人教版高中数学函数的解析式教案

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§2.2.2 函 数（二）--函数的解析式
[教学目的]
使学生进一步巩固函数的概念，能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一 些关系，
求出它的解析式，并掌握解析式的一些形式的变换.
[重点难点]
重点、难点：函数解析式的求法.
[教学过程]
一、复习引入
⒈用映射刻划的函数的定义是什么？函数符号的含义是什么？函数的表示方法常用的有
哪些？
答：函数是两个非空数集A到B的特殊映射f：x→y=f(x),x
?
R，y
?
C
?
B；定义域A、
值域C和定义域到值域的对应法则f称为函数的三要 素；符号y=f(x)表示y是x的函数，不
是f与x的乘积；函数的表示方法常用的有解析法、列表法 和图象法，而中学阶段所研究的
函数主要是能用解析式表示的函数..
⒉引入：我们已经了解 了函数的概念和表示方法.在此基础上，今天我们来学习确定函数
解析式的几种常见方法.
二、学习、讲解新课
我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函 数的解析表达式，
简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法
例1 ⑴已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；
⑵已知f(
x
+1)=x+2
x
，求f(x+1)；
⑶已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x，求f(x)；
⑷设二次函数f(x)满 足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，
求f(x )的解析式.
解：⑴设f(x)=ax+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1) +b]-2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17,
比较系数得a=2且5a+b= 17, ∴a=2，b=7,∴f(x)=2x+7.
22
⑵设u=
x
+1
?
1,则
x
=u-1，x=(u-1),于是f(u)=(u-1)+2(u -1)
=u-1(u
?
1),即f(u)=u-1(u
?
1), ∴f(x+1)=(x+1)-1=x+2x(x+1
?
1),
2222
即f(x+1)=x+2x(x
?
0).
2
⑶∵已知2f(x)+f(1x)=3x ---①，将①中x换成1x得2f(1x)+f(x)=3x ---②，①
×2-②得3f(x)=6x-3x，∴f(x)=2x-1x.
⑷设f(x)的解析式是f(x)=ax+bx+c(a
?
0), ∵图象过点(0, 3),∴有f(0)=c=3,故c=3；
2
又∵f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且 f(x)=0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且
x
1
+x
2
=(x
1
+x
2
)-2x
1
x
2
=10 ，即(-b2a)=2且(ba)-(6a)=10，∴a=1，b=-4，∴f(x)=x-4x+3. 说明：求函数解析式常用的方法有：待定系数法(如⑴⑷)、换元法(如⑵)、构造方程法
2222 22

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(如⑶)等.
例2 高为h， 底面半径为r的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a的速度充水，试求
出水面高y与时间t的函数关系 式，并求其定义域.(提示：圆柱的体积=底面积×高)
解：由题意有at=
?
ry ，即y=(a
?
r)t,∵0
?
y
?
h,即0
?< br>(a
?
r)
?
h, ∴
222
0
?
t
?
?
rha，即定义域是[0，
?
rha].
22
说明：这是函数知识在实际问题中的应用，其定义域是由实际问题所决定的.
练习：⑴若f(1x)=1(1+x),则f(x)= ；
⑵已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x，则f(x)= ；
⑶已知g(x)=1-2x，f[g(x)]=(1-x)x(x
?
0),则f( 12)= ；
22
?
x
2
?1(x?0)
⑸已知 f(x)=
?
,若f(x)=10，则x= ；
?
?2x(x?0)
⑷将长为a的铁丝折成矩形，面积y关于边长x的函数关系是 ，其定义域是 ；
⑹已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)= p，f(3)=q，则f(36)= .
解：⑴令u=1x，则x=1u，f(u)=u(1+u)，∴f(x)=x(1+x)；
⑵ 设f(x)=ax+bx+c(a
?
0)，∵f(0)=1,∴c=1，又f(x+1)-f( x)=2x，
∴a(x+1)+b(x+1)+1-ax-ba-1=2x，即2ax+a+b=2x ，比较系数得2a=2且a+b=0，∴a=1，
b=-1，∴f(x)=x-x+1.
⑶由g(x)=1-2x=12，得x=14，∴f(12)=[1-(14)](14)=15. < br>⑷设矩形的长为x，则宽为(a-2x)2，∴y=x[(a-2x)2]=ax2-x,定义域是(0, a2).
⑸由已知-2x<0，∴f(x)=x+1=10,即x=
?
3,又x?
0,∴x=-3.
2
2
22
2
22
2⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3 )]=2(p+q).
三、小 结
⒈解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立联系的桥梁；
⒉解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关，如y=2x-1与u=2t-1是同一个函数； < br>⒊求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法，若已知函数的构造模式，可用待定
系数法；若 已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法；当已知表达式较简单时，
甚至可直接 用凑合法求解.
⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数，是一种比较常用的方法.
⒌根 据实际问题求函数的表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定
自变量后去寻找等量关 系，以求得表达式，要注意函数定义域应由实际问题确定.
四、布置作业
(一)复习：课本和课堂上的有关内容.
(二)书面：⒈填空：
⑴若f(x)=2x+1，则f[f(2)]= ；f(-x)= ；f[f(x)]= .
⑵若f(x+1)=x2-2x+5，则f(x)= .

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⑶若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)= .
⑷若3f(x)+2f(1x)=4x，则f(x)= .
⑸若f(x)=x2-mx+n，f(n)=m，f(1)=-1，则f(-5)= .
⒉设函数f(x)=x2-4x-4的定义域为[t-2,t-1]，对任意t∈R，求函数f(x)的 最小值
?
(t)
的解析式，并画出图象.(练习册P26B组第2题)
答案与提示：⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)] =2f(x)+1=4x+3；⑵f(x)=x
2
-4x+8；⑶g(x)=2x-1；
⑷f(x)=(12x
2
-8)5x(x
?
0)；
⑸将f (n)=m与f(1)=-1并成方程组，解得m=1,n=-1,可知f(x)=x
2
-x- 1,
⒉由f(x)=x
2
-4x-4=(x-2)
2
-8知，对称 轴为x=2，
若t-1<2即t<3时，
?
(t)=f
22
min
(x)=(t-1-2)-8=t-6t+1；
若t-2
?
2
?< br>t-1即3
?
t
?
4时，
?
(t)=f
mi n
(x)=-8；
若t-2>2即t>4时，
?
(t)=f
22< br>min
(x)=(t-2-2)-8=t-8t+8；
?
t
2
?6t?1(t?3)
∴
?
(x)?
?
?
?8(3?t? 4)
.
?
?
t
2
?8t?8(t?4)
(三)思考题：
(四)预习：课本P
53-55
2.2区间概念、函数定义域的求法.

f(-5)=29. ∴