有关高中数学抽象函数问题专题

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抽象函数问题专题
抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅 仅给出函数的部分
性质，如函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)等，解题时依 据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。
通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调 性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象
思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性 、综合性和技巧性等特点。因此对
抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。
由于抽象 函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类
问题时不能透彻理解 题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对
于抽象函数的考查，主要以 选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。
一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数
1
【例1】⑴（04全国IV）设函数f (x)（x∈R）为奇函数，f (1)＝
2
，f (x＋2)＝f (x)＋f (2)，则f (5)＝
···· ·················································· ·················································· ································· （ ）
A．0 B．1
5
C．
2
D．5
⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f (x)满足
f (x＋y)＝f (x)f (y)”的是 ························ ·················································· ····················· （ C ）
A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数
⑶（2011广东文10）设f (x)，g (x)，h (x)是R上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g)(x)和(f
?g)(x)；对任意x∈R，(f g)(x)＝f (g (x))；(f ?g)(x)＝f (x)g (x)．则下列等式恒成立的是（ ）


A. ((f g) ?h) (x)＝((f ?h)(g ?h))(x)
C. ((f g) h) (x)＝((f h)(g h))(x)
B. ((f ?g) h) (x)＝((f h)?(g h))(x)
D. ((f ?g) ?h) (x)＝((f ? h)?(g ?h))(x)
【例2】⑴已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x＋2)的定义域是 ；
⑵已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x
2
)的定义域是 ；
⑶已知函数f (x＋2)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ；
⑷已知函数f (x
2
)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ；
4
⑸已知函数f (x)的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x)＋
f (x)
的值域是 .
【例3】已知f (x)是二次函数，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x
2
－4x，求f (x). < br>【总结】在解决抽象函数与函数的定义、函数值、解析式有关的问题，往往可以考虑换元法、
1文 档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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赋值法、待定系数法等。
二、抽象函数与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
【例4】⑴若f (x)是周期为T（T > 0）的奇函数，则F(x)＝f (2x－1)·f (2x + 1)是 ··········· （ ）


T
A. 周期为
2
的奇函数
T
C. 周期为
4
的奇函数
T
B. 周期为
2
的偶函数
T
D. 周期为
4
的偶函
⑵设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：
①若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)是单调递增；
②若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)是单调递增；
③若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)是单调递减；
④若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)是单调递减.
其中，正确的命题是 ···································· ·················································· ··············· （ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
⑶已知定义在R上的函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，f (3－x)＝f (3＋x)，则 ············ （ ）


A. f (x)一定是奇函数
C. f (x)的图象一定关于直线x＝－2对称
B. f (x)一定是偶函数
1
D. f (2x)的图象一定关于直线x＝－
2
对称
⑷已知y＝f (2x＋1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 ································ （ ）
A. x＝1 B. x＝2
1
C. x＝－
2

1
D. x＝
2

⑸（2006山东）定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，则f (6)＝ ·············· （ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
?
log
2
(1－x)， x≤0
⑹定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝
?
，则f (2009)的值为（ ）
?
f (x－1)－f (x－2)，x＞0
A. －1 B. －2 C. 1 D. 2
【例5】⑴（2011湖南）已知f (x)为奇函数，g (x)＝f (x)＋9，g (－2)＝3，则f (－2)＝ ；
1
⑵（2010重庆）已知函数f (x)满足：f (1)＝
4
，4 f (x) f (y)＝f (x＋y)＋f (x－y)（x，y∈R），则f (2010)
＝ ；
1
⑶（06安徽）函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x＋2)＝
f (x)
，若f (1)＝－5, 则f (f (5))＝ .
⑷设定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝ .
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1＋f (x)
⑸已知函数f (x)满足f (x＋1)＝，若f (0)＝2004，f (2011)＝ ，f (2012) ＝ .
1－f (x)
⑹设函数f (x)对任意实数x，y，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，若x＞0时f(x)＜0，且f (1)＝－2,则f (x)
在[－3，3]上的最大值和最小值分别是 .
【例6】已知函数f (x)的定义域为R，对任意实数m、n满足f (m＋n)＝f (m)＋f (n)－1.
11
且f (
2
)＝2，当x＞－
2
时，f (x)＞0
1
⑴求f (－
2
)的值；
⑵证明：f (x)在定义域R是增函数.
x1
【例7】定义在R上的函数f (x)满足f (0)＝0，f (x)＋f (1－x)＝1，f (
5
)＝
2
f (x)，且
1
当0≤x
1
＜x
2
≤1时，f (x
1
)≤f (x
2
)，则f (
2012
)＝ ··· ·················································· ··· （ ）

