2008年全国高中数学联赛试题及详细解析

受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学 会承办。中国数学会普及
工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学 联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数
学教学大纲》中所规定的教学要求和 内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对
基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运 用的能力。全卷包括6道选择题、6道
填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。 < br>全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当
增加一些竞 赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150
分。答卷时问为120分 钟。
一 试

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm，则这三个正方体
的体积之和为 （ ）。
（A）764 cm或586 cm （B） 764 cm
（C）586 cm或564 cm （D） 586 cm
333
333
2
?
x?y?z?0,
5．方程组
?
的有理数解
(x,y,z)
的个数为 （ ）。
?
xyz?z?0,
?
xy?yz?xz?y?0
?
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4


1

6．设
?ABC
的内角
A、B、C
所对的边
a、b、c
成等比数列，则
sinAcotC?cosA
的取值范围是（ ）。
sinBcotC?cosB
5?1
)

2
5?15?15?1
（C）
(,)
（D）
(,??)

222
二、填空题（每小题9分，共54分）
（A）
(0,??)
（B）
(0,
11．设
f(x)
是定义在
R
上的函数，若
f(0)?2008
，且对任意
x?R
，满足

f(x? 2)?f(x)?3?2
x
，
f(x?6)?f(x)?63?2
x
，则
f(2008)
= .
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱 长为
46
的正四面体容器内可向各个方向自由运动，
则该小球永远不可能接触到的容器 内壁的面积是 .
三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知函数
f(x)?|sinx|
的图像与直线
y?kx

(k?0)
有且仅有三个交点，交点的横坐标
的最大值为
?
，求证：
cos
?
1?
?
2
．
?
sin
?
?sin3
?
4
?
14．解不等式
log
2< br>(x
12
?3x
10
?5x
8
?3x
6?1)?1?log
2
(x
4
?1)
．
[来源:学科网 ][来源:Z*xx*]










2

加 试

一、（本题满分50分）
如图，给定凸四边形
ABCD
，
?B?? D?180
，
P
是平面上的动点，令
f(P)?PA?BC?PD?CA?P C?AB
．
（1）求证：当
f(P)
达到最小值时，
P、A、B、C
四点共圆；
（2）设
E
是
?ABC
外接圆
O
的
AB< br>上一点，满足：
AE3
BC
，
?
?3?1
，
AB2
EC
1
?ECB??ECA
，又
DA,DC
是
O
的切线，
AC?2
，求
f(P)
的最小值．
2

二、（本题满分50分）
设
f(x)
是周期函数，< br>T
和1是
f(x)
的周期且
0?T?1
．证明：
（1）若
T
为有理数，则存在素数
p
，使
答一图1
1
是
f(x)
的周期；
p
（2）若
T
为 无理数，则存在各项均为无理数的数列
{a
n
}
满足
1?a
n
?a
n?1
?0

(n?1,2,???)
，且每个
a
n

三、（本题满分50分）
设
a
k
?0
，
k?1, 2,
(n?1,2,???)
都是
f(x)
的周期．
证明：当且仅 当
?
a
k
?1
时，存在数列
{x
n
}满足以下条件：
,2008
．
k?1
2008
（1）
0?x
0
?x
n
?x
n?1
，
n?1,2,3,< br>；


3

，
n?1,2,3,
．



[来源:Z_xx_]


















一试解答

4
（2）
limx
n
存在；
n??
（3）
x
n
?x
n?1
?
?
a
k
x
n?k
?
?
a
k?1
x
n?k
k?1k?0
20082 007










[来源:学科网]

1. 【答案】C
【解析】当
x?2
时，
2?x?0
，因此
1? (4?4x?x
2
)1
1
?(2?x)

f(x)???( 2?x)
?2?
2?x
2?x2?x
?2
，当且仅当
1?2?x
时取等号．而此方程有解
x?1?(??,2)
，因此
f(x)
在
(??,2)
上
2?x
的最小值为2．故选C.


3.【答案】B
P(
?
?2)?P(A
1
A< br>2
)?P(A
1
A
2
)?
5
，
9

P(
?
?4)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4< br>)
211220
，
?2[()
3
()?()
3()]?
333381
P(
?
?6)?P(A
1
A2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)

2116
?4()
2
()
2
?
，
338 1
52016266
因此
E
?
?2??4??6??
．故选 B。
9818181

4. 【答案】A


5

5. 【答案】 B

6.【答案】C
【解析】设
a、b、c
的公比为
q
，则< br>b?aq,c?aq
2
，而
sinAcotC?cosAsinAcosC? cosAsinC
?
sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinC
sin(A?C)sin(
?
?B)sinBb
?????q
．
sin(B?C)sin(
?
?A)sinAa
因此，只需求
q
的取 值范围．因为
a、b、c
成等比数列，最大边只能是
a
或
c
，因此
a、b、c
2
?
?
a?aq?aq,
要构成三角形的 三边，必须且只需
a?b?c
且
b?c?a
．即有不等式组
?
即
2
?
?
aq?aq?a


