湖北荆州高中数学竞赛-高中数学必修3视频第一章
2017年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1.设<
br>f(x)
是定义在
R
上的函数,对任意实数
x
有
f(
x?3)?f(x?4)??1
.又当
0?x?7
时,
f(x)?log2
(9?x)
,则
f(?100)
的值为__________. 2.若实数
x,y
满足
x?2cosy?1
,则
x?cosy<
br>的取值范围是__________.
2
x
2
y
2
??1
,
F
为
C
的上焦点,
A
为
C
的右顶点,
P
是3.在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
的方程为
:
910
C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF的面积的最大值为_
_________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是
。
5.正三棱锥P-ABC中,AB=1,AP=2,过AB的平面α将其体积平分,则棱PC与平面
α所成角的余弦值
为________.
6.在平面直角坐标系
xOy
中,
点集
K?(x,y)x,y??1,0,1
?
.在
K
中随机取出三个
点,则这三点中存在两
点之间距离为
5
的概率为__________.
7
.在
?ABC
中,
N
是线段
BM
的中点.若
?A?
M
是边
BC
的中点,
的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
满足:
a
10
?b
10
?2017<
br>,对任意正整数
n
,有
a
n?2
?a
n?1
?a
n
,
?
?
3
,则
AM?AN
?ABC
的面积为
3
,
b
n?1
?2b
n
,则a
1
?b
1
的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设
k,m
为实数,不等式
x
2
?
kx?m?1
对所有
x?
?
a,b
?
成立.证明:
b?a?22
.
10.设
x
1
,x
2
,x
3
是非负实数,满足
x
1
?x
2
?
x
3
?1
,求
(x
1
?3x
2
?5x3
)(x
1
?
x
2
x
3
?)
的最小值和最大值.
35
e(z
1
)?Re(z
2
)?2
(其中
Re(z)
表示复数
z
的实部)11.设复数
z
1
,z
2
满足
Re(z
1
)?0
,
Re(z
2
)?0
,
且
R
.
(1)求
Re(z
1
z
2
)
的最小值; (2
)求
z
1
?2?z
2
?2?z
1
?z
2<
br>的最小值.
22
2017年全国高中数学联赛A卷
二试 <
br>一.如图,在
?ABC
中,
AB?AC
,
I
为
?ABC
的内心,以
A
为圆心,
AB
为半径作圆
?
1
,以
I
为圆心,
IB
为半径作圆
?
2
,过点
B,I
的圆
?
3
与
?
1
,
?
2
分别交于点
P,Q
(不同于点
B
).设
IP<
br>与
BQ
交于点
R
.证
明:
BR?CR
二.设数列
?
a
n
?
定义
为
a
1
?1
,
a
n?1
?
?
?<
br>a
n
?n,a
n
?n,
?
a
n
?n
,a
n
?n,
n?1,2,?
.求满足
a
r
?r?
3
2017
的正整数
r
的个
数.
三.将
33?33
方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数
相等.若相邻连个小方格
的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
a
1
,a
2
,
?
,a
n
是
n
个不超过
m
的互不相同的正整数,<
br>四.设
m,n
均是大于1的整数,
且
a
1
,a
2
,
?
,a
n
m?n
,
互素.证明:对任意实数
x
,均存在一个
i(1?i?n)
,使得
a
i
x?
它最近的整数的距离.
2
x
,这里
y
表示实数
y
到与
m(m?1)
2017年全国高中数学联赛A卷一试答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2017年全国高中数学联赛A卷二试答案
一.
二.
三.
四.
2017年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)
一、填空题:本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列
{an
}
中,
a
2
?2
,
a
3
?
3
3
,则
a
1
?a
2011
的值为
.
a
7
?a
2017
2.设复数
z
满足
z?9?10z?22i
,则
|z|
的值为 .
3.设f(x)
是定义在
R
上的函数,若
f(x)?x
是奇函数,f(x)?2
是偶函数,则
f(1)
的值为 .
4.在<
br>?ABC
中,若
sinA?2sinC
,且三条边
a,b,c
成等比数列,则
cosA
的值为 .
5.在正四面体
ABC
D
中,
E,F
分别在棱
AB,AC
上,满足
BE?3
,
EF?4
,且
EF
与平面
BCD
平行,
则?DEF
的面积为 .
6.在平面直角坐标系
xOy
中
,点集
K?{(x,y)|x,y??1,0,1}
,在
K
中随机取出三个点
,则这三个点两
两之间距离均不超过2的概率为 .
7.设
a
为非零实数,在平面直角坐标系
xOy
中,二次曲线
x?ay?a?0
的焦
距为4,则
a
的值
为 .