1
A.
2

1
B.
16

1
C.
32

1
D.
64

【总结】用抽象函数考查函数的性质是高考的重点难点，解决这类问题的思维是 根据函数各种
性质的定义结合已知条件进行逻辑推理，特别是周期性、对称性，是家常便饭，往往我们都 要注意
从中挖掘函数的周期，在解决这类问题还要注意结合函数（也可以构造三角函数）的草图加以快速
的解答，关于对称问题主要转化为点与直线，点与点的对称而解决. 一般的：
①若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＝－f (x)，则f (x)是T＝2a的周期函数；
若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＋f (x)＝b，则f (x)是T＝2a的周期函数；
1
②若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＝±
f (x)
，则f (x)是T＝2a的周期函数；
若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)·f (x)＝±b，则f (x)是T＝2a的周期函数；
③若定义域为I的函数f (x)满足f (a＋x)＝f (a－x)，f (b＋x)＝f (b－x)（a≠b），则f (x)是周期
T＝2(a－b)的周期函数.
④若定义域为I的函数f (x)满足f (a＋x)＝f (a－x)，f (b＋x)＋f (b－x)＝0（a≠b），则f (x)是周期
T＝4(a－b)的周期函数.
⑤若定义域为I的函数f (x)满足f (a＋x)＋f (a－x)＝0，f (b＋x)＋f (b－x)＝0（a≠b），则f (x)是周
期T＝2(a－b)的周期函数.
1
⑥若定义域为I的函数f (x)满足f (x＋a)＝，则f (x)是T＝3a的周期函数.
1－f (x)
【特别提醒】
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f (x
1
)－f (x
2
)
①若函数f (x)在区间D上满足，对于 任意x
1
≠x
2
，都有＞0（或＜0），则函数f (x)在
x
1
－x
2
区间D上是增（减）函数；
②若f (x＋a)是偶函数，则f (－x＋a)＝f (x＋a)，函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，经常会误
认为f (－x－a)＝f (x＋a)；
③若f (x＋a)是奇函数，则f (－x＋a)＝－f (x＋a)，函数f (x)的图象关于点(a，0)对称，经常会误
认为f (－x－a)＝－f (x＋a)；
④注意函数图象本身的对称性和两个函数图象的对称性的区别：
a＋b
1? f (a＋x)＝f (b－x) ? y＝f (x)的图象关于直线x＝
2
轴对称；
b－a
而函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x) 的图象关于直线x＝
2
轴对称；
a＋b
c
2? f (a＋x) + f (b－x)＝c ? y＝f (x)的图象关于点(
2
，
2
)中心对称；
b－a
c
而函数y＝f (a＋x)与y＝c－f (b－x) 的图象关于点(
2
，
2
)中心对称.
三、抽象函数与导数、不等式
【例8】⑴（2011辽宁理）函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f
?
(x)＞2，则
f (x)＞2x＋4的解集为 ····································· ·················································· ··············· （ ）
A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
⑵（04湖南）设f (x)、g (x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，
f ?(x)g (x)＋f (x)g? (x)＞0，且g (3)＝0.则不等式f (x)g(x)＜0的解集是 ······················· （ ）


A. (－3，0) ? (3，＋∞)
C. (－∞，－3) ? (3，＋∞)
B. (－3，0) ? (0，3)
D. (－∞，－3) ? (0，3)
⑶（09陕西－12）定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x
1
，x
2
∈(－∞，0]（x
1
≠x
2
），有(x
2
－ x
1
)( f (x
2
)－f (x
1
))＞0．则当n∈N*时，有 ························ ········································ （ ）


