2013年全国高中数学联赛一试试题

解得：
r?
2
6

1
5.答案：
4

【解答】易知
a?f(1)?f(0),b?f(0)
，则 < br>1111
f(1))
2
?(f(1))
2
?(f(1))2
?

2444
111
当
2f(0)?f(1)??1
即
a?b??
时，
ab?
，故
ab
的最大值为
244
ab?f(0)?(f(1)?f(0))??(f(0)?

6.答案
232

323
【解答】设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
取自
1,2,???,20
.若
a
1
,a
2
,a
3,a
4
,a
5
互不相邻，则
1?a
1
?a< br>2
?1?a
3
?2?a
4
?3?a
5
?4? 16

由此可知从
1,2,???,20
中取5个互不相邻的数的选法与从< br>1,2,???,16
中取5个不同的数的选法
5
相同，即
C
16
种.所以从
1,2,???,20
中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻的 概率为：
555
C
20
?C
16
C
16
232

?1??
55
C
20
C
20
323

7.答案：
?
0
?
?[4,20]

【解答】令< br>y?a,x?y?b(a,b?0)
，此时
x?y?(x?y)?a
2
?b
2
，且条件中等式化
22
22
为
a?b?4a?b，从而
a,b
满足方程：
(a?2)?(b?1)?5(a,b?0)

如图所示，在
aOb
平面内，点
(a,b)
的轨迹是以
(1 ,2)
为圆心，
5
为半径的圆在
a,b?0
的
部分，即点O 与弧
ACB
的并集，因此
a
2
?b
2
?
?
0
?
?
[2,25]
，从而

x?a
2
?b
2
?
?
0
??
[4,20]


8.答案：491.

88aa
a
i?1
【解答】令
b
i
?
则对每个符合 条件的数列
?
a
n
?
，有
?
b
i
?
?
i?1
?
9
?1

(1?i?8)
，
a
i
a
1
i?1i?1
a
i
且
b
i
?
?
2,1,?
?
（
1?i?8
）①
反之，由符合条件①的8项数列
?
b
n
?
可能唯一确定一个 符合题设条件的9项数列
?
a
n
?
。
记符合条件①的数列
?
b
n
?
的个数为N，显然
b
i
(1?i ?8)
中有偶数个
?
?
?
1
?
2
?
11
，即
2k
个
?
；继
22
8?4k
个 1.当给定k时，而有
2k
个2，易见k的可能值只有：
?
b
n?
的取法有
C
8
2k
C
8
2
?
k
2k
种，
0,1,2

2244
所以
N?1? C
8
C
6
?C
8
C
4
?1?28?15? 70?1?491

因此，根据对应原理，符合条件的数列
?
a
n< br>?
的个数为491.

二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9. 【解答】当
n?2
时，
S
n
?2S
n?1
等价于
x
n
?x
1
?????x
n?1

对常数
C?
1
x
1
，用数学归纳法证明：
x
n
? C?2
n
,n?1,2,???

4
n?1
时结论显然成立 .又
x
2
?x
1
?C?2
2

对
n?3
，假设
x
k
?C?2
k
,k?1,2,???,n? 1
，则由式①可知
x
n
?x
1
?(x
2
?????x
n?1
)
?x
1
?(C?2
2
??? ??C?2
n?1
)
=
C?2
n

所以，由归纳法可知上式成立。

10.【解答】令
c?a?b
， 则
A
1
(?a,0)
，
A
2
(a,0)
，
F
1
(?c,0)
，
F
2
(c,0)
.设
P(x
0
,y
0
)
，
22

22
x
0
y
0
Q(x
1
,y
1
),R(x
2
,y
2
)
，其中
2
?
2?1
，
y
0
?0
.由
QA?PA
1
,
QA
2
?PA
2
可知：
ab
A
1
Q?A
1
P?(x
1
?a)(x
0
?a)?y
1
y
0
?0
①
A
2
Q?A
2
P? (x
1
?a)(x
0
?a)?y
1
y
0
? 0
②
2
将①、②相减得：
2a(x
1
?x0
)?0
，即
x
1
??x
0
，将其代入①可得 ：
?x
0
?a
2
?y
1
y?0

22
x
0
?a
2
x
0
?a
2
故< br>y
1
?
，于是
Q(?x
0
,)

y
0
y
0
2
x
0
?c
2
根据
RF
)

1
?PF
1
,RF
2
?PF< br>2
,同理可得
R(?x
0
,
y
0
22
x
0
?a
2
x
0
?c
2
b
2< br>因此
QR?

