高中数学几何图形知识点总结-高中数学不按顺序上课
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2018年高中数学竞赛初赛
一、填空题(每题7分,共10题,共70分)
1. 函数y=│cos x│-cos
2x(x∈R)的值域
2. 已知(a+bi)
2
=3+4i,其中
a,b∈R,i是虚数单位,则a
2
+b
2
=
3.
圆心在抛物线x
2
=2y上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程
1-4
x
4. 设函数f(x)=
x
-x,则不等式f(1-x2
)+f(5x-7)<0的解集为
2
5. 已
知等差数列{a
n
}的前12项的和为60,则
a
1
?a
2
?a
3
+...+
a
12
的最小值
6. 已知正四面体内切球的半径是1,则该四面体的体积为
7.
在△ABC中,AB=5,AC=4,且=12,设P为平面ABC上一点,则
的最
小值为
8. 设g(n)=
?
(k,n)
,其中n∈N,(k,n)表示
k与n的最大公约数,则g(100)的值
*
k?1
n
为
9. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中,每个小方格填一
个数,且所填各
部相同,则使每行,每列所填数之和都是奇数的概率是
(第9题图)
10.
在1,2,3,4,...1000中,能写出a
2
-b
2
+1(a,b∈N
)的形式,且不能被3整除的数有 个
二、解答题(每题20分,共4题,共80分)
11. 如图,在平面直角坐标系xoy中,已知圆O 的方程为x
2
+y
2
=4,过P(0,1)点的直线l与
圆O交于A,B,与x轴交于Q,设,,求证:
?
与
?
为定值.
y
A
P
Q
O x
B
(第11题图)
12. 已知{a
n
} 是公差为d的等差数列,且a
1<
br>+t
2
=a
2
+t
3
=a
3
+t.
(1). 求实数t,d的值;
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(2). 若正整数满足m<p
<r,a
m
-2
m
=a
p
-2t
p
=a<
br>r
-
2t
r
=0,求数组(m,p,r)和相应的通项公式
a
n
。
13.
14. 如图,在圆内接四边形ABC
D中,对角线AC与BD交于P,△ABD与△ABC的内心分别
为I
1
和I
2
,直线I
1
I
2
分别与AC,BD交于M,N,求证:PM=PN
.
C
D
P
I
1
I
2
N
M
A B
(第13题图)
15. 从1,2,3,4......
.,2050这2050个数中任取2018个组成集合A,把A中的每个染上红色或
蓝色.求证:总存
在一种染色方法使得每600个红数及600个蓝数满足下列两个条件:
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①
这600个红数的和等于这600个蓝数的和;
②
这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.
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