2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，
得到一个新数列．这个数列的第2020项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

22
2．设
a
，
b
∈R，
ab
≠0，那么直线
ax< br>－
y
+
b=
0和曲线
bx
+
ay=ab的图形是

y
y
yy
Ox
Ox
O
xOx
A.
2

3．过抛物线
y=
8(
x
+2)的焦点
F
作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于
A
、
B
两点，弦
AB
的中垂线与
x
轴交于点
P
，则线段
PF
的长等于
16816
(A) (B) (C) 3 (D) 83
333
5
?
2
?
???
4．若
x
∈[－ ，－ ]，则
y=
tan(
x
+ )－tan(
x
+ )+cos(
x
+ )的最大值是
123366
12111112
(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3
5665
B.C.
D.
二．填空题(每小题9分，共54分)
32
7．不等式|
x
|－2
x
－4|
x
|+3<0的解 集是 ．
x
2
y
2
8 ．设
F
1
、
F
2
是椭圆+
=
1的两个焦点 ，
P
是椭圆上一点，且|
PF
1
|∶|
PF
2|
=
2∶1，则△
94
PF
1
F
2
的 面积等于 ．
2
9．已知
A=
{
x
|
x
－4
x
+3<0，
x
∈
R
} ，
B=
{
x
|2
1－
x
+
a
≤ 0，
x
2
－2(
a
+7)
x
+5≤0，
x
∈R}
若
A
?
B
，则实数
a
的取值范围是 ．
35
10．已知
a
，
b
，
c
，
d
均为正整数，且log
a
b=
，log
c
d=
，若
a
－
c=
9，则
b
－
d=
．
24
11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的

四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．
12． 设
M
n
=
{(十进制)
n
位纯小数0 .
－
a
1
a
2
…
a
n
|
a
i
只取0或1(
i=
1，2，…，
n
－1)，
a
n
=
1}，
S
n
T
n

是
M
n
中元素的个数，
S
n
是
M
n
中所有 元素的和，则lim
=
．
n
→∞
T
n



五、(本题满分20分)
15．一张纸上画有一个半径为
R
的圆< br>O
和圆内一个定点
A
，且
OA=a
，折叠纸片，使圆周
上某一点
A
?刚好与点
A
重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当< br>A
?取遍圆周上所有点
时，求所有折痕所在直线上点的集合．

加试题
(10月12日上午10:00?12:00)
一、（本题50分）
过圆外一点
P
作圆的两条切线和一条割线，切点为A
、
B
，所作割线交圆于
C
、
D
两点，
C
在
P
、
D
之间．在弦
CD
上取一点
Q
，使∠
DAQ=
∠
PBC
．
求证：∠
DBQ=
∠
PAC
．



二、（本题50分）
设三角形的三边长分别是正整数
l
，
m
，
n
．且
l
>
m
>
n
>0．
?
3
??
3
??
3
?
已知
?
4< br>?
=
?
4
?
=
?
4
?
，其 中{
x
}
=x
－[
x
]，而[
x
]表示不 超过
x
的最大整数．求这种三角
?
10
??
10
? ?
10
?
lmn
形周长的最小值．


三、（本题50分）
1
2
由
n
个点和这些点之间的
l
条连线段组成一个空间图形，其中
n=q
+
q
+1，
l
≥
q
(
q
+1)
2
+1，
2
q< br>≥2，
q
∈
N
．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存 在一点至少有
q
+2条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点
A
、
B
、
C
、
D
和四条连线段
AB
、
BC
、
CD
、
DA
组成的图形)．

2020年全国高中数学联赛解答
第一试
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平 方数，得到一个新数列．这个数列
的第2020项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
【答案】C
22
【解析】45
=
2025，46
=
2116．
在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至
202 5中共有新数列中的2025－45
=
1980项．还缺2020－1980
=
23项．由2025+23
=
2048．知
选
C
．


3．过抛物线
y=
8(
x
+2)的焦点
F
作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于
A
、
B
两点，弦
AB
的中垂线与
x
轴交于点
P
，则线段
PF
的长等 于
16816
(A) (B) (C) 3 (D) 83
333
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦
A B
所在直线方程为
y=
3
x
，弦的中点在
y==
2
p
4
k
3
4434416
上，即
AB
中点 为(，)，中垂线方程为
y=
－(
x
－)+，令
y=
0，得 点
P
的坐标为．
3333
33
16
∴
PF=
．选
A
．
3

5
?
2
?
???
4．若
x
∈[－ ，－] ，则
y=
tan(
x
+)－tan(
x
+)+cos(x
+)的最大值是
123366

12111112
(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3
5665
【答案】C
2
?
?
5
?
??? ?
【解析】令
x
+
=u
，则
x
+
=u+，当
x
∈[－，－]时，
u
∈[－，－]，
6321234 6
y=
－(cot
u
+tan
u
)+cos
u=< br>－
2
??
+cos
u
．在
u
∈[－，－]时 ，sin2
u
与cos
u
都单调递
sin2
u
46
11
?
增，从而
y
单调递增．于是
u=
－时，y
取得最大值3，故选
C
．

