高中数学复习专题五 复合函数问题

专题五 复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A
?
B，
则y关于x函 数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题： 题型一、已知
f(x)
的定义域，求
f
?
g(x)
?< br>的定义域
思路：设函数
f(x)
的定义域为D，即
x?D
， 所以
f
的作用范围为D，又f
对
g(x)
作用，作用范围不变，所以
g(x)?D
，解得
x?E
，E为
f
?
g(x)< br>?
的定义域。
例1. 设函数
f(u)
的定义域为（0，1），则函 数
f(lnx)
的定义域为__________。
解：函数
f(u)的定义域为（0，1）即
u?(0，1)
，所以
f
的作用范围为（0，< br>1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以
0?lnx?1

解得
x?(1，e)
，故函数
f(lnx)
的定义域为（1，e）
1
，则函数
f
?
f(x)
?
的定义域为_____ _________。
x?1
1
解：先求f的作用范围，由
f(x)?，知
x??1

x?1
例2. 若函数
f(x)?
即f 的作用范围为
?
x?R|x??1
?
，又f对f(x)作用
?x??1
所以
f(x)?R且f(x)??1
，即
f
?
f(x)
?
中x应满足
?

?
f(x)??1
?< br>x??1
?
即
?
1
，解得
x??1且x??2

??1
?
?
x?1
故函数
f
?
f(x )
?
的定义域为
?
x?R|x??1且x??2
?

题型二、已知
f
?
g(x)
?
的定义域，求
f(x)的定义域
思路：设
f
?
g(x)
?
的定义域为D，即
x?D
，由此得
g(x)?E
，所以f的作用
范围为E，又f对x作 用，作用范围不变，所以
x?E，E
为
f(x)
的定义域。
例3. 已知
f(3?2x)
的定义域为
x?
?
?1，2
?
，则函数
f(x)
的定义域为_____。
解：
f(3?2x)
的 定义域为
?
?1，2
?
，即
x?
?
?1，2
?
，由此得
3?2x?
?
?1，5
?

所以f的 作用范围为
?
?1，5
?
，又f对x作用，作用范围不变，所以
x?
?
?1，5
?

即函数
f(x)
的 定义域为
?
?1，5
?

x
2
例4. 已知
f(x?4)?lg
2
，则函数
f(x)
的定义域为__________ _。
x?8
2
x
2
x
2
?0
解：先求 f的作用范围，由
f(x?4)?lg
2
，知
2
x?8
x? 8
2
解得
x
2
?4?4
，f的作用范围为
(4，? ?)
，又f对x作用，作用范围不变，
所以
x?(4，??)
，即
f (x)
的定义域为
(4，??)

题型三、已知
f
?
g(x)
?
的定义域，求
f
?
h(x)
?
的定义 域
思路：设
f
?
g(x)
?
的定义域为D，即
x ?D
，由此得
g(x)?E
，
f
的作用范
围为E，又f对< br>h(x)
作用，作用范围不变，所以
h(x)?E
，解得
x?F
，F为
f
?
h(x)
?
的定义域。
例5. 若函数f(2
x
)
的定义域为
?
?1，1
?
，则f(log
2
x)
的定义域为
____________。
?
1
?
解：
f(2
x
)
的定义域为
?
?1，1
?
，即
x?
?
?1，1
?
，由此得2
x
?
?
，2
?

?
2
?< br>?
1
?
f
的作用范围为
?
，2
?

?
2
?
?
1
?
又f对
log
2< br>x
作用，所以
log
2
x?
?
，2
?
，解得
x?
?
2
?
?
2，4

?
即
f(log
2
x)
的定义域为
?
2，4
?
【评注】函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作
用，则谁的范 围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明 < /p>

已知函数
y?f(g(x))
.若
u?g(x)
在区间
(a,b
）上是减函数，其值域为(c，
d)，又函数
y?f(u)
在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数
y?f(g(x))
在
区间
(a,b
）上是增函数.
证明：在区间
(a,b
）内任取两个数
x
1
,x
2
，使
a?x
1
?x
2
?b

因为
u?g(x)
在区间
(a,b
）上是减函数， 所以
g(x
1
)?g(x
2
)
,记
u
1< br>?g(x
1
)
,
u
2
?g(x
2
)
即
u
1
?u
2,
且u
1
,u
2
?(c,d)

因为函数
y?f(u)
在区间(c,d)上是减函数 ，所以
f(u
1
)?f(u
2
)
,即
f(g(x< br>1
))?f(g(x
2
))
，
故函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b
）上是增函数.
（2）复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结
成一个图表：
y?f(u)

u?g(x)

y?f(g(x))

增 ↗
增 ↗
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
减 ↘
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）复合函数
y?f(g(x))
的单调性判断步骤：
ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：
y?f(u)
与
u?g(x)
。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性 相同（即都是增函数，或都是减函
数），则复合后的函数
y?f(g(x))
为增函数 ； 若两个函数在对应的区间上的单
调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函 数
y?f(g(x))
为减函数。
题型一讨论复合函数的单调性，求单调区间
例1、 求函数
y?log
1
(x
2
?2x?3)
的单调区间，并用单调性定义给予证明
2

解： 由
x
2?2x?3?0?x?3或x??1
∴定义域为
?
??,?1
?
?
?
3,??
?