A. f (－n)＜f (n－1)＜f (n＋1)
C. f (n＋1)＜f (－n)＜f (n－1)
B. f (n－1)＜f (－n)＜f (n＋1)
D. f (n＋1)＜f (n－1)＜f (－n)
⑷设函数f (x)在R上的导函数为f ?(x)，且满足2 f (x)＋x f ?(x)＞x
2
，则下面不等式在R上恒成立的
是 ··············· ·················································· ·················································· ·················· （ ）
A. f (x)＞0 B. f (x)＜0 C. f (x)＞x D. f (x)＜x
⑸（07陕西）f (x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足x f ?(x)＋f (x)≤0．对任意正数a，
b，若a＜b，则必有 ······················ ·················································· ···························· （ ）
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A．af (b)≤bf (a) B．bf (a)≤af (b) C．a f (a)≤f (a) D．bf (b)≤f (a)
⑹已知函数f (x)，x∈R满足f (2)＝3，且f (x)在R上的导函数f ?(x)满足f ?(x)－1＜0，则不等式f (x
2
)
＜x
2
＋1的解集为 ；
⑺已知f (x)是定义域为[－1，1]上的偶函数，且在[0，1]上是增函数，若f (1－a)＜f (1－a
2
)，则实
数a的取值范围是 .
【例9】奇函数f (x)在定义域(－1，1)内递减，求满足f (1－m)＋f (1－m
2
)＜0的实数m的取值范围.
四、抽象函数与图象、零点
【例10】⑴（2011陕西理3）设函数f (x)（x∈R）满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数
y＝f (x)的图像可能是 ················ ·················································· ····································· （ ）
A B
C D
⑵（07安徽）定义在R上的函数f (x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将
方程f (x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为 ························ （ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
⑶已知实数集上的函数f (x)恒满足f (2＋x)＝f (2－x)，程f (x)＝0有5个实根，则这5个根之和
＝_____________
五、抽象函数与函数的性质的综合考查
【例11】⑴（2004福建）定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)＝f (x＋2)，当x∈[3，5]时，
f (x)＝2－|x－4|，则 ·················································· ··············································· （ ）

2?2?
??
A．f (sin
6
)＜f (cos
6
) B．f (sin1)＞f (cos1) C．f (cos
3
)＜f (sin
3
) D．f (cos2)＞f (sin2)
⑵已知函数y＝f (x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f (x＋6)＝f (x)＋f (3)成立，且
f (x
1
)－f (x
2
)
f (－5)＝－2，当x
1
，x
2
∈[ 0，3]且x
1
≠x
2
时，都有＞0，则给出下列命题：
x
1
－x
2
①f (2011)＝－2； ②函数y＝f (x)图象的一条对称轴为x＝－6；
③函数y＝f (x)在[－9，－6]上为减函数；
④方程f (x)＝0在[－9，9]上有4个根；
上述命题中的所有正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【例12】已知函数f (x)对一切x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，求证：
⑴ f (x)是奇函数；
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⑵若f (x)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)恒等于0.
【例13】（2002北京）已知f (x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f (ab)
＝af (b)＋bf (a).
⑴求f (0)、f (1)的值；
⑵判断函数f (x)的奇偶性，并加以证明.
【例14】定义在R上的函数y＝f (x)，f (0)≠0，当x＞0时，f (x)＞1，且对任意的a、b∈R，
有f (ab)＝f (a)＋f (b).
⑴证明：f (0)＝1；
⑵对任意x∈R，恒有f (x)＞0；
⑶证明：f (x)在R上是增函数；
⑷若f (x)·f (2x－x
2
)＞1，求x的取值范围.
【总结】
1、在解决有关函数基本概念等问题，往往采用换元法、赋值法、待定系数法；
2、涉及函数性质讨论时，也可构造的具体函数法——模型法

模型法是指通 过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体
函数模型的图象和性质来 指导我们解决抽象函数问题的方法。
应掌握下面常见的特殊模型：
特殊模型
正比例函数f (x)＝kx (k≠0)
幂函数f (x)＝x
n

指数函数 f (x)＝a
x
（a＞0且a≠1）
对数函数 f (x)＝log
a
x （a＞0且a
≠
1）
抽象函数
f (x＋y)＝f (x)＋f (y)
xf (x)
f (xy)＝f (x) f (y)（或f
(

y

)
＝
f (y)
）
f (x)
f (x＋y)＝f (x) f (y)（或f (x－y)＝
f (y)
）
x
f (xy)＝f (x)＋f (y) （或f
(

y

)
＝f (x)－f (y)）
f (x＋T)＝f (x)，g (x＋T)=g (x)
正、余弦函数 f (x)＝sin x
，
g (x)＝cos x
f (x±y)＝f (x) g (y)±g (x) f (y)
g (x±y)＝g (x) g (y)
－
＋f (x) f (y)
正切函数 f (x)＝tan x
f (x＋y)＝
f (x)＋f (y)

1－f (x) f (y)
由抽象函数问题的结构特征，联想 已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基
本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能 具有的性质 “抽象——具体——抽象”的“原型”联
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想思维 方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关
知识的重要性 。
3、根据函数各种性质的定义转化为已经学习的问题来解答；
4、根据提供的性质，大致画出函数的图象.
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