高中数学必修1知识点树状图-云南 高中数学竞赛通知
函数应用问题中常见的四种错误
函数的应用问题主
要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数
学应用题的重要方法.在建模时常会
因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不
符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，
下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行
分析：
一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错
例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面
积为200平方米的三级污水处理池，
由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为
每米
400元，中间两条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平
方米80元（池壁
的厚度忽略不计，且池无盖）（1）、写出总造价
y
（元）
与污水处理池长
x
（米）的函数关系式，并指出其定义域.
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
错解：（1）污水处理池的长为
x
米，则宽为
200
米，总造价 <
br>x
y?400(2x?2?
=
800(x?
200200
)?
248??2?80?200
xx
324
)?16000(0?x?16)
x
3243
24
)?16000?800?2324?16000?44800
，（2）
y?80
0(x?
当且仅当
x?
，
xx
即
x?324?18
?
最低造价为44800元.
错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列
的式子也正确，但是定义域
0?x?16
是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：
12.5?x?16
.第（2）问中应用不
等式解最值时忽视等号成立的条件为
x?1
8
，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的
单调性进行分析求解.
32420
0
)?16000,?16,?x?12.5
，则定义域为
?
12.5,16
?
xx
（2）长和宽分别为16米，
12.5
米时，总造
价最低且为45000元.
正解：（1）
y?800(x?
二、由于对实际问题理解不全面而致错
例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交
通部门规定，在此路段
内的车速
v
（单位：
km小时
）的平方和车身
长（单位：
m
）的乘积与车距成正比，且最
小车距不得少于半个车身长.假定车身长为
l
（单位：
m
），且当车速为
50(km小时)
时，
车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量
Q
最大？
车速
??
车流量=
??
车距+车身长
??
2
错解：
d?kvl
，将
v?50,d?l
代入得
k?<
br>11
2
1
vl
，又将
d?l
代，
?d?250025002
入得
v?252
，由题意得
d?
1
2
vl(v?252)
，
2500
1000v1000v
1
?(v?252)
??
将
Q?
，
2
1v
vd?l
l
l(?)
l?2
1
?
v
l(1?)<
br>v2500
2500
v2500
第1页 共4页
?当且仅当v?50时,Q
max
?
25000
l
综上所知：
v?50(kmh)时,车流量Q取
取最大值.
错因
分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低
于
252?
kmh
?
，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.
?
1
l
(v?252)
?
?
2
正解：依题意，得
d?
?
，
1
?
v
2
l (v?252)
?
?
2500
?
1000v
?
3l
(v?252)
?
1
000v
?
2
则
Q?
，显然，当
v?252
时，<
br>Q
是
v
的增函数，
?
?
d?l
?
1
000v
(v?252)
2
?
v
l(1?)
?
25
00
?
1000v500002
?
，
?v?252
时，<
br>Q
max
?
3
3l
l
2
1
??当
v?252
时，，当且仅当
v?50
时，
1v
ll(?)
l?2
1
?
v
v2500
v2500
25000
Q
max
?
，综上所述，当
v?50(kmh)
时车流量Q取到最大值.
l
三、结果与事实不符而致错
例3、WAP手机上网每月
使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超
过500分钟的部分按0.15分钟计
费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分
钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）
按0.5元分钟计费。WAP手机上网不收通话
费和漫游费。
（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；
（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
错解：1）设上
网时间为
x
分钟，由已知条件所付费用
y
关于
x
的函数关系
式为
?
0,0?x?1
?
0.5x,1?x?60
?
y?
?
?
30,60?x?500
?
?
0.15x,x?500
（2）当
x?20?60?1200<
br>分钟，
x?500
，应付
y?0.15?1200?180
元， （3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600
分钟。
错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15分钟计费”中的“超过部
分”
理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，
第2页
共4页
是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（
3）小题，用了
90元，几乎是30元的3倍，而可上网时间才多了100分钟，与事实不符.
正解：（1）设上网时间为
x
分钟，由已知条件所付费用
y
关于
x
的函数关系式为
?
0,0?x?1
?
0.5x,1?x?60?
y?
?
?
30,60?x?500
?
?
30
?0.15(x?500),x?500
（2）当
x?20?60?1200
分钟，
x?500
，应付
y?30?0.15(1200?500)?135
元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。
四、时间间隔计算出错
例4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是
a<
br>，则这两年内第二年某月的
产值比第一年相应月产值的增长率是多少？
错解：设第一年
某月的产值为
b
，则第二年相应月的产值是
b(1?a)
11
，依题
意所求增
b(1?a)
11
?b
?(1?a)
11
?1. 长率是
b
错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式
y?N(1?p)x
，对于
x
往往指基数所在
时间后跨过时间的间隔数.
正解：
不妨设第一年2月份的产值为
b
，则3月份的产值为
b(1?a)
，4月份的
产值为
b(1?a)
2
，依次类推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12个月，
即一个时间间隔是
一个月，这里跨过了12个月，故第二年2月份产值是
b(1?a)
12
，又由增长率的概念知，这
b(1?a)
12
?b
?(1?a)
12
?1
. 两年内的第二年某月的产值比第一年相应月的增长率为：
b函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上两个误
区.具体的解
题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意，分
清条件结论，理顺数
量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数
学模型；求模：求解数学模型，得
到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际
问题的意义.
变式练习题
1、已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米小时的速度从A到达B地，
在B地停留1小
时后再以50千米小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离
x
表示为
时间
t
的函数，表达式为
解析：由A到B共用时150?60?2.5
，停留1小时距离不变，由B返回时距离逐渐
?
60t
(0?t?2.5)
?
减小，
?x?
?
150
(2.5
?
150?50(t?3.5) (3.5
2、某种产品每件80元可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，
如果
售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为
?
x?80
?
x?120
或
?
，设一次函数为
?y?30
?
y?20
1
?
k??
?
y?kx?
m
，则有
30?k80?m;20?120k?m,?
?
4
，因此一
次函数为
?
?
m?50
解析：设售出件数为
y
件，定价为<
br>x
元，则有
?
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1
y??x?
50
.另因
y?0
，则
x?200
，又
x?0
，因
此可得
0?x?200
，即有
4
1
y??x?50
，
x?
?
0,200
?
.
4
3、某人骑车沿直线旅行，先
前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(0
解析：观察排除法.因“前进了a千米后休息了一段时间”，
排除A；接着“又原路返回
b千米(0
16
升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，
t
分钟后剩余的<
br>水符合指数衰减曲线
y?16?e
?kt
（
k
是正常数），假
设经过
2
分钟时水桶甲和水桶乙的水量
相等，那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余2升
？
1
，
2
t
1
1
1
1
t1
?kt
2
设经过
t
分钟时水桶甲的水剩余2升，则
2
?16?e
，
()?
，
()?()
3
，
t?6
23
28
?k?2
?k
解析：由题意，当
t?2时，
y?8
，即
8?16?e
，故
e?
答：经过6分钟
时水桶甲的水剩余2升
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