
（请2名同学说出他们举的例子）
在学生回答基础上追问：你凭什么认为你举的是一个函数的例子？
设计意图：
通过具体实例，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”
欲望。了解学生在初中对函数概念的认知 程度，让学生感受函数概念的本质，即
对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确定的值与其对应。以此问题来刺激学生
大脑，活跃课堂，并培养学生的逻辑思维能力。
教师举例（课本15页）

（2）创设情境，形成概念


实例分析1、
一枚炮弹发射后，经过
??s
落到地面击中目 标，炮弹的射高
为
???m
，且炮弹距地面的高度
h(单位：m)
随 时间
t(单位：s)
变化的规律是
h????t??t
?
，那么炮弹 距离地面的高度
h
是时间
t
的函数吗？为什么？
学生：对 于任一个给定的时间
t
，都有唯一确定的高度
h
跟它相对应，因此
h
是
t
的函数。
教师：好，那我给你一个具体的时间，你怎么得到与之相对应的高度？
学生：通过
h????t??t
?
。

教师：那你能说出
t??s,??s,???s
时对应的高度
h
吗？
学生：
t??s时h????m,t???s时h????m
，由于炮弹在< br>??s
时已经落到地面
爆炸了，因此在
t????s
时没有高度跟它对 应了。
教师：那你还能说任给一个时间
t
，都有唯一确定的高度
h
与之对应吗？
学生：对于
?s~??s
之间的每一个时间
t
，通过
h????t??t
?
，都有唯一确定
的高度
h
跟它相对应。

教师：
?s~??s
是我们生活中的语言，其实我们可以用集 合表示这个范围，
你能说出这个集合吗？
学生：
A?
?
t|??t???
?

教师：那么高度
h
也应该有一个范围，你能用集合表示吗？
学生：
B?
?
h|??h????
?

教师：那我们可以用集合的语言重新表述这个实例中的对应关系，谁来说一
说。
在 学生描述的基础上教师规范解答：对于集合
A
中的每一个时间，集合
B
中都有它的
???
倍减去它平方的
?
倍与它对应。
教师 ：那么用集合的语言表述的这个实例中对应关系和你刚才判断炮弹距离
地面的高度
h
是 时间
t
的函数所用的表述方式有什么不同吗？那么它们的对应关
系变了吗？

设计意图：
本例题具有承上启下的作用：既是对初中已学的函数概念的进
一步深入，又 是为下一步用集合的语言刻画函数概念的本质做好伏笔。此外，本
例题符合学生的认知规律，化抽象为直 观，学生容易理解。

实例分析2、
近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层
空洞问题。下图显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979~2001年的变化情况。 那
么臭氧层空洞面积
s
是时间
t
的函数吗？为什么？

学生：面积
s
是时间
t
的函数，因 为对于每一个确定的
t
值，都有唯一确定的
一个面积
s
跟它对应。
教师：好，那我给你一个具体的时间
t
，你怎么得到与之相对应的面积？
学生：根据图像。
教师：那你能说出
????
对应的面积吗？
学生：20。
教师：前面实例中的对应关系是用解析式表示的，那这个实例中的对应关系
也得用一个解析式表示吗？
学生：不用。
教师：那我们如何记录这个对应关系呢？
由学生思考，教师启发得出用图像记录这个对应关系。
教师：好，那是不是对任何一个时间，通过图像，都有面积跟它对应呢？
学生：不是，对于< br>????~????
之间的每一个时间，都有唯一的面积跟它相
对应。
教师：那好，咱们用集合来表示这个范围。
学生：A?
?
t|?????t?????
?
。

教师：同样的，那面积
s
也有一个范围，怎么用集合表示？
学生：
B?
?
s|??s???
?

教师：你能用集合的语言重新表述一下这个对应关系吗？
学生讨论、交流。
教师：那用集合的语言表述的这个实例的对应关系和你刚才判断臭氧层空洞
面积
s
是时 间
t
的函数所用的表述方式有何不同呢？那么时间
t
到面积
s
的对应
关系变化了吗？
学生思考，交流意见。
教师：那么集合
B
可以是
B?
?
s|??s???
?
吗？
学生：可以。
教师：那集合
B
可以是
?
s|??s???
?
吗？为什么？

设计意图：
让学生参与课堂,体验图像是一种记录两个变量之间的对应关系< /p>

的语言，进一步提高学生用数学语言表达问题的能力。

实例 分析3、
国际上常用恩格尔系数（
恩格尔系数?
食物支出金额
）反
总 支出金额
映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表给出“八
五” 计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况。那么恩格尔系数是时间的函数
吗？你能仿照前面的两个实例 来描述恩格尔系数和时间（年）的关系吗？
时间
（年）
恩格尔
系数
（％）