6

?
1?55?1
?q?,
?
?
5?15?1
?
q?q?1?0,
?
22
?q?
解 得从而，因此所求的取
?
2
?
22
?
?
q?q?1 ?0.
?
q?
5?1
或q??
5?1
.
?
?22
2
值范围是
(
5?15?1
,)
．故选C。
22

9. 【答案】222
【解析】方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用
?
表示名额．如
|????|??|??|

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若 把每个“
?
”与每个“
|
”都视为
一个位置，由于左右两端必须是“ ｜”，故不同的分配方法相当于
24?2?26
(个)位置（两
端不在内）被2个“｜ ”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于
在24个“
?
”之间 的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有
C
2
(种)．又在“每
23< br>?253
校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综 上
知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．
方法二：设分配给3个学校的 名额数分别为
x
1
、x
2
、x
3
，则每校至少有一 个名额的分法
数为不定方程
x
1
?x
2
?x
3?24
的正整数解的个数，即方程
x
1
?x
2
?x3
?21
的非负整数解的个


7

212
数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
H
3
．又在“每校至
?C
21
23
?C
23
?253< br>少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，
满足条 件的分配方法共有253－31＝222（种）．


11. 【答案】
2
2008
?2007




12.【答案】
723



8

【解析】 如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为
r
，作平 面
A
1
B
1
C
1

平面
ABC，与小球相切于点
D
，则小球球心
O
为正四面体
P?A
1
B
1
C
1
的中心，
PO?面A
1
B1
C
1
，垂足
D
为
A
1
B
1
C
1
的中心．因
1
1
V
P?A
1
B
1
C
1
?S
?A
1
B
1
C1
?PD
?4?V
O?A
1
B
1
C
1
?4??S
?A
1
B
1
C
1
?OD
，
3
3
故
PD?4OD?4r
，从而
PO?PD?OD ?4r?r?3r
．
记此时小球与面
PAB
的切点为
P
1
，连接
OP
1
，则
22
PP(3r)
2
? r
2
?22r
．
1
?PO?OP
1
?
考 虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
PAB
)相切时的情
况，易知小球在面
PAB
上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角
（第12题图1）
形，记为
P< br>，如图2．记正四面体的棱长为
a
，过
P
1
作
PM? PA
于
M
．因
?MPP
1
EF
1
1
?
有
PM?PP
1
?cosMPP
1
?22r?
?
，
6
3
?6r
，故小三角形的边长
2
PE?PA ?2PM?a?26r
．小球与面
PAB
不能接触到的部分的
1
面积 为（如图2中阴影部分）
S
?PAB
?S
?P
1
EF
?
3
2
2
(a?(a?26r)
2
)
?32ar ?63r
．
4
第12题图2）
又
r?1< br>，
a?46
，所以
S
?PAB
?S
?PEF
?243?63?183
．由对称性，且正四面体共4个
1
面，所以小球不能接触到的 容器内壁的面积共为
723
．





9

14. 【解析】 方法一：由
1?log
2
(x
4
?1)?log
2
(2x
4
?2)
，且
log
2
y
在
(0, ??)
上为增函数，故
原不等式等价于
x
12
?3x
10< br>?5x
8
?3x
6
?1?2x
4
?2
．
即
x
12
?3x
10
?5x
8
?3x6
?2x
4
?1?0
．
分组分解
x
12
?x
10
?x
8


?2x
10
?2x
8
?2x
6


?4x
8
?4x
6
?4x
4


?x
6
?x
4
?x
2


?x
4
?x
2
?1?0
，
(x
8
?2x
6
?4x
4
?x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)?0
，

15. 【解 析】设
P(x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
， 不妨设
b?c
．直线
PB
的方程:
y?b?
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
．又圆心
(1,0)
到
PB
的距离为1，
222
(y
0?b)
2
?x
0
?(y
0
?b)
2
? 2x
0
b(y
0
?b)?x
0
b
y
0?b
x
，
x
0
y
0
?b?x
0
b
(y
0
?b)?x
22
0
?1
，故
，易知
x
0
?2
，上式化简得
同理有
(x
0
?2)c
2
?2y
0
c?x
0
?0
． 所以b?c?
(x
0
?2)b
2
?2y
0
b?x< br>0
?0
，
?x
0
?2y
0
，
bc?
，
x
0
?2
x
0
?2


10

222
4x?4y?8x4x
2
2
0000
则
(b?c)?
．因
P(x
0
,y
0
)
是抛物线上的点，有
y
0
?2x
0
，则
(b?c)?
，
22
(x
0
?2)(x
0< br>?2)
2
b?c?
2x
0
x
0
14
． 所以
S
?PBC
?(b?c)?x
0
??x
0
?(x
0
?2)??4
?24?4?8
．当
x
0
? 2
2x
0
?2x
0
?2
(x
0
?2)2
?4
时，上式取等号，此时
x
0
?4,y
0
??22
．因此
S
?PBC
的最小值为8．