??
y
0
y
0
y0
由于
y
0
?(0,b]
，故
QR?b
（其中 等号成立的充分必要条件是
y
0
?b
，即点P的坐标是
(0,?b)
）

11.【解答】已知条件可以转化为：对任意实数
x,y
，有
(ax
2
y
2
?b)?(a(x?y)
2
?b)? (ax
2
?b)(ay
2
?b)
①
先寻求a、b所满足的 必要条件，在①中令
y?0
得：
b?(ax?b)?(ax?b)b

即对任意的实数x，有：
(1?b)ax?b(2?b)?0

2
由 于
a?0
，故
ax
可以取到任意大的值，因此必有
1?b?0
，即：
0?b?1

22
2
422
在①式中再令
y??x
，得：
(ax?b)?b?(ax?b)
，即对任意实数x,有
( a?a
2
)x
4
?2abx
2
?(2b?b
2)?0
②
2
将②式的左边记作为
g(x)
，显然
a? a?0
（否则，由
a?0
可知
a?1
，此时
，于是
g(x)??2bx
2
?(2b?b
2
)
，其中
b?0< br>，故
g(x)
可取到负值，矛盾）
ab
2
(ab)
2
g(x)?(a?a)(x?)??2b?b
2

22
a?aa?a
22

22
=
(a?a)(x?
b
2
b
)?(2?2a?b)?0
对一切实数x成立，从而必有：
a?a
2
?0
，
1?a1?a
即
0?a?1

进一步考虑到
bb
b
?0
，再根据
g()?(2?2a?b)?0
，可得：2a?b?2

1?a
1?a1?a
至此，求得
a,b
满足的必要条件如下：
0?b?1,0?a?1,2a?b?2
③
下面证明，对满足 ③的任意实数对
(a,b)
以及任意实数
x,y
，总有①成立，即：
h(x,y)?(a?a
2
)x
2
y
2
?a(1?b)( x
2
?y
2
)?2axy?(2b?b
2
)

对任意
x,y
取非负值。
2
事实上，在③式成立时，有
a (1?b)?0,a?a?0,
b
(2?2a?b)?0

1?a
再 结合
x
2
?y
2
??2xy
，可得：
h(x,y )?(a?a
2
)x
2
y
2
?a(1?b)(?2xy)? 2axy?(2b?b
2
)

=
(a?a
2
)x
2
y
2
?2abxy?2b?b
2

2
=
(a?a)(xy?
b
2
b
)?(2?2a?b)?0

1?a1?a
综上所述，所求的正实数对
(a,b)
全体为
(a,b )0?b?1,0?a?1,2a?b?2


??

2013年全国高中数学联赛加试试题参考答案及评分标准
一．

【证明】连接
AD,BC,CF,DE
.由于
AE?EF?FB< br>,从而
BC?sin?BCEBE
?2
① =
AC?sin?ACEAE
同理可得：
AD?sin?ADFAF
??2
②
BD?sin?BDFBF
另一方面，由于
?BCE??BCP??BDP?BDF

?ACE??ACP??ADP??ADF

故将①②两式相乘可得：
BC?AD
?4
，即
AC?BD
BC?AD?4AC?BD
③
由托勒密定理
AD?BC?AC?BD?AB?CD
④
由 ③ ④得：
AC?CD?3AC?BD

即：
EF?CD?AC?BD


二．【证明】对正整数
n
，有
S
2
n?1?1
?a
1
?(a
2
?a
3
)?(a
4
?a
5
)?????(a
2
n?1
?2
?a2
n?1
?1
)

=
u?v?(a
1
?u?a
1
?v)?(a
2
?u?a
2
?v) ?????(a
2
n
?1
?u?a
2
n
?1
?v)

=
2(u?v)?2S
2
n
?1

所以
S
2
n
?1
?2
n?1
n
(u?v)?2S
2
n?1
?1
?2
n?1
(u?v)?2(2
n?2
(u? v)?2S
2
n?2
?1
)

