高中数学联赛组合专题经典.doc

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课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其 地位远高于各省自行
组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国 数学会主办的
“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大 学的保送资
格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教 育网
重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞< br>赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李
秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！
课程招生简章：http:
选课中心地址：
http:?courseeduid=170037#_170037_

第二章 组合专题


一、重要的概念与定理
1、完全图：每两个顶点之间均有边相连的简单图称为完全图,有
个顶点的完全图
（阶完全图） 记为

2、顶点的度：图
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.
中与顶点
相关联的边数（环按2条边计算）称为顶点

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的度（或次数）,记为
.
分别表示图
与< /p>

点,度为偶数的顶点称为偶顶点.
3、树：没有圈的连通图称为树,用
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的顶点的最小度与最大度.度为奇数的顶点称为 奇顶
表示,其中度

为1的顶点称为树叶（或悬挂点）.
4、
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.
部图：若图
阶树常表示为

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的顶点集
可以分解为
个两两不相交的非空子集的并,即

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并且同一子集
任何两个顶点没有边相连 ,则称这样的图为
内
部图,记

作
5、完全
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. 2部图又叫做偶图,记为
.
部图：在一个

,
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部图
中

,若对任意
则称图
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均有边连接
和
为完全
,

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部图,记为
.
6、欧拉迹：包含图中所有边的迹称为欧拉迹.起点与终点重合的欧拉迹称为闭欧拉迹.
欧拉图：包含欧拉迹的图为欧拉图. 欧拉图必是连通图.
哈密顿链（圈）：经过图上各顶点一次 并且仅仅一次的链（圈）称为哈密顿链（圈）.包含哈密
顿圈的图称为哈密顿图.

7、平面图：若一个图
与
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同构的图
,使
可画在平面上,即可作一个

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的顶点与边在同一平面内,且任意两边仅在端点相交,则图
称为平面图.
一个平 面图的顶点和边把一个平面分成若干个互相隔开的区域,称为平面图的一个面,在所有边
的外面的面称为 外部面,其余的称为内部面.
8、竞赛图：有向完全简单图称为竞赛图.有个顶

点的竞赛图记作
9、有向路：在有向图
序列
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.
,其中
,一个由不同的弧组成的中

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的起点为
,终点为
,称这个序列为从

的有向路（简称路）,
长,
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到
为路的起
为这个路的

点,
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为路的终点.若
,则称这个路为回路.

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定理1 设
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阶图,则
中
是

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个顶点的度之和为边数的2倍.
定理2 对于任意图
定理3（Turan定理） 有
,奇顶点的个数一定是偶数.
个顶点且不含三角形的

定理4 图
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的最大边数为
.
为偶图,当且仅当
图

定理5 若树
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中不含长度为奇数的圈.
的顶点数
,则

中至少有两个树叶.
定理6 若数
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个顶点,则
有

定理7 设
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的边数
.
是有

⑴ 图
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个顶点、
条边的图,则下列命题等价:
是树; ⑵ 图

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无圈,且
; ⑶ 图
连通,且

定理8
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.
阶连通图中以树的边数最少,且
阶连通图必有一个子图是树.

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定理9（一笔画定理） 有限图
以一笔画成）的充要条件是
数为0或2. 当且仅当奇顶点个数为0时,连通图
是一条链或圈（可
是连通的,且奇顶点的个
是

一个圈.
定理10 在偶图
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,则
,若中

一定无哈密顿圈.若
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的差大于1,则
一定无哈密顿链.
与

定理11 设
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是
阶简单图,且对每一对顶点
有,

则图
定理12 设
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有哈密顿链.
是
阶简单图,且对每一对不相邻的顶点

则图
定理13 设
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有
有哈密顿圈.
是
,

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阶简单图,若每个顶点的度
,则图
有哈密顿圈.

定理14 若图
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有哈密顿圈,从
中去掉若干个点
及与它们关联的边得到图

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,则图
的连通分支不超过
个.

定理15（欧拉公式）
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若一个连通的平面图
个顶点、
条边、
有

定理16 一个连通的平面简单图有
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个面,则
.
个顶点、

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条边,则
,对于连通的偶图,则有
.

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定理17 一个图是平面图当且仅当它不包含同胚于
的子图.
定理18 设
或
阶竞赛图

且
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的顶点为
,则
.
,

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定理19 竞赛图中出度最大的点称为“优点”,“优点”到其余各点都有长度不超过2的链.
定理20 竞赛图
的哈密顿路.
中存在一条长为

定理21 竞赛图
条件是有两个顶点
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.
中有一个回路是三角形的充要
满足

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定理22（Ramsey定理） 任意2色完全图
在同色三角形.
中必存

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二、例题选讲
例1 、某天晚上21 个人之间通了电话,有人发现这21人共通话102次,且每两人至多通话一次.
他还发现,存在
2个人与第3个人通了话,……, 第
个人,第1个人与第2个人通了话,第
个人与第

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个人通了话,第
个人又与第1个人通了话,他不肯透露
的具体值,只说

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是奇数.求证: 21个人中必存在3人,他们两两通了
话.

例2、45个校友聚会,在这些人中,任意两个熟人数目相同的校友互不认识.问在参加校友聚会的
所有 人中,熟人最多的人的数目最多是多少?

