全国高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷

上海市高中数学竞赛
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1.如图,正六 边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的边长为1,它的6条对角线又围成一
个正六边形
A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
,如此继续下去,则所有这些六边形的面积
和是 .

2.已知正整数
a
1
,a
2
,
B1A2
F 2
A1
F1
B2
E2
,a
10
满足:
a
j
3
?,1?i?j?10
,则
a
10
的最
a
i
2
C2
C1
D2
E1
小可能值是 .


3.若
tan
?
?tan
?
?t an
?
?
D1
174
，
cot
?
?cot
?
?cot
?
??
,
cot
?
cot?

65
17
?cot
?
cot
?
? cot
?
cot
?
??
，则
tan
?
?< br>?
?
?
?
?
?
.
5
A
D
4．已知关于
x
的方程
lg
?
k x
?
?2lg
?
x?1
?
仅有一个实数解，则实数
k
的取值
范围是 .


5．如图，?AEF
是边长为
x
的正方形
ABCD
的内接三角形，已知F
B
E
C
?AEF?90?
，
AE?a,EF?b,a ?b
，则
x?
.

6．方程
2
m
?3
n
?3
n?1
?2
m
?13
的非负整数解
?
m,n
?
?
.


7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个 是黑色的，
依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）
8．数列
?
a
n
?
定义如下：
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
2
?
n? 1
?
n
?a
n?1
?a
n
,n?1,2,
n?2n?2
.若
a
m
?2?



2011
，则正整数
m
的最小值为 .
2012
用心 爱心 专心
- 1 -

二、解答题
9．（本题满分14分）如图， 在平行四边形
ABCD
中，
AB?x
，
BC?1
，对角线< br>AC
与
BD
的
夹角
?BOC?45?
，记直线
AB
与
CD
的距离为
h(x)
．
求
h(x)
的表达式，并写出
x
的取值范围．









10．（本题满分14分）给定实数
a?1
，求函数
f(x)?












11．（本题满分16分）正实数
x,y,z
满足
9xyz?xy ?yz?zx?4
，求证：
（1）
xy?yz?zx?
A
D
C
O
B
(a?sinx)(4?sinx)
的最小值．
1?sinx
4
；
3
（2）
x?y?z?2
．




用心 爱心 专心
- 2 -

12．（本题满分16分）给定整数
n(?3)
，记
f(n)
为集合
1,2,
?
,2
n
?1
?
的满足如下两个条件
的子集
A
的元素个数的最小值 ：
（
a
）
1?A,2
n
?1?A
；
（
b
）
A
中的元素（除1外）均为
A
中的另两个 （可以相同）元素的和．
（1）求
f(3)
的值；
（2）求证：
f(100)?108
．






























用心 爱心 专心
- 3 -

2012年上海市高中数学竞赛答案
1、
93
2、92
4
3、11 4、
?
??,0
??
4
?

5、
a
2
2
?
3,0
?
,
?
2,2
a?(a? b)
2
6、
?

7、
2
5
8、4025
9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
OB
2< br>?OC
2
?
1
2
(AB
2
?BC
2
)?
1
2
(x
2
?1)
． ①
…………………（2分）
在△
OBC
中，由余弦定理
BC
2?OB
2
?OC
2
?2OB?OCcos?BOC
，
所以
OB
2
?OC
2
?2OB?OC?1
， ②
由①，②得
OB?OC?
x
2
?1
22
． ③
…………………（5分）
所以
S
1
ABCD
?4S
?OBC
?4?
2
OB?OCsin?BOC

2OB?OC
?
x
2
?
?1
2
，
故
AB?h(x)
?
x
2
?1
2
，
x
2
所以
h(x)?
?1
2x
． …………………（10分）
由③可得，
x
2
?1?0
，故
x?1
．
因为
OB
2
?OC
2
?2OB?OC
，结合②，③可得
用心 爱心 专心
- 4 -