(u?v)?2
2
S
2
n?2
?1

n?1
=
2?2
n?1
=
(n?1)?2(u?v)?2
n?1
(u?v)

=
(u?v)n?2
n?1

设
u?v?2
k
?q
，其中k是非负整数，q是奇数.取
n?q?l< br>2
，其中
l
为满足
l?k?1(mod2)
22k?1?ql
的任意正整数，此时
S
2
n
?1
?ql?2
，注意 到q是奇数，故：
2
k?1?ql
2
?k?1?l
2
?k ?1?(k?1)
2
?k(k?1)?0(mod2)

所以，
S< br>2
n
?1
是完全平方数.由于
l
有无穷多个，故数列
?
S
n
?
中有无穷多项是完全平方数。

三．【解答】
对任意的
k?1,2,???,m,
设第
k
题没有答对者有
x
k
人，则第k答对者有
n?x
k
人，由得分规
则知，这< br>n?x
k
个人在第k题均得到
x
k
分.设
n
个学生的得分和为S，则有
?
p
i?1
n
i
2

?S?
?
x
k
(n?x
k
)?n
?
x
k
?
?
x
k
k?1k?1k?1
mmm
因为每一个人在第k道题上至多得
x
k
分，故
p
1
?
?
x
k

k?1
m
由于
p
2
?????p
n
，故有
p
n
?
p
2
?p
3
?????p
n
S?p
1?
，所以
n?1n?1
mm
S?p
1
n?2S
n?2
m
1
2
p
1
?p
n
?p
1
??p
1
?
??
?
x
k
??(n
?
x
k
?
?
x
k
)

n?1n ?1n?1
n?1
k?1
n?1
k?1k?1
1
m
2
=
2
?
x
k
??
?
x
k

n?1
k?1k?1
1
m
由柯西不等式可得：
?
x?(< br>?
x
k
)
2

m
k?1k?1
2< br>k
mm
11
2
于是
p
1
?p
m?2
?
x
k
??(
?
x
k
)
=
??(
?
x
k
?m(n?1))
2
?m(n?1 )

m(n?1)
k?1
m(n?1)
k?1k?1
mm
m
?m(n?1)

另一方面，若有一个学生全部答对，其他
n?1
个学生全部答错，则
p1
?p
n
?p
1
?
?
(n?1)?m(n?1 )

k?1
m

综上所述，
p
1
?p
n
的最大值为
m(n?1)

四．【证明】
r?1
先考虑
n
为2的幂的情形。设
n?2
r，则
r?k
.取
3
个
2
及
2k?3
个 1，显然这些数
r?1r
字均不被n整除.将2k个数任意分成两组，则总有一组中含有2个< br>2
n整除。
现在设n不是2的幂，取2k个数为
，他们的和为
2< br>，被
?1,?1,?2,?2
2
,???,?2
k?2
,1, 2,2
2
,???,2
k?1

因为n不是2的幂，故上述2k个数均不被n整除。
若可将这些分成两组，使得每一 组中任意若干个数的和均不能被n整除。不妨设1在第
一组，由于-1+1=0，被n整除，故两个-1 必须在第二组；因为（-1）+（-1）+2=0，被n整
除，故2在第一组，进而推出-2在第二组。
现在归纳假设
1,2,???,2
l
均在第一组，而
?1, ?1,?2,???,?2
l
均在第二组，这里
1?l?k?2
，
由 于
(?1)?(?1)?(?2)?????(?2)
l
?2
l?1
?0
，被n整除，故
2
l?1
在第一组，从而
?2
l?1< br>在
第二组，故由归纳法可知，
1,2,2
2
,???,2
k? 2
在第一组，
?1,?1,?2,?2
2
,???,?2
k?2在第二组。最
后，由于
(?1)?(?1)?(?2)?????(?2
k?2< br>)?2
k?1
?0
被n整除，故
2
k?1
在第一组。 因此
1,2,2
2
,???2
k?1
中若干个数的和，特别地，因为
n?2
k
?1
，故在第一组中有若干个数的和为
n，当然被n整除， 矛盾！
因此，将前述2k个整数任意分成2组，则总有一组中有若干个数之和被n整除。