8.若正整数
a,b,c
满足
2017?10a?100b?1000c
,则数组
(a,b,c)的个数为 .
222
2x
二、解答题
(本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
9.设不等式
|2?a|?|5?2|
对所有
x?[1,2]
成立,求实数
a
的
取值范围.
2
10.设数列
{a
n
}
是等差数列,数列
{b
n
}
满足
b
n
?a
n?1
a
n?2
?a
n
,
n?1,2,
xx.
(1)证明:数列
{b
n
}
也是等差数列;
(2
)设数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的公差均是
d?0
,并且存在正整数
s,t
,使得
a
s
?b<
br>t
是整数,求
|a
1
|
的最小值.
<
br>222
11.在平面直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
:y?4x
,曲线
C
2
:(x?4)?y?8
,经过
C1
上一点
P
作一条倾
斜角为
45
的直线
l,与
C
2
交于两个不同的点
Q,R
,求
|PQ|?|P
R|
的取值范围.
2017年全国高中数学联合竞赛加试(B卷)
一、(本题满分40分)
设实数
a,b,c
满足
a?b?c?0<
br>,令
d?max{a,b,c}
,证明:
(1?a)(1?b)(1?c)?1
?d
2
二、(本题满分40分) 给定正整数
m
,证明:存在正整数
k
,使得可将正整数集
N?
分拆为
k
个互不相交的子集
A
1
,A
2,
每个子集
A
i
中均不存在4个数
a,b,c,d
(可
以相同),满足
ab?cd?m
.
,A
k
,
三、(本题满分50分)
如图,点
D
是锐角
?ABC<
br>的外接圆
?
上弧
BC
的中点,直线
DA
与圆
?
过点
B,C
的切线分别相交于点
求证:
AT
平分线段XY
.
P,Q
,
BQ
与
AC
的交点为
X
,
CP
与
AB
的交点为
Y
,
BQ与
CP
的交点为
T
,
四、(本题满分50分) 设
a
1
,a
2
,,a
20
?{1,2,,5}
,
b
1
,b
2
,,b
20
?{1,2,,
10}
,集合
X?{(i,j)1?i?j?20,(a
i
?a
j<
br>)(b
i
?b
j
)?0}
,求
X
的元素个数
的最大值.
一试试卷答案
a?a
2011
a?
a
18
a
3
3
3
8
?
6
1201
1
?
6
?
. 1.答案: 解:数列
{a
n
}的公比为
q?
,故
1
?
a
7
?a
20
17
q(a
1
?a
2011
)q9
9
a
2
2
2.答案:
5
。解:设
z?a?bi,a,b?R
,由条
件得
(a?9)?bi?10a?(?10b?22)i
,比较两边实虚部
?
a?9?10a
可得
?
,解得:
a?1,b?2
,故
z?1
?2i
,进而
|z|?5
.
b??10b?22
?
17
2
。解:由条件知,
f(1)?1??(f(?1)?(?1))??f(?1
)?1
,
f(1)?2?f(?1)?
,
2
4
17
两式相加消去
f(?1)
,可知:
2f(1)?3??
,即
f(1
)??
.
24
asinA
4.解:由正弦定理知,
??2
,又
b
2
?ac
,于是
a:b:c?2:2:1
,从而由余
弦定理得:
csinC
3.答案:
?
b
2
?c
2<
br>?a
2
(2)
2
?1
2
?2
2
2<
br>.
cosA????
2bc4
2?2?1
5.解:由条件知,
EF
平行于
BC
,因为正四面体
ABCD
的各个面是全等的正三角
形,故
AE?AF?EF?4
,
AD?AB?AE?BE?7
.
由余弦定理得,
DE?
同理有
DF?37
.
作等腰
?DEF
底边
EF
上的高
DH
,则
EH?
于是<
br>S
?DEF
?
AD
2
?AE
2
?2AD?A
E?cos60
?49?16?28?37
,
1
EF?2
,故DH?DE
2
?EH
2
?33
,
2
1
EFDH?233
.
2
3
6.解
:注意
K
中共有9个点,故在
K
中随机取出三个点的方式数为
C9
?84
种,
当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如下三种情况:
(1)三点在一横线或一纵线上,有6种情况,
(2)三点是边长为
1,1,2的等腰直角三角形的顶点,有
4?4?16
种情况,
(3)三点是边长为
2,2,2
的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于
(0,0)
的有4个,直
角顶点
位于
(?1,0)
,
(0,?1)
的各有一个
,共有8种情况.
综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为
6?16?8?30
,进而所求概率为
305
?
.