1
2
x
2
?1

(x?1)?2?
，
2
22
解得（结合
x?1
）
1?x?2?1
．
x
2
?1
综上所述，
h(x)?
，
1?x?2?1
． …………………（14分）
2x
10．解
f(x)?
当
1?a?
(a?sinx)(4?sinx)3(a?1)
?1?sinx??a?2
．
1?sinx1?sinx
7
时，
0?3(a?1)?2
，此时
3
3(a?1)
f(x)?1?sinx??a?2?23(a?1)?a?2
，
1?sinx
且当
sinx?3(a?1)?1?
?
?1,1
?
时不等式等号成立，故
f
min
(x)?23(a?1)?a?2
．
…………………（6分）
当
a?
??
7
3(a?1)时，
3(a?1)?2
，此时“耐克”函数
y?t?
在
0,3( a?1)
?
内是递
?
3
t
?
减，故此时
f
min
(x)?f(1)?2?
3(a?1)5(a?1)
． < br>?a?2?
22
7
?
23(a?1)?a?2,1?a?;
?
?
3
…………………（14分） 综上所述，
f
m in
(x)?
?
7
?
5(a?1)
,a?.
?3
?
2
11．证 （1）记
t?
xy?yz?zx
，由平均不等式
3
xyz?
?
3
(xy)(yz)(zx)
?
3
2
?
xy? yz?zx
?
?
??
．
3
??
32
3
2
…………………（4分）
于是
4?9xyz?xy?yz?zx?9t?3t
，
所以
?
3t?2
?
3t
2
?3t?2?0
，
2
而
3t?3t?2?0
，所以
3t?2?0
，即
t???
2
，从而
3
4

xy?yz?zx?
． …………………（10分）
3
(x?y?z)
2
?3(xy?yz?zx)
，
（2）又因为
用心 爱心 专心
- 5 -

所以
(x?y?z)?4
，
故
x?y?z?2
． …………………（16分）
12．解 （1） 设集合
A?1,2,
2
?
，（
b
）．则
1?A,7 ?A
．由于
,2
3
?1
?
，且
A
满足（< br>a
）
?
1,m,7
??
m?2,3,
，故
A ?3
．
,6
?
不满足（
b
）
又
?1,2,3,7
?
,
?
1,2,4,7
?
,
?
1,2,5,7
?
,
?
1,2,6,7
?
,
?
1,3,4,7
?
,
?
1,3,5,7
?
,< br>?
1,3,6,7
?
,

，故
A?4
． < br>?
1,4,5,7
?
,
?
1,4,6,7
?
,
?
1,5,6,7
?
都不满足 （
b
）
而集合< br>?
1,2,4,6,7
?
满足（
a
），（
b
），所以
f(3)?5
．
…………………（6分）
（2）首先证明
f(n?1)?f(n)?2,n?3, 4,
事实上，若
A?1,2,
令
B?A
又
2
n?1
． ①
?
，（
b
） ，且
A
的元素个数为
f(n)
．
,2
n
?1?
，满足（
a
）
?
2
n?1
?2,2
n?1
?1
?
，由于
2
n?1
?2?2
n
?1
，故
B?f(n)?2
．
,2
n?1
?1
?
，且
B
?2?2(2
n
?1),2
n?1
?1?1 ?(2
n?1
?2)
，所以，集合
B?
?
1,2,
满足（
a
），（
b
）．从而

f(n?1)?B?f(n)?2
． …………………（10分）
其次证明：
f(2n)?f(n)?n?1,n?3,4,
事实上，设
A?1,2,
． ②
?
，（
b
），且
A
的元素个数为
f(n)．令
,2
n
?1
?
满足（
a
）
B? A
n
?
2(2
2
n
?1),2
2
(2n
?1),
n
,2
n
(2
n
?1),2
2n
?1
?
，
由于
2(2?1)?2( 2?1)?
所以
B?1,2,
?2
n
(2
n
?1) ?2
2n
?1
，
?
,2
2n
?1
?，且
B?f(n)?n?1
．而
,n?1
，
2
k? 1
(2
n
?1)?2
k
(2
n
?1)?2
k
(2
n
?1),k?0,1,
2
2n
?1?2
n
(2
n
?1)?(2
n
?1)
，
从而
B
满足（
a
），（
b
），于是
用心 爱心 专心
- 6 -

f(2n)?B?f(n)?n?1
． …………………（14分）
由①，②得
f(2n?1)?f(n)?n?3
． ③
反复利用②，③可得
f(100)?f(50)?50?1?f(25)?25?1?51


?f(12)?12?3?77?f(6)?6?1?92

?f(3)?3?1?99?108
．
用心 爱心 专心
…………………（16分）
- 7 -