高中数学联赛基本知识集锦

高中数学联赛基本知识集锦

一、三角函数
常用公式
由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与
差的 三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能
不写。先从最基础 的开始（这些必须熟练掌握）：
半角公式
sin
?
2
??
1?cos
?

2
1?cos
?

2
1?cos
?
1?c os
?
sin
?
??

1?cos
?
si n
?
1?cos
?
cos
?
2
??
tan
?
2
??
积化和差
sin
?
cos
?< br>?
1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?

2
1< br>cos
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
??

2
1
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?

2
1
sin
?< br>sin
?
??
?
cos
?
?
?
?< br>?
?cos
?
?
?
?
?
?

2
和差化积
sin
?
?sin
?
?2sin?
?
?
22
?
?
??
?
?

sin
?
?sin
?
?2cossin
22
??
??
?
?

cos
?
?cos
?< br>?2coscos
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
??2sinsin
22
万能公式
cos
?
?
?

sin2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
1?tan
2
?
cos2
?
?

2
1?tan
?
tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
数学

三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin60
?
?
?
sin
?
sin60
??
?

cos3
?
?4cos
3
?
? 3cos
?
?4cos60
?
?
?
cos
?
cos60
?
?
?

二、某些特殊角的三角函数值
除了课本中的以外，还有一些
sin cos tan
????
????
15
?

6?2

4
6?2

4
5?1

4


6?2

4
6?2

4
2?3

75
?

2?3


18
?

72

?
5?1

4


三、三角函数求值
给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是 一个具体值。要
熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一 些
不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑
先 乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去
举个例子
2
?
4
?
6
?

?cos?cos
777
2
?
提示：乘以
2sin
，化简后再除下去。
7
求值：
cos
求值：
cos10??cos50??sin40?sin80 ?


来个复杂的
设n为正整数，求证
22
?
s in
i?1
n
i
?
2n?1

?
2n?12n
另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲

四、三角不等式证明
最常用的公式一般就是：x为锐角，则
sinx?x ?tanx
；还有就是正余弦的有界性。
例
求证：x为锐角，sinx+tanx<2x
数学

< br>设
x?y?z?
?
12
，且
x?y?z?
?
2
，求乘积
cosxsinycosz
的最大值和最小值。
注：这个题目比较难
数列
关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了 解竞赛中最基本的一些东西，不然
我可写不完了。?

1给递推式求通项公式
(1)常见形式即一般求解方法
注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否 则数学就变成无意义的机械劳
动了。
①
a
n?1
?pa
n
?q

若p=1，则显然是以a
1
为首项，q为公差的等差数列，
若p≠1，则两 边同时加上
q
q
，变为
a
n?1
??
p?1
p?1
?
q
?
p
?
a?
?
n
p ?1
?
?

??
显然是以
a
1
?
q
为首项，p为公比的等比数列
p?1
②
a
n?1
?pa
n
?f
?
n
?
，其中f(n)不是常数
若p=1 ，则显然a
n
=a
1
+
?
f
?
i
?
，n≥2
i?1
n?1
若p≠1，则两边同时除以p
n+1，变形为
a
n?1
a
n
f
?
n
???

n?1nn?1
ppp
n?1
a
n
a< br>1
n?1
f
?
i
?
f
?
i
?
?
n?1
?
?
?
i?1
，从而
a
n
?p
?
a
1
?
?
i
?
利用 叠加法易得
n
?
p
i?1
pp
i?1
p
? ?
注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方
法 ，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。
(2)不动点法
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：
a
n?1
?
a?a
n
?b
< br>c?a
n
?d
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法 就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复
杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了
令
x?
a?x?b
2< br>，即
cx?
?
d?a
?
x?b?0
，
c?x?d
数学

令此方程的两个根为x
1
，x
2
，
若x
1
=x
2
则有
11
??p
a
n?1
?x
1
a
n
?x
1
其中k可 以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住， p=
若x
1
≠x
2
则有
2c

a?d< br>a
n?1
?x
1
a?x
1
?q?
n

a
n?1
?x
2
a
n
?x
2
其中 k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=
a?cx
1

a?cx
2
(3)特征根法
特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。
①
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n