8414
x
2y
2
?1
,显然必须
?a?0
,故二次曲线为双曲线,其标准方
程为7.解:二次曲线方程可写成
?
2
?
aa
y
2
x
2
2222
2
c?(?a)?(?a)?a?a
,则,注意到焦距
,可知
a?a?4
,又
a?0
,
2c?4
??1
2
2
(?a)
(?a)
所以
a?
1?17
.
2
8.解:由条件知
c?[
2017
]?2
,当
c?1<
br>时,有
10?b?20
,对于每个这样的正整数
b
,由
10b
?a?201
1000
知,相应的
a
的个数为
202?10b
,从而这样的正整数组的个数为
b?10
?
(202?10b)?
20(102?2)?11
?572
,
2
当
c?2
时,由
20?b?[
20172017
]
,知,
b?20
,进而<
br>200?a?[]?201
,
10010
故
a?200,201,此时共有2组
(a,b,c)
.
综上所述,满足条件的正整数组的个数为
572?2?574
.
9.解:设
t?2
,则
t?[2,4]
,于是
|t?a|?|5?t|
对所有
t?[2,4]
成立,由于
x
|t?a|?|5?t|?(t?a)<
br>2
?(5?t)
2
,
?(2t?a?5)(5?a)?0
,
对给定实数
a
,设
f(t)?(2t?a?5)(5?a)
,则f(t)
是关于
t
的一次函数或常值函数,注意
t?[2,4]
,因
此
f(t)?0
等价于
?
?
f(2)?(?1?a)(
5?a)?0
,解得
3?a?5
?
f(4)?(3?a)(5?a
)?0
所以实数
a
的取值范围是
3?a?5
.
22
10.解:(1)设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
,则<
br>b
n?1
?b
n
?(a
n?2
a
n?3?a
n?1
)?(a
n?1
a
n?2
?a
n<
br>)
?a
n?2
(a
n?3
?a
n?1)?(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n<
br>)?a
n?2
2d?(a
n?1
?a
n
)d
?(2a
n?2
?a
n?1
?a
n
)d?3d
2<
br>
所以数列
{b
n
}
也是等差数列.
(2)由已知
条件及(1)的结果知:
3d?d
,因为
d?0
,故
d?
2
1
,这样
3
2
22
b
n
?a
n?
1
a
n?2
?a
n
?(a
n
?d)(a
n
?2d)?a
n
?3da
n
?2d
2
?a
n
?
9
22
若正整数
s,t
满足
as
?b
t
?Z
,则
a
s
?b
t
?a
s
?b
t
??a
1
?(s?1)d?a
1<
br>?(t?1)d?
99
s?t?22
??Z
.
39
s?t?
22
记
l?2a
1
??
,则
l?Z
,且
1
8a
1
?3(3l?s?t?1)?1
是一个非零的整数,故
|18a
1
|?1
,从而
39
1
|a
1
|?
.
18
1117
又当
a
1
?
时,有
a
1
?b
3
???1?Z
,
181818
1
综上所述,
|a
1
|
的最小值为.
18
?2a
1
?
22
(x?4)?(x?2t?t)?8<
br>,11.解:设
P(t,2t)
,则直线
l
的方程为
y?x?
2t?t
,代入曲线
C
2
的方程得,
222
化简可得:
2x?2(t?2t?4)x?(t?2t)?8?0
①,
由于
l
与
C
2
交于两个不同的点,故关于
x
的方程①的判别式
?
为正,计算得,
2222
?
?(t
2
?2t?4)
2
?2((t
2
?2t)
2
?8)
?(t
2
?2t)
2
?8(t
2
?2t)?16?2(t<
br>2
?2t)
2
?16
4
??(t
2
?2t)
2
?8(t
2
?2t)??(t
2
?2t)(t
2
?2t?8)
??t(t?2)(t?2)(t?4)
,
因此有
t?(?2,0)(2,4)
,②
2
设
Q,R的横坐标分别为
x
1
,x
2
,由①知,
x
1<
br>?x
2
?t?2t?4
,
x
1
x
2
?
1
2
((t?2t)
2
?8)
,
2
因此,结合
l
的倾斜角为
45
可知,
|PQ|
|PR|?2(x
1
?t
2
)2(x
2
?t
2)?2x
1
x
2
?2t
2
(x
1
?x
2
)?2t
4
?(t
2
?2t)
2?8?2t
2
(t
2
?2t?4)?2t
4
?t
4
?4t
3
?4t
2
?8?2t
4
?4t
3
?8t
2
?2t
4
?t
4
?4t<
br>2
?8
?(t
2
?2)
2
?4
,③
由②可知,
t?2?(?2,2)
2
(2,14)
,故
(t
2
?2)
2
?[0,4)(4,196)
,从而由③得:
|PQ
||PR|?(t
2
?2)
2
?4?[4,8)(8,200)
4?2t?t
2
|?22
, 注1:利用
C
2
的圆
心到
l
的距离小于
C
2
的半径,列出不等式
|
2<
br>同样可以求得②中
t
的范围.