活动：
同桌两人为一组，交流讨 论（用时大约2分钟），从中选一名代表
来描述恩格尔系数和时间（年）的关系。
教师：那你能说出1999对应的恩格尔系数吗？
学生：
??.?
。
教师：那么这个对应关系得用一个解析式来表示吗？
学生：不用。
教师：那我们该如何记录这个对应关系呢？
经过学生思考、提出意见后统一认识：用表格记录这个对应关系。

设计意图：
本例题从生活中的经济问题出发，通过学生思考、探索，进一
步认识到对应关系也可以用表格来记录。

问题3
：分析这三个实例，它们有哪些共同属性呢？谁来说说。
设计意图：从特殊到一般，归纳得出三个案例的共同属性：对集合
A
的每一
个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的一个数
y
与它对应，即集合
A
到集合
B
有一
种对应。比较三个案例，体会用解析式、图像、表格刻画变 量之间的对应关系，
让学生感受从本质上本节课学习的函数概念和初中函数的概念是一致的，但初中是用两个变量间的依赖关系描述函数，而高中是用两个集合元素之间的对应关系
来描述函数概念，让 学生体验数学发现和创造的历程。这样做，不仅符合学生的
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

认知规律，而且符合“先过程后对象”的认知顺序。
教师：我们学习 过很多的数学概念，当我们认识到概念的本质属性以后，我
们并没有停止，这些数学概念往往都沉淀成一 个数学符号。就如某个锐角的正弦，
我们发现不管在那个直角三角形中，只要这个角的大小一定，那么这 个角的对边
比斜边都不变，我们把这个定值称为这个锐角的正弦，但是我们并没有因此停下
来， 我们用
sinA
来表示这个角的正弦。那我们只要看到
sinA
，就知道它表 示直
角三角形中这个锐角的对边比斜边。那么这三个实例的共同属性是不是也可以用
一个符号来 表示？
f:A?B

老师总结板书：

x?y?f(x)
设计意图：
数学中的概念通常是用符号来表示的。学生总结三 个实例的共
同属性，能够认识到函数的本质，这时及时地引进数学符号，不仅可以引导学生
把符 号和它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号
所代表的本质特征，从而可以 提高学生的抽象能力、概括能力。

建立函数概念：

设
A,B
是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A中的
任意一个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的数
f( x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合
A
到集合
B< br>的一个函数，记作
y?f(x),x?A.


其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x< br>的值相对应
的
y
值叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)|x ?A
?
叫做函数的值域。

（3）质疑解惑，剖析概念

问题5：
那么我们这节课学习的函数的概念中，有哪些关键词呢？
再次回到三个实例中，分别要求学生说出实例中的具体函数值。

设计意图：
由 学生指出概念中的关键词，说出三个案例的具体函数值，从
抽象到具体，从一般到特殊，挖掘背后的思维 过程，暴露学生对函数概念的本质
的理解情况。

思考辨析：下列哪些
y
是
x
的函数，为什么？
(?)y?x?????x
；
(?)y??(x?R)

(?)
y
(?)
y
Ｏ
x
O
x




(5)某位学生的几次考试成绩情况如下：
序号数
x

成绩
y

1
90
2
93
3
90
4
缺考
5
98
6
92
设计意图：
对函数概念正例与反例的辨析，通过学生比较、分析、概括，
可以使概念的关键属性 变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体。

（4）讨论研究，示范巩固：
?
例?、已知函数f(x)?x???
x??
(?)求函数的定义域；


?
（?）求f(??),f()的值；

?
（?）当a??时，求f(a),f(a??)的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例。
如果只给出解析式
y?f (x)
，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指
能使这个式子有意义的实数的集合。
解：(?)使根式x??有意义的实数x的集合是
?
x|x???
?

?
有意义的实数x的集合是
?
x|x???
?
x??
所以，函数的定义域就是
使分式
?
x|x???
?
?
?
x|x???
?
?
?
x|x???,且x????
.

?
???;
????
?????????
f()????????.
?
??????
??
?
(?)因为a??,所以f(a),f(a??)有意义.
(?)f(??)??????< br>?
f(a)?a???;
a??





??
f(a??)?a??????a???.
(a??)??a??

设计意图:
学生能求出简单函数的定义域，培养学生的数学应用意识，再次
加深 对函数概念的理解。

（5）总结反思，提高认识

课堂小结：< br>如果你的同学不明白函数的概念，通过本节课的学习，你觉得
你怎么解释他就能很快明白？

设计意图：
巩固函数概念。

（6）作业设计：

教材
P
19页练习第1,2题，
P
24页习题1.2第4题。

（7）板书设计：

1.2.1 函数的概念

实例分析1：

实例分析2：

实例分析3：
例1：