单调减区间是
(3,??)
。用单调性定义证明下面：
设
x1
,x
2
?(3,??)且x
1
?x
2
则
y
1
?log
1
(x
1
?2x
1
?3)

y
2
?log
1
(x
2
? 2x
2
?3)

2
2
2
2
(x
1
?2x
1
?3)?
(x
2
?2x
2
?3)
=
(x
1
?x
2
)(x
2
?x
1
?2)

∵
x
2
?x
1
?3
∴
x
1
?x
2
?0

x
2
?x
1
?2?0

∴
(x
1
?2x
1
?3)
<
(x
2
2
?2x
2
?3)
又底数
0?
∴
y
1
?y
2

∴
y
在
(3,??)
上是减函数
2
2
2
1
?1

2
同理可证：
y
在
(??,?1)
上是增函数
例 2、讨论函数
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
的 单调性.
解：由
3x
2
?2x?1?0
得函数的定义域为
1
{x|x?1或x??}.

3
则当
a?1
时， 若
x?1
，∵
u?3x
2
?2x?1
为增函数，∴
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
为增函数.
1
若
x??
，∵
u?3x
2
?2x?1
为减函数.
3
∴
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)< br>为减函数。
1
当
0?a?1
时，若
x?1
，则f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
为减函数，若
x??
，则
3
f(x)?log
a
(3x
2
?2 x?1)
为增函数.
题型二、已知复合函数的单调性，求参数的取值范围
求参数的 取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，
必须将已知的所有条件加以转化。
例3、.已知y=
log
a
(2-
a
x
)在［0， 1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2-
a
x
>0是减函数
由y=
log
a
(2-
a
x
)在［0，1］上x 的减函数，知y=
log
a
t是增函数，
∴a＞1
由x
?
［0，1］时，2-
a
x
?
2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2
当0a
x
>0是增函数
由y=
log
a
(2-
a
x
)在［0，1］上x 的减函数，知y=
log
a
t是减函数，
∴0由x
?
［0，1］时，2-
a
x
?
2-1＞0, ∴0综上所述，0例4、已知函数
f(x?2)? ax
2
?(a?3)x?a?2
（
a
为负整数）的图象经过点
(m?2,0),m?R
，设
g(x)?f[f(x)],F(x)?pg(x)?f(x)
.问是否存在实数
p(p?0)
使
得
F(x)
在区间
(??,f(2)]
上是减函数，且在区间
(f(2),0)
上是减函数？并证明你 的
结论。
解：由已知
f(m?2)?0
，得
am
2
?(a?3)m?a?2?0
，
其中
m?R,a?0.
∴
??0
即
3a
2
?2a?9?0
，
解得
1?271?27
?a?.

33
∵
a
为负整数，∴
a??1.

∴
f (x?2)??x
?
?4x?3??(x?2)
2
?1
，
即
f(x)??x
2
?1.

g(x)?f[f(x)]? ?(x
2
?1)
2
?1??x
4
?2x
2
，
∴
F(x)?pg(x)?f(x)??px
4
?(2p?1)x
2
?1.

假设存在实数
p(p?0)
，使得
F(x)< br>满足条件，设
x
1
?x
2
，
2
)[?p(x
2
?x
2
)?2p?1].
∴< br>F(x
1
)?F(x
2
)?(x
1
2
?x< br>212
∵
f(2)??3
，当
x
1
,x
2< br>?(??,?3)
时，
F(x)
为减函数，
2
?0,?p(x
2
?x
2
)?2p?1?0.
∴
F(x
1
)?F(x
2
)?0
，∴
x
1
2
?x
212
2
?18
, ∵
x
1
??3,x
2
??3
,∴
x
1
2
?x
2
2
)?2p?1??16p?1
, ∴
?p(x
1
2
?x
2
∴
?16p?1?0.
①
当
x
1< br>,x
2
?(?3,0)
时,
F(x)
增函数,∴
F(x
1
)?F(x
2
)?0.

2< br>?0
,∴
?p(x
2
?x
2
)?2p?1??16p ?1
, ∵
x
1
2
?x
212
∴
?16p ?1?0
.
由①、②可知
p??
②
1
1
，故存在
p??.