注2:更简便的计算
|PQ||PR|
的方式是利用圆幂定理,事实上,
C
2
的圆心为
M(4,0)
,半径为
r?22
,
22222242
故
|PQ||PR|?|P
M|?r?(t?4)?(2t)?(22)?t?4t?8
.
加试试卷答案
一、
证明:当
d?1
时,不等式显然成立
以下设
0?d?
1
,不妨设
a,b
不异号,即
ab?0
,那么有
(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0
因此
(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c
2
?1?c
2
?1?d
2
二、
证明:取
k?m?1
,令<
br>A
i
?{xx?i(modm?1),x?N
?
}
,
i?1,2,,m?1
设
a,b,c,d?A
i
,则
ab
?cd?i?i?i?i?0(modm?1)
,
故
m?1ab?cd
,而
m?1m
,所以在
A
i
中不存在4个数
a,b,c,d,满足
ab?cd?m
三、
证明:首先证明
YXBC
,即证
AXAY
XC
?
YB
连接
BD,CD<
br>,因为
S
?ACQ
S
?
S
?ABC
S
?ACQ
?ABC
S
?
,
?ABP
S
?ABP
1
AC?CQsin?ACQ
1
AC?BCsin?ACB
1
AC?AQsin?CAQ
所以
2
1
?
2
,
①
2
AB?BCsin?ABC
1
?
2
1
2
AB?BPsin?ABP
2
AB?APsin?BAP
由题设,
BP,CQ
是圆
?
的切线,所以
?ACQ??ABC
,
?
ACB??ABP
,又
?CAQ??DBC??DCB??BAP
(注意
D<
br>是弧
BC
的中点),于是由①知
AB?AQ
AC?AP
?CQ
BP
因为
?CAQ??BAP
,所以
?BAQ??CAP<
br>,
S
1
?ABQ
2
AB?AQsin?BAQ
于是
AB?AQ
S
??
③
?ACP
1
AC?
APsin?CAP
AC?AP
2
S
1
?BCQ
2
BC?CQsin?BCQ
而
CQ
S
?
?BCP
1
?
④
2
BC?BPsin?CBP
BP
由②,③,④得
S
?ABQ?CBQ
S
?
S
?ACP
S
,
?BCP
即
S
?ABQ
S
?
S
?ACP<
br>?CBQ
S
?BCP
②
又
S
?ABQ
S
?CBQ
?
AX
S
?ACP
AY
?
,
XC
S
?BCP
YB
故
AXAY
?
XCYB
AXCMBY
???1
,
XCMBYA
设边
BC
的中点为
M
,因为
所以由塞瓦定理知,
AM,B
X,CY
三线共点,交点即为
T
,故由
YXBC
可得
AT<
br>平分线段
XY
四、
解:考虑一组满足条件的正整数
(a1
,a
2
,
对
k?1,2,
,a
20
,b
1
,b
2
,,b
20
)
,5
,设
a
1
,
2
t
k
,a
20
中
取值为
k
的数有
t
k
个,根据
X
的定义,当
a
i
?a
j
时,
(i,j)?X
,因此
至少有<
br>?
C
k?1
5
个
(i,j)
不在
X
中,注意到
?
t
k?1
5
k
?20
,则柯西不等式
,我们有
555
111
5
120
22
C??(t?t)??
((t)?t)??20?(?1)?30
?????
kkkk
2
k?1
25
k?1
25
k?1k?1k?1
2
t
k
2
从而
X
的元素个数不超过
C
20
?30?190
?30?160
5
另一方面,取
a
4k?3
?a
4k?2
?a
4k?1
?a
4k
?k
(
k?1,2
,
,
b
i
?6?a
i
(
i?1,2,,5
),
,20
)
2
则对任意
i,j
(
1?i?j?
20
),有
(a
i
?a
j
)(b
i
?b<
br>j
)?(a
i
?a
j
)((6?a
i
)?(
6?a
j
))??(a
i
?a
j
)?0
22
等号成立当且仅当
a
i
?a
j
,这恰好发生
5
C
4
?30
次,此时
X
的元素个数达到
C
20?30?160
综上所述,
X
的元素个数的最大值为160.
、
四