特征方程为x
2
=px+q，令其两根为x
1
，x
2 nn
则其通项公式为
a
n
?A?x
1
?B?x
2
，A、B用待定系数法求得。
②
a
n?3
?pa
n?2
?qa
n?1
?ra
n

特征方程为x
3
=px
2
+qx+r，令其三根为x
1
，x
2
，x
3

nnn
则其通项公式为
a
n
?A?x
1
?B?x
2
?C?x
3
，A、B、C用待定系数法求得。
注：通 过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对
于一般线性递归式的 特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也
不多见，我们仅需掌握这两种就够 了。
(4)数学归纳法
简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。 这样的题虽说有不少但
是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详 细说了。
但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。
(5)联系三角函数
三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子
a
n?1
?
2a
n

2
1?a
n
看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。
注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。
数学

例
数列
?
a
n
?
定义 如下：
a
1
?
2
2
，
a
n?1
? 2?4?a
n
，求
?
a
n
?
通项
注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。
(6)迭代法
先了解迭代的含义
f
0
?
x
?
?x，f
1
?
x
?
?f
?
x
?
，f
2?
x
?
?f
?
f
?
x
??
， f
3
?
x
?
?f
?
f
?
f
?
x
???
，??

?n
f右上角的数字叫做迭代指数，其中
f
再来了解复合的表示
?
x
?
是表示
f
n
?
x
?
的反函数
f?g
?
x
?
?f
?
g
?
x??
，
f?g?h
?
x
?
?f
?
g< br>?
h
?
x
???

如果设
F
?x
?
?g
?1
?f?g
?
x
?
，则< br>F
n
?
x
?
?g
?1
?
f
n
?
g
?
x
?
，就可以将求F(x)的迭代转变为
求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。
而在数列中我们可以将递推式看成
a
n?1
?F
?
a
n
?
，因此求通项和求 函数迭代就是一样的了。
我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x) 的n次迭代就很容易得到了。
从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。

练习
已知数列
?
a
n
?
满足a
1
?1，a
2
?2，a
2n?1
?
a
2n
?a2n?1
试求数列的
，a
2n?2
?a
2n?1
a2n
，
2
通项公式。
注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。

下面是我的一个原创题目
已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0，a
2
?1
，
a
n?1
?n?
?
a
n
?a
n?1
?
，求该数列的通项公式 。

2数列求和
求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯 应付高考也应该都掌握了，
这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。
阿贝尔（Abel）恒等式
有多种形式，最一般的是
?
ab
k< br>k?1
n
k
?
?
S
k
?
b
k
?b
k?1
?
?S
n
b
n

k ?1
k
n?1
其中
S
k
?
?
a
i ?1
k

注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。
数学

Abel恒等式就是给出了一个新的求和方法。很多时候能简化不少。

例：假设
a
1
?a
2
???a
n
?0
，且
?
a?1
，求证：
?
2
i
i? 1i?1
nn
a
i
i?i?1
?1

计数问题
1抽屉原则
我第一次接触抽屉原则，是在一本奥赛书的答案上，有一步骤是：由抽屉原则可得 ……，于
是我就问同学，什么是抽屉原则，同学告诉我，三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。后来才发现，抽屉原则不只是这么简单的，它有着广泛的应用以及许多种不
同的变形 ，下面简单介绍一下抽屉原则。
抽屉原则的常见形式
一，把n+k（k≥1）个物体以任意 方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两
个物体。
二，把mn+k（k≥1） 个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有
m+1个物体。
三，把m
1
+m
2
+…+m
n
+k（k≥1）个物体以任意方式全部 放入n个抽屉中，那么后在一个抽
屉里至少放入了m
1
+1个物体，或在第二个抽屉里 至少放入了m
2
+1个物体，……，或在第
n个抽屉里至少放入了m
n
+1个物体
四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表 示n
整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了
个抽屉中至少放入了[
m
个物 体；②当n不能整除m时，一定存在一
n
m
]+1个物体（[x]表示不超过x的最大 整数）
n
五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。
注： 背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。
理解它们的含义 最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让
人看出来，构造抽屉才是抽屉 原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至
少有”“总存在”之类的词，就暗示着我 们：要构造抽屉了。
例：
从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出5 1个数来，求证：其中一定有两个数，
它们中的一个是另一个的倍数.
用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.
2容斥原理 < br>容斥原理常常使用，其实说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，又加多了再减，
减多 了再加……，最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥
原理，去掉重复的 情况。
容斥原理基本形式：
数学

