2015年全国高中数学联赛模拟卷二试

2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试
(考试时间：150分钟 满分：180分)
姓名：_____________考试号：______________得分： ____________
一、（本题满分40分）
C
在
Rt?ABC
中，
CD
是斜边
AB
上的高，记
I
1
,I
2
,I
分
P
别是△ADC, △BCD,△ABC的内心，
I
在
AB
边上的射
影为
O
1
，
?CAB ,?ABC
的角平分线分别交
BC,AC
于
Q
I
P,Q
，且
PQ
的连线与
CD
相交于
O
2
，求证 ：四边形

I
2
I
1
O
1
I
2
O
2
为正方形．

二、（本题满分40分）
给定正数a, b, c, d, 证明：
a< br>3
?b
3
?c
3
b
3
?c
3
?d
3
c
3
?d
3
?a
3
d
3
?a
3
?b
3
???
?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
.

a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b

nA
n
?2(n?1 )
2k
三、（本题满分50分）
设
k?N
?
，定义
A
1
?1
，
A
n?1
?
，
n?1,2,?

n?2
证明：当
n?1
时，
A
n
为整数 ，且
A
n
为奇数的充要条件是
n?1或2(mod4)


四、（本题满分50分）
试求最小的正整数
n,
使得对于任何
n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之
和是7的倍数.
A
I
1
D O
1
B

一．证明：不妨设
BC
≥
AC
，由
?ADC~?CDB
且
I
1
,I
2分别是其内心，得
且
?I
1
DI
2
?
ACI
1
D
?

BCI
2
D
1
?ADB?90
0
??ACB
，所以
?DI
1
I
2
~?CAB
则
?I
2
I
1
D??CAB
①
2< br>设
?ADC,?BCD
的内切圆半径分别为
r
1
,r
2
，
Rt?ABC
的三边长为
a,b,c
，
I
1< br>,I
2
在
AB
边上的射影为
E,F
，
x?z ?by?z?ab?c?a
并且
AD?x,BD?y,CD?z
，则
r
1
?
，
,r
2
?,AO
1
?
222
b?c?ay?z?ax?z?b
所以
DO
1
?AO
1
?AD??x???r
2
?r
1
，
222

I
1
E?r
1
?r
2
? (r
2
?r
1
)?DF?DO
1
?O
1
F
，
EO
1
?r
1
?(r
2
?r)< br>1
?r?
2
IF
2
，
?
因此
?I
1
EO
1
??FO
1
I
2
．
?O
1
I
1
?O
1
I
2
且
?I
1
O
1
I
2
?
?
??I
1
O< br>1
E??I
2
O
1
F?
?
??O
1
I
2
F??I
2
O
1
F?
，②
2
则
D,O
1
,I
2
,I
1
四点共圆 < br>??I
2
O
1
F??I
2
I
1
D? ?CAB
（由①知）所以
O
1
I
2
AC
， 同理
O
1
I
1
BC
，
1
(b?c?a)CQBCCQBCab
AI
1
AO
1
2
b?c?a????CQ?
∴，又由角平分线性质得
???
1
QABAQA?CQ BA?BCa?c
I
1
PBO
1
(c?a?b)
c?a?b
2
1
CQ?CO
2
sin?ACD
ab
QO
2
S
?CQO
2
2
b?cb
同理
CQ?
，另一方面，
???
b?c
O
2
PS
?CPO
2
1
CP?COsin?BCD
a?ca
2
2
C
A I
1
QO
2
b?c?ab(b?c)
???
又
O< br>2
I
1
CA?
，
I
1
PO
2
Pc?a?ba(a?c)
P
而
a(a?c)(b?c?a)?b(b?c)(c?a?b)

Q
I
2222
?a(ab?ac?a?cb?c?ac)?b(bc?ba?b?c? ac?bc)


I
2
22
I
1
?a(ab?b)?b(ba?a)?0
，
第 1 页 共 24 页
A
D O
1
B

所以
O
2
I
1
CA
， 同理
O
2
I
2
BC
，
所以四边形
I1
O
1
I
2
O
2
为平行四边形，由②知四边形
I
1
O
1
I
2
O
2
为正方形．