解得
cos
?
?
3
1
或
cos
?
??
（舍去），故
?
?30
，
?ACE?60
． 由已知
2
23
sin?EAC?30
BC
=,有
sin(?EAC ?30)?(3?1)sin?EAC
，即
?3?1
EC
sin?EAC2?31
31
sin?EAC?cos?EAC
，
sin?EAC?co s?EAC?(3?1)sin?EAC
，整理得
22
22
1
故tan?EAC??2?3
，可得
?EAC?75
，从而
?E?45，
2?3
?DAC??DCA??E?45
，
?ADC
为等腰直 角三角形．因
AC?2
，则
CD?1
．又
?ABC
也是等腰 直角三角形，故
BC?2
，
BD
2
?1?2?2?1?2cos13 5?5
，
BD?5
．故
f(P)
min
?BD?AC?5? 2?10
．
方法 二：（1）如图2，连接
BD
交
?ABC
的外接圆
O
于P
0
点（因为
D
在
O
外，故
P
0在
BD
上）．
过
A,C,D
分别作
P
0A,P
0
C,P
0
D
的垂线，两两相交得
?
0
?


（第1题图2）
11

?A
1
B
1
C
1
，易知
P
0在
?ACD
内，从而在
?A
1
B
1
C
1
内，记
?ABC
之三内角分别为
x，y，z
，则
?AP< br>0
C?180??y?z?x
，又因
B
1
C
1
?P
0
A
，
B
1
A
1
?P
0< br>C
，得
?B
1
?y
，同理有
?A
1
?x
，
?C
1
?z
，
所以
?A
1
B
1
C
1
∽
?ABC
．设
B
1
C
1
?
?
BC
，
C
1
A
1
?
?
CA
，
A
1
B
1
?
?AB
，则对平面上任意点
M
，
有

?
f(P
0
)?
?
(P
0
A?BC?P
0< br>D?CA?P
0
C?AB)


?P
0
A?B
1
C
1
?P
0
D?C
1
A
1
?P
0
C?A
1
B
1


?2S
?A
1
B
1
C
1


?MA?B
1
C
1
?MD?C
1
A
1?MC?A
1
B
1


?
?
(MA?BC?MD?CA?MC?AB)


?
?
f(M)
，
从而
f(P
0
)? f(M)
．由
M
点的任意性，知
P
0
点是使
f(P )
达最小值的点．由点
P
0
在
O
上，
故
P
0
、A、B、C
四点共圆．
方法三：（1）引进复平面，仍用
A ,B,C
等代表
A,B,C
所对应的复数．由三角形不等式，对
于复数
z
1
,z
2
，有
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
，当且仅当
z
1
与
z
2
（复向量）同向时取等号．


12

有
PA?BC?PC?AB?PA?BC?PC?AB
，

二、【解析】（1）若
T
是有理数，则存在正整数
m,n
使得
T?
n
且
(m,n)?1
，从而存在整数
m
a,b
，使得
ma?nb?1
．于是
1ma?nb
??a?bT?a?1?b? T
是
f(x)
的周期．又因
mm
pm
11
从而m?2
．设
p
是
m
的素因子，则
m?pm
?< br>，
m
?
?N
?
，从而
?m
?
?< br>是
f(x)
0?T?1
，
的周期．
1
（2）若
T
是无理数，令
a
1
?1?
??
T
，则
0?a
1
?1
，且
a
1
是无理数，令
?
?
T
?
?
?
1
?
?
1
?
a
2
?1?
??a
1
，
a
n?1
?1?
??
a
n
， 由数学归纳法易知< br>a
n
均为无理数且
0?a
n
?1
．又
?a
1
?
?
a
n
?
?
1
??< br>1
?
1
?
1
?
?
??
?1
，故
1?a
n
?
??
a
n
， 即
a
n?1
?1?
??
a
n
?a
n
．因此
{a
n
}
是递
a
n
?
a
n
??
a
n
??
a
n
?
减数列．
1
最后证：每个
a
n
是
f(x)
的周期．事实上，因1和< br>T
是
f(x)
的周期，故
a
1
?1?
??< br>T
亦
?
?
T
?
?
??
是
f (x)
的周期．假设
a
k
是
f(x)
的周期，则
a
k?1
?1?
?
1
?
a
k
也是
f (x)
的周期．由数学归
?
a
k
?
纳法，已证得
a
n
均是
f(x)
的周期．


13

k
下取数列
{xn
}
为
x
n
?
?
s
0
，n?1,2,
k?1
n
，则明显地
{x
n
}
满 足题设条件（ⅰ），且
n?1n?1
s
0
?s
0
s?ss
n?1
00
．因
0?s
0
?1
，故
lim s
0
?0
，因此
limx
n
?lim
即
{ x
n
}
x
n
?
?
s??
0
，n??
n??n??
1?s
0
1?s
0
1?s
0
k?1
n
k
0
k
的极限存在，满足（2）． 最后验证< br>{x
n
}
满足（3），因
f(s
0
)?0
， 即
?
a
k
s
0
?1
，从而
k?1
2008
k?1
2008
k?1
2008
k?1
2008
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( x
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?x
n?k?1
)
．
[来源:学科网ZXXK]

综上，存在数列
{x
n
}
满足（1）.



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