16
16
四、 复合函数的奇偶性
解决这类问题，要透彻理解奇偶性的定义的本质，注意复合函数中的自变量
是x.

例 5、如果函数
f(x)
在
?
0,2
?< br>上是增函数，且函数
f(x?2)
是偶函数，试比
57
较
f( 1)
、
f()
、
f()
的大小。
22
分析：函数
f(x?2)
是偶函数，与
f(x)
是偶函数完全不同，一般地，
f (x)
是
偶函数即对于定义域内任意自变量
x
满足
f(?x)?f( x)
，也有
f(x?a)?f(a?x)
；
f(x?a)
是偶函数即
f(x?a)?f(?x?a)
，因而知
f(x)
的图象关于直线
x ?a
对
称。
解：∵ 函数
f(x?2)
是偶函数，∴
f (x?2)?f(?x?2)
，即
f(x)
的图象关
711533
于 直线
x?2
对称，有
f()
=
f(4?)?f()
，
f()
=
f(4?)?f()
，又函数
f(x)
2222
22
1375
在
?
0,2
?
上是增函数，∴
f( )
﹤
f(1)
﹤
f()
即
f()
﹤
f(1 )
﹤
f()
。
2222
五、复合函数的导数
求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关 系，说明函数关系y=f(μ)，
μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导
(y'
?
)
，中间变量对自变量求导
(
?
'
x
)
；
最后求
y'
?
?
?
'
x
，并将中间变 量代回为自变量的函数整个过程可简记为分解——
求导——回代熟练以后，可以省略中间过程若遇多重复 合，可以相应地多次用
中间变量
例6、 求下列函数的导数：
(1)
y?(1?2x
2
)
8
, （2）y?cos
2
(ax?b),
（3）
y?ln
解：(1)令u?1?2x
2
，
y?u
8
,
82727
? ???
?y
?
?yu?(u)(1?2x)?8u?4x?32x(1?2x).
xux
x?1
(x?1)

x?1
（2）令
y?u
2
,u?cosv,v?ax?b,

2
? ?????
y
?
x
?y
u
?u
v
?vx
?(u)?(cosv)?(ax?b)?2u?(?sinv)?a

v?c ovs??asin2v??a?si
?
n2(ax?b)
?
.

??2asin

（3）
y?ln

?y
?
?
x?11
?
?
ln(x?1)?ln(x?1)
?,

x?12
111
?
11
?
lnx(?1) ?lnx(?1)
?
?(?)?
2
.

22x?1x?1< br>x?1
【评注】复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法
则 ，由外向里一层层求导，注意不要漏层就得出结果，熟练以后，可以摆脱引入
中间变量的字母，只要心中 记住就行，这样可以使书写简单
小结：复合函数问题综合了函数的基本概念、基本理论，平时学习中注 意
对这些知识的理解和积累。
习题五
1函数y=
1
的导数是
2
(3x?1)
A
66
66
B C－ D－
(3x?1)
2
(3x?1)
2
(3x?1)
3(3x?1)
3
1
2已知y=sin2x+sinx,那么y′是
2
A仅有最小值的奇函数 B既有最大值，又有最小值的偶函数
C仅有最大值的偶函数 D非奇非偶函数
?
3函数y=sin
3
(3x+)的导数为
4
????
A3sin
2
(3x+)cos(3x+) B9sin
2
(3x+)cos(3x+)
4444
?
??
C9sin
2
(3x+) D－9sin
2
(3x+)cos(3x+)
444
2?x
?x
??
2
?
4、设
f
?
x
?
?lg
，则
f
??
?f
??
的定义域为（ ）
2?x
?
2
??
x
?
A.
?
?4,0
?
?
?
0,4
?
B.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?

C.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?
D.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?
< br>5．函数y＝
log
1
（x
2
－3x＋2）的单调递减区间是 （ ）
2
A．（－∞，1）
3
C．（－∞，）
2






B．（2，＋∞）
3
D．（，＋∞）
2
2
f(x)[0,1]
f(x)
的定义域。 6、 已知函数的定义域为，求函数
7、 已知函数
f(3?2x)
的定义域为
[?3,3]
，求
f(x)
的定义域。

8、 已知函数< br>y?f(x?2)
的定义域为
(?1,0)
，求
f(|2x?1|)< br>的定义域。
9找出下列函数的单调区间.
（1）
y?a
?x
2
?3x?2
（2）
y?2
(a?1)
；
?x
2
?2x?3
.

10、讨论
y?log
a
(ax
?1),(a?0,且a?0)
的单调性。
11．求函数y＝
log
1
（x
2
－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
3
1 2、已知函数
f(x)
的定义域为
x?(?,)
，求
g(x)?f( ax)?f()(a?0)
的定
义域。

13
22
x
a