A
1
?A
2
??A
n
?
?
|A
i
|?
i?1
n
1?i?j?n
?
A?A
ij
?
1?i ?j?k?n
?
A?A
ij
?A
k
???
?
?1
?
n?1
A
1
?A
2
??A
n
其中|A|表示集合A中元素的个数。
例：
在不大于2004的正整数中，至少可被3,5,7之一整除？
由数字1，2，3，4，5组 成的n位数，要求n位数中这五个数字每个至少出现一次，求所有
这种n位数的个数。
3递推方法
许多竞赛题目正面计算十分困难，于是我们避开正面计算，先考虑n-1时的情况 ，在计算n
时的情况比n-1时的情况增添了多少，然后写出一个递推式，这样就可以利用数列的知识进
行解决，但一般要求根据递推式求通项的能力要比较强，是和擅长数列的同学使用。没什么
具体 解释，多多练习吧
例
设m为大于1的正整数，数列{a
n
}满足：a1
+a
2
+……+a
n
模m余0，0i
< m（i=1，2……n）。
试求满足上述条件的不同数列{a
n
}的个数。
4映射计数
个人认为映射计数绝对是计数方法中最经典的一种，常常能将复杂至极的问题简单 化，变成
人人都会做的普通题目。但是想熟练掌握往往是不容易的，要求有大量的习题积累，才能形成建立映射的能力。
明确概念：对于y=f(x)
单射：不同的x对应不同的y，即|x|≤|y|
满射：每个y至少有一个x映射，即|x|≥|y|
双射：即是单射又是满射，即|x|=|y|
倍数映射：|x|=m|y|
m?N,m?1

注：双射即通常说的一一映射，有的人将双射理解为m=2的倍数映 射或其他映射，这是不对
的。不要从感觉上去理解。双射应当是“单射”“满射”的综合。
?
数学

利用映射解题，一般是建立双射，将要证明的问题 转化为其他的问题，但是计算总数不变。
而我们不仅要会建立双射，也应会建立单射和满射，因为显然建 立单射和满射是证明不等关
系的极好方法，不可以忽略。利用倍数映射解决的题目，我目前还没遇到多少 ，但还是要时
刻记着有这样一种方法。
一，建立双射
例
集合{1，2，……，2004}有多少个元素和为奇数的子集？
将正整数n写成若干个1与 若干个2之和，和项的顺序不同认为是不同的写法，所有写法的
种数记为A(n)；将正整数n写成若干 个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的
写法，所有写法的种数记为B(n)，求证：A(n )=B(n+2)
注：此题即为很好的映射计数例子。因为即便不用映射我们可以把A(n)求出来， 再把B(n+2)
求出来，然后比较后会发现两者相等，但这显然是超大工作量，如果使用了映射计数， 我们
只需用一些技巧，在A(n)和B(n+2)中建立双射，此题即得到证明。
二，建立单射或满射
例
设n为正整数，我们称{1,2,…,2n}的一个排列{ x
1
，x
2
,…,x
2n
}具有性质P：如果存在1≤i< br>≤2n-1，使得|x
i
-x
i+1
|=n，求证：对任何n，具有性 质P的排列比不具有性质P的排列个数
多。
注：映射计数可能会有一定难度，如果觉得掌握不 了也不要灰心，只要多练，时间一长自然
就会了。
不等式与最值
1平均不等式
?
设
a
i
?R
(i=1,2,…,n)
调和平均 值：
H
n
?
n
1
?
i?1
a
i< br>n

几何平均值：
G
n
?
n

?
a
i?1
n
n
i

算术平均值：
A
n
?
数学
?
a
i?1
i
n

方幂 平均值：
G
n
?
?
a
i?1
n
2
i
n

H
n
?G
n
?A
n
?G
n

等号成立当且仅当
a
1
?a
2
???a
n

注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！
题外话：有很多同学十分“痛恨”
?< br>?
这两个符号，总是看不懂，其实这两个符号是
绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大 学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了。
例题：
a,b,c,d?R
?
，且a?b?c?d?1，
求证：
4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?6
分析：
为了凑出a+b+c+d，以便充分利用条件，将4a+1,4b+1,4c+ 1,4d+1视作整体，利用平均不等
式。

2柯西不等式及其变形
设
a
i
,b
i
?R
(i=1,2,…,n)，则
?
n
??
n
2
??
n
2
?
?
?
a
i
b
i
?
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?