66



二．填空题(每小题9分，共54分)
32
7．不等式|
x|－2
x
－4|
x
|+3<0的解集是 ．
【答案】(－3，－
3
5－15－1
)∪(，3)．
222
【解析】即|
x
|－2|
x
|－4|
x
|+ 3<0，?(|
x
|－3)(|
x
|－
5－15+1
)(|
x
|+)<0．?|
x
|<
22

－
5+15－1
，或<|
x
|<3．
22
∴ 解为(－3，－
5－15－1
)∪(，3)．
22

9．已知A=
{
x
|
x
－4
x
+3<0，
x< br>∈
R
}，
B=
{
x
|2
1－
x< br>+
a
≤0，
x
2
－2(
a
+7)
x
+5≤0，
x
∈R}
若
A
?
B
，则实数
a
的取值范围是 ．

【答案】－4≤
a
≤－1．

【解析】
A=
(1，3)；
又，
a
≤－2
1－< br>x
2
1
x
+5
∈(－1，－)，当
x
∈(1 ，3)时，
a
≥ －7∈(5－7，－4)．
42
x

2
∴ －4≤
a
≤－1．

35
10．已知a
，
b
，
c
，
d
均为正整数，且log
a
b=
，log
c
d=
，若
a
－
c=< br>9，则
b
－
d=
．
24
【答案】93
325423452422
【解析】
a=b，
c=d
，设
a=x
，
b=x
；
c=y
，
d=y
，
x
－
y=
9．(
x
+
y
)(
x
－
y
)
=
9．
22235
∴
x
+
y=
9，
x
－
y=
1，
x=
5，
y=
4．
b
－
d=< br>5－2
=
125－32
=
93．

11．将八个半 径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面 及侧面都相切，则
E
此圆柱的高等于 ．
F
H
G
【答案】2+8
【解析】如图，
ABCD
是下层四个球的球心，
EFGH
是上层的四个球
心．每个球心与其相切的球的球心距离
=
2．
EFGH
在平面
ABCD
上的射影
是一个正 方形．是把正方形
ABCD
绕其中心旋转45?而得．设
E
的射影为
N
，则
4
4
D
N
A
M
B
CMN=
2－1．
EM=
3，故
EN
2
=
3－( 2－1)
2
=
22．∴
EN=
8．所求圆柱的高
=
2+8．

12． 设
M
n
=
{(十进制)
n
位纯小数0.
－
a
1
a
2
…
a
n
|
a
i
只取0或 1(
i=
1，2，…，
n
－1)，
a
n
=
1}，
4

S
n
T
n

是
M
n
中元素的个数，
S
n
是
M
n
中所有元素 的和，则
lim=
．
n
→∞
T
n
【答案】
1

18
n
－1
【解析】由于
a
1
，
a
2
，…，a
n
－1
中的每一个都可以取0与1两个数，
T
n
=< br>2．
n
－2
在每一位(从第一位到第
n
－1位)小数上，数 字0与1各出现2次．第
n
位则1出现
n
－1
2次．
n
－2
n
－2－
n
∴
S
n
=
2?0.11…1+2?10．
S
n
111
∴
lim=
?
=
．
n
→∞
T
n
2918


四、(本题满分20分)
1
14．设
A
、
B
、< br>C
分别是复数
Z
0
=a
i，
Z
1
=
+
b
i，
Z
2
=
1+
c
i(其中
a
，
b
，
c
都是实数)对应的
2
不共线的 三点．证明：曲线
4224

Z=Z
0
cos
t
+2
Z
1
cos
t
sin
t
+
Z
2
sin
t
(
t
∈R)
与△
ABC
中平行于
AC
的中位线只有一个公共点，并求出此点．

【解析】曲线方程为：
Z=a
icos
4
t
+( 1+2
b
i)cos
2
t
sin
2
t
+( 1+
c
i)sin
4
t=
(cos
2
t
s in
2
t
+sin
4
t
)+i(
a
cos
4
t
+2
b
cos
2
t
sin
2
t
+
c
s
4
in
t
)
2242222
∴
x=
cos
t
sin
t+sin
t=
sin
t
(cos
t
+sin
t
)
=
sin
t
．(0≤
x
≤1)
y=a
cos
4
t
+2
b
cos
2
t
s in
2
t
+
c
sin
4
t=a
(1－x
)
2
+2
b
(1－
x
)
x
+
cx
2

2
即
y=
(
a－2
b
+
c
)
x
+2(
b
－
a
)
x
+
a
(0≤
x
≤1)． ①
若
a
－2
b
+
c=
0，则
Z
0
、
Z
1
、
Z
2
三点共线，与已知矛盾， 故
a
－2
b
+
c
?0．于是此曲线为轴
与
x
轴垂直的抛物线．
AB
中点
M
：+(
a
+b
)i，
BC
中点
N
：+(
b
+
c< br>)i．
1131
与
AC
平行的中位线经过
M
(，(
a
+
b
))及
N
(，(
b
+
c< br>))两点，其方程为
4242
11
42
31
42