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1.平面上的
n
（
≥
4）个点中，任何4个点都是凸四边形的顶点。证明这
n< br>个点是一个凸
n
边
形的顶点。

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2.平面上有两条线段
AB
和
CD
使得
ABDC是平行四边形。我想把
AB
在平面上（连续地）移动直
到
A
与< br>C
重合，
B
与
D
重合。证明：不管这两条线段多长，也不管它 们相距多远，我总可以使得在
平移的过程中
AB
扫过的总面积小于1。

3.证明:平面上任意
n
（正整数）个点能被满足下列条件的有限个圆盘（圆盘 包含边界）覆盖:
它们直径之和小于
n
，而且任何两个圆盘之间的距离（指这两个圆盘 上各取一点的最小距离）都大
于1。

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4.在平面直角坐标系中，求所有满足下列条件的过原点的直线
l
:对于任意实数
a，b
以及
d >
0,
都存在 整数
m，n
和
l
上的点
P
使得（
a
+
m，b
+
n
）和
P
的距离小于
d
。

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5.证明:任给正整数
n
，总存在正整数
K
使得下面的结论成立:如果平面 上
K
个点中没有三点共
线，那么这些点中必定存在
n
个点是一个凸< br>n
边形的顶点。

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6.一个矩形
R
被切成了若干个（内部不相交的而且拼起来恰好是整个
R
的 ）小矩形，这些小矩
形的边都与
R
的边平行或垂直，而且每个小矩形至少有一条边长为 整数。证明：
R
也至少有一条边
长为整数。

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7.平面上的点集
S
中有有限个不全共线的点，它们被染成红和蓝两 种颜色。证明:存在一条直
线使得它过
S
中至少两个点，而且
S
中在 这条直线上的所有点都是同一种颜色。

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1.试求n项的没有两个或以上连续的0的0，1序列的个数。

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2.m，n是正整数.证明:每个由mn+1个不同实数组成的 数列一定有一个（m+1）项递增子序列或
者一个（n+1）项递减子序列。


3.正整数n的一个分拆是指把n分成若干个正整数（不计次序）之和.证明对于任意正整数n,n
的分成每部分都是奇数的分拆个数等于n的分成每部分互不相同的分拆个数。

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4.n是给定正整数.将n个黑子和n个 白子任意放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依
次将全体白子标上1，2，…，n,再从某个 黑子起,按逆时针方向依次将全体黑子标上1，2，…，n.
证明:在圆周上必可以找到连续n个棋子, 使得它们标号所成的集合恰好为｛1，2，…，n｝。

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5.设n和k是正整数,且（k － n ）是非负偶数.有2n盏灯依次编号为1，2，…，2n,每一盏灯
可以开和关.开始时所有的灯都是关 的, 现在要对这些灯进行k次操作,每次操作改变且只改变一盏
灯的开关状态.用N表示满足“k次操 作以后灯1，2，…，n是开的,其它灯都是关的”的不同操作
序列总数,用M表示满足“k次操作以后 灯1，2，…，n是开的,其它灯都是关的而且从来没有被开
过”的不同操作序列总数.试求比值。

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6.给定n，k是正整数,.假设F是｛1，2，…，n｝
的子集族,如果F中的每个集合 都有k个元素,而且F中任何两个集合都相交非空,那么∣F∣的最大
可能值是多少?

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7.有12个人,其中任何9人中都有5人两两认识.证明:这12人中必有6人两两认识。

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【知识储备】

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【例题精讲】

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1.p≥1是实数，n是正整数.证明闵可夫斯基不等式：任给 实数a
1
,a
2
....,b
1
,b
2
, ....,b
n
,必有：

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2.如果函数f：Z→R满足 ：存在正数M使得对于任意正数a和正整数d，
（这里

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I= [a-d,a+d],表示f在I上的平均值），那么就称f
是BMO的，M则称为f的一个BMO模长 .证明存在正的常数C，使得对于任何BMO的函数f，只要M
是f的一个BMO模长，就有对任何正数 a和正整数d,

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3.设n是 给定的正整数.S={1,2,…,n}.求|A△S|+|B△S|+|C△S|的最小值.这里A,B是非空 有限
实数集合，C=A+B={x+y|x∈A,y∈B}.X△Y表示由恰好属于X,Y中一个的元素 组成的集合.

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4.证明存在正的常数C，使得平面直角坐标系中的 任意有限个（边平行于坐标轴的）正方形中
必能挑出一些正方形两两内部无公共点，而且他们覆盖的总面 积不小于全体正方形覆盖总面积的C
倍.

5.设A是一个有限实数集.A1
,A
2
,…,A
n
是A的非空子集，且满足：（
（i i）对任意x
i
∈A
i
（i=1,2，…,n）,都成立

i）A中所有元素之和为0；
.证明:

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存在1≤i
1
2
<…k
≤n使得

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6.设m和n是给定的正整数，41
A
2
…A
2n+1
是一个正（2n+1）边形，P={A1
， A
2
，…，A
2n+1
}.
求顶点属于P且恰 有两个内角是锐角的凸m边形个数.

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7.将全体正整数用红或蓝进行二染色.证明：存在一列无穷个递增正整数a
1
,a
2
,a
3
,…使得
全都是同色的正整数.

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8.如果平面上的有限（≥1）个非零向量形成的集 合R满足下列三个条件就称R为一个根系：（i）
任两个向量a，b∈R，
b∈R,∈R；（< br>们或者相等或者和为0.试求平面上所有可能的根系.
是整数；（ii）任两个向量a，
iii）如果R中两个向量共线，那么他

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