?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
其中等号成立，当且仅当
2
a
i
为定值
b
i
注：这个式子在竞赛中极为常用，只需 简记为“积和方小于方和积”。等号成立条件比较特
殊，要牢记。此外应注意在这个式子里不要求各项均 是正数，因此应用范围较广。
常用变形一：
若a
i
?R，b
i< br>?R
?
(i=1,2,…,n)，则
?
n
?
??
a
i
?
n
a
i
2
?
i?1
?
?
n

?
i?1
b
i
?
b
i
i?1
2
注：要求b
i
为正数
常用变形二：
?
若
a
i
，b
i
?R(i=1,2,…,n)，则
数学

?
n
?
?
?
a
i
?
n
a
i
?
i ?1
?
?
n

?
i?1
b
i
?< br>a
i
b
i
i?1
2
注：要求a
i
， b
i
均为正数。当然，这两个式子虽常用，但是记不记并不太重要，只要将柯西
不等式 原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不
等式要做到活学活用 。
例：
，求3a?2b?5c?d
的最小值。并指出等号成立的条件。 若
5a?6b?7c?4d?1
分析：
由于a,b,c,d各项系数不同，而且既有 1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式。而且使
用柯西不等式不受-7c这项的影响。使用时，注意 写明等号成立条件，检验最小值能否取到。

柯西不等式推广——赫尔德不等式
?
若
a
i
，b
i
?R
(i=1,2,…,n)，p> 1，q>1且
2222
11
??1
则
pq
?
p< br>??
q
?
ab?ab
???
???
iiii
?

i?1
?
i?1
??
i?1
?
注：这 个式子成立的前提挺多，不难看出当p=q=2时，这个式子即为柯西不等式。

3排序不等式


4琴生不等式
首先来了解凸函数的定义 一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x
1
，x< br>2
都有
nn
1
p
n
1
q
?
x?x
2
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?

f
?
1
?
?
2
?
2
?
则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下 凸函数，例如y=x
2
，从图像上即
可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式 。如果对于某一函数上述不等式的等号总
是不能成立，则称此函数为严格凸函数。
注：凸函数 的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使
用。此外利用二阶求导也 可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。
凸函数具有的常用性质
性质一：
对于(a,b)内的凸函数f(x)，有
数学

?
n
?
?
x
i
f
?
i?1
?
n< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>f
?
x
?
i
i?1
n
n

注：此即常说的琴生不等式

性质二：加权的琴生不等式
对于(a,b) 内的凸函数，若
?
a
i?1
n
i
?1
，则
?
n
?
n
f
?
?
a
i
x
i
?
?
?
a
i
f
?
x
i
?

?
i?1
?
i?1
注：加权琴生不等式很重要，当< br>a
i
?
1
时，即为原始的琴生不等式。
n
注：另外 ，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便
是凹函数，以及凹函数 的琴生不等式。
例
n
设x
i
>0（i=1,2,…,n），?
x
i?1
i
?1
，求证：
?
i?1
n
x
i
1?x
i
?
?
i?1
n
x
i

n?1
注：不仅要用琴生不等式，注意知识综合利用。

5利用二次函数的性质
一般来说，许多题目是涉及x，y，z三个量的证明题，由于二次函数 的性质十分好用，因此
凑出一个关于其中一个字母的二次函数，进而利用二次函数的性质可以解决最值问 题。

例
设x,y,z≥0，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。
提示：
4
?
3z?1
?
z?z
2
?1? 4z?3z
2
将x=1-y-z代入，整理成关于y的二次函数，最值即为
4
?
3z?1
?
整理后不难得到z=0和z=1式分别取到最大值
即可。

????
2
，
1
和最小值0，然后只需举一例证明能够取 到
4
数学