高中数学所有必修-2019年教师资格证高中数学答案
指数函数教案
一、指数的性质(一)
整数指数幂
n
1.整数指数幂概念:
a?a?
?
a
?
?
?
?a
(n?N)
a
0
?1
?
a?0
?
???
?
n个a
a
?n
?
1
a?0,n?N
?
?
n
?
a
2.整数指数幂的运算性质:(1)
a
m
?an
?a
m?n
?
m,n?Z
?
(2)
a
(3)
?
ab
?
?a?b
n
n
n
??
m
n
?a
mn
?
m,n?Z
?
?
n?Z
?
其中
a?a?a?a
mnm?n?a
m?n
a
n
?
a
?
?1
n
n?n
,
??
?
?
a?b
?
?a?b?
n
. b
?
b
?
n
3
.
a
的
n次方根的概念
即: 若
x
n
一般地,如果一个数的
n
次方等于
a
n?1,n?N
?
,那么这个数叫做
a
的
n
次方根,
?a
,则
x
叫做
a
的
n
次方根,
?
n?1,n?N
?
?
?
?
例如:27的3次方根
3
27?3
,
?27
的3次方根
3
?27??3
,
32的5次方根
5
32?2
,
?32
的5次方根
5
?32??2
说明:①若
n
是奇数,则
a
的
n
次方根记作
n
a
; 若
a?0
则
n
a?0
,若
a?o
则
n
a?0
;
②若
n
是偶数,且
a?0
则
a
的正的
n
次方根记作
n
a
,
a
的负的
n
次方根,记作:
?
n
a
;
(例如
:
8的平
方根
?8??22
16的4次方根
?
4
16??2
)
③若
n
是偶数,且
a?0
则
n
a
没意义,即负数没有偶次方根;
④
?0?0n?1,n?N
n
n
?
?
?
∴
n
0?0
;
⑤式子
a
叫根式,
n
叫根指数,
a
叫被开方数。
∴
4
.
a
的
n
次方根的性质
?
a
?
n
n
?a
.
一般地,若
n
是奇数,则
n
a
n
?a
;
若
n
是偶数,则
n
a
n
?a?
?
(二)分
数指数幂
1.分数指数幂:
5
?
a
?
?a
a?0
a?0
.
a?a?a
102
10
5
?
a?0
?
3
a?a?a
124
12
3
?
a?0
?<
br>
即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;
幂的运算性质(2)
a
??
3
k
n
?a
kn
对分数指数幂也适用,
4
4
2
2
5
?3
?4<
br>?
2
?
?
5
?
3
2
25
3
3
44
?a
,
?
a
?
?a?a
,
∴
a?a
3
例如:若
a?0
,则
?
a
?
?a
??
??
a?a
.
5
4
5
即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是
a?
(2)正数的负分数指数幂
的意义是
a
m
?
n
m
n
n
a
m<
br>?
a?0,m,n?N
?
,n?1
?
;
1
a
m
n
??
1
n
a
m
?
a?0,
m,n?N,n?1
?
.
?
2
.
分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即
?
1
?
a
r
a
s
?a
r?
s
?
a?0,r,s?Q
?
?
3
??
ab
?
r
?
?
Q
?
2
?
?<
br>a
r
?
?a
rs
?
a?0,r,s
s
?a
r
b
r
?
a?0b,?0r,?Q
?
说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。
二、指数函数
1.指数函数定义:
一般地,函数
y?a
(
a?0
且
a?1
)叫做指数函数,其中
x
是自变量,函数定义域是<
br>R
.
2.指数函数
y?a
在底数
a?1
及
0?a?1
这两种情况下的图象和性质:
x
x
a?1
0?a?1
图
象
性
质
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,??)
(3)过点
(0,1)
,即
x?0
时
y?1
(4)在
R
上是增函数 (4)在
R
上是减函数
三、对数的性质
1.对数定义:一般地,如果
a
(
a?0且a?1
)的
b
次幂等于N, 就是
a
b
?N
,那么数
b
叫做a为底 N的对数,记作
log
a
N?b
,a叫做对数的底数,N叫做真数。
b
即
a?N
,
log
a
N?b
指数式
a
b
?N
对数式
log
a
N?b
a
底数
对数的底数
0
N
幂
真数
b
指数
对数
说明:1.
?
在指数式中幂N >
0,∴在对数式中,真数N > 0.(负数与零没有对数)
2.
?
对任意
a?0
且
a?1
, 都有
a?1
∴
l
og
a
1?0
,同样:
log
a
a?1
.
b
3.如果把
a?N
中的
b
写成
log
a
N
, 则有
a
log
a
N
?N
(对数恒等式).
2.对数式与指数式的互换
例如:
2
6
2
4
2
?16
log
10?10
0
log
10
100?2
4
1?
1
2
?2
1
10?0.01
log
10
0.01??2
4?2
log
2?
4
2
3.介绍两种特殊的对数:
①常用对数:以10作底
log
10
N
写成
lgN
log
e
N
写成
lne
.
②自然对数:以
e
作底为无理数,
e
= 2.71828…… ,
4.对数的运算性质:
如果 a > 0 , a ? 1,
M > 0 ,N > 0, 那么
(1)
log
a
(MN)?log<
br>a
M?log
a
N
; (2)
log
a
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
.
M
?log
a
M-log
a
N
;
N5.换底公式:
log
a
N?
log
m
N
(
a > 0 , a ? 1 ;
m?0,m?1
)
log
m
a<
br>x
证明:设
log
a
N?x
,则
a?N
,
x
两边取以
m
为底的对数得:
log
m
a?lo
g
m
N
,∴
xlog
m
a?log
m
N<
br>,
从而得:
x?
log
m
Nlog
m
N
,
∴
log
a
N?
.
log
m
alog
m
a
四、对数函数
1.对数函数的定义:函数
y?log
a
x
(a?0且a?1)<
br>叫做对数函数。2.对数函数的性质:
(1)定义域、值域:对数函数
y?loga
x
(a?0且a?1)
的定义域为
(0,??)
,值域为(??,??)
.
(2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象
只须由相应的指数
函数图象作关于
y?x
的对称图形,即可获得。
同样:也
分
a?1
与
0?a?1
两种情况归纳,以
y?log
2x
(图1)与
y?log
1
x
(图2)为
2
1
x
x
例。
y?()
y?2
y?x
2
y?x
1
1
1
y?log
2
x
1
y?log
1
x
2
(图2)
(图1)
(3)对数函数性质列表:
0?a?1
a?1
x?1
x?1
y?log
a
x
图
象
(1,0)
(1,0)
y?log
a
x
(1)定义域:
(0,??)
性
质
(2)值域:
R
(3)过点
(1,0)
,即当
x?1
时,
y?0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在
(0,??)
上是减函数
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