高中数学学哪些内容-高中数学老师的第一课自我介绍
浅谈高中数学函数的单调性
函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,
但只
是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理
论的高度,用准确的数学
语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直
观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概
念的
形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到
的代数论证内容,学生在
代数论证推理方面的能力是比较弱的,许
多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性
,
所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
高中数学函数部分是高中数学的重要内容,它贯
穿整个高中数学
的始终。其中函数的性质尤其重要,是历年高考的热点和重点内容。
本文就教材
中函数的单调性进行解读,希望对同学们的学习和理解
能够有所帮助。
定义:在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上,如果对于任意
x1,x2两数,当x1
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间a上,如
果对于任意x1,x2两数,当x1 解读1
(1)函数的单调性离不开
单调区间。离开单调区间单调性无从谈起。
(2)定义中是任意的,不能取两个具体的值比较得出结论。
(3)f(x1)
(4)单调性反映在函数图像上就是上升还是下降。
例1函数f(x)=x+1x
在区间(-∞,0)及(0,+∞)上均单调
递减。
但是不能说f(x)在定义域上递减。也不能说因为-1<2,且f(-1)
解读2函数单调性的作用,也就是利用函数的单调性定义我们可以
做些什么?以增函数为例:在函数y=
f(x)的定义域内的一个区间a
上,如果对于任意x1,x2两数,当x1
可以得出如下结论:(其中
x1,x2是区间a上任意的两个值)
(1)由x1 (2)由
x1 (3)由函数y=f(x)在区间a上是单调
递增的,f(x1) 它们的作用是
(1)可以用来判断和证明函数的单调性
(2)可以用来比较函数值的大小
(3)可以用来解函数不等式
例2(1)比较3.12,3.13的大小
(2)函
数f(x)是定义在(-1,1)的增函数,且f(-x)+f(x)=0,
求满足不等式
f(a-3)+f(9-a2)<0的a的取值范围
解(1)函数y=3.1x是r上的增函数,所以3.12<3.13
(2)由题设条件f(-x)+f(x)=0可得
不等式
f(a-3)+f(9-a2)<0可化为f(a-3)<-f(9-a2)
即 f(a-3)
所以由f(x)是定义在(-1,1)的增函数
解函数不等式的关键在于利用函数的单调性去掉函数符号f.同
时注意函数的定义域
解读3如何确定函数单调区间的分界点呢?
例3 函数f(x)=x+1x
在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上
单调递增。那么单调区间的分界点1是如何求出的呢?
解:设0 f(x1)-f(x2)=x1+1x-(x2+1x2)
=(x
1-x2)x1x2-1x1x2因为x1,x2是任意的,考虑x1,x2无限接
近的极限情况,看上
式的符号,上式为0时,不妨令x=x1=x2 x2=1
x=1或-1,这就是单调区间的分界点。
例如证明在f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)单调递增
设0<x1<x2<1,则x1-x2<0,x1x2-1<0
所以f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
从而f(x)在(0,1)上单调递减
同理可证f(x)在(1,+∞)上单调递增
解读4对函数单调性的深入理解
记⊿x=x1-x2,⊿y=f(x1)-f(x2)△y△
x时,函数f(x)单调递增
△y△x的绝对值得大小还反映函数增减的快慢,值越大,增减的速
度越快。这个比值还可以与以后将要学习的导数联系起来。
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