二．解：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数下式成立

因为如果上式成立, 则原式的左边不小于

不失一般性, 可以在的假设下证明上述不等式.
如果, 只要将不等式两边同除, 令

于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件
此不等式证明如下：


2k2k
三．证明：注意到
(n?2)A
n?1
?nA< br>n
?2(n?1)

(n?1)A
n
?(n?1)A
n?1
?2n

2k?1
?2n
2k?1
得
(n?2)(n?1)A
n? 1
?(n?1)nA
n?1
?2(n?1)

的正数 证明

反复运用上式，得
A
n
?
得
2S(n)?
2S(n)
ttt
，其中
S(n)?1?2???n
，
t?2k? 1

n(n?1)
t
n
i?1
?
[(n?i)i?0
n
t
?i]?
?
[(n?1?i)
t
? i
t
]
，从而可知
n(n?1)|2S(n)
，因此
An
(n?1)
是整数.
（1）当
n?1或2(mod4)
时，由
S(n)
有奇数个奇数项知
S(n)
为奇数，所以
A
n
为奇数.
（2）当
n?0(mod4)
时，
()?0(mod4)
，
n2
t
n
ttt
[(n?i)?i]?()?0(mod4)
，所 以
A
n
为偶数
?
2
i?0
n?1
t
（3）当
n?3(mod4)
时，
()?0(mod4)
，
2故
S(n)?
故
S(n)?
n
2
?
[(n?1 ?i)
t
?i
t
]?(
i?1
n?1
2
n ?1
t
)?0(mod4)
，所以
A
n
为偶数
2
综上所述，命题成立，证毕.

四．解：首先，我们可以指出12个连续 正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任
一数的各位数 字之和都不是7的倍数，因此，
n?13
.
再证，任何连续13个正整数中，必有一 数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数
a
，称如下10
个数所构成的集合:
A
a
?{10a,10a?1,10a?9}
为一个“基本段”，13个连续 正整数，要么属于两个基
本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中 必有连续的7个数，属于
同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段
A
a?1,A
a
,A
a?1
时，其中必有连续10个数同属于
A
a
.现在设
a
k
a
k?1
a
1
a
0

a
k
a
k?1
kk
ii
i?0i? 0
a(a?1),
10
k
i
i?0
a
k?
a
k11
是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数
a(?a6)
0
字之和分别是
?
a,
?
a?1,,
?
a?6,
显 然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7
的倍数.因此，所求的最小值为
n? 13.


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2014全国高中数学联赛模拟题(2)
加试（二试）
9：40~12：10共150分钟 满分180分
平面几何、代数、数论、组合
1、（本题40分）在△ABC中，AB＞BC，K、M分别
是边AB和AC的中点，O是△ABC的 内心。设P点是
直线KM和CO的交点，而Q点使得QP⊥KM且QM∥BO，
证明：QO⊥A C。


2、（本题40分）已知无穷数列
?
a
n
?
满足
a
0
?x,a
1
?y,
a
n?1
?
a
n
a
n?1
?1
?
n?1,2,?< br>?
.
a
n
?a
n?1
（1）对于怎样的实数x，y ，总存在正整数
n
0
,使当
n?n
0
时，
a
n
恒为常数？
（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式.

3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染< br>这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数 学竞赛题）
由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个 题目.求证:至少有三
个科学家相互之间讨论同一个题目. (第6届国际数学奥林匹克试题)

4、（本题50分）设
a
1
?3,a
n?1
?a
n
?a
n
?1,n?N
*
，证明：
（1）对所有
n,a
n
?3(mod4)
；（2）当
m?m
时，
(a
m
,a
n
)?1
（即
a
m
,a
n
互质）

1、证：作OR⊥AC于R，过P作MK的垂线，交直线OR于
Q点（如图）。这样只需证Q’M∥O，因为这时Q和Q’重合。
因为K，M分别为AB和 AC的中点，所以KM∥BC，于是
∠MPC＝∠BCP＝
2
1
∠ACB＝∠ MCP。因此MP＝MC＝MA，
2
这样一来，P点在以AC为直径的圆周上，且∠APC＝9 0°。
在四边形APOR中，∠APO＝∠ARO＝90°，所以APOR内
接于圆 ，∠RPO＝∠RAO＝
1
×∠BAC。
2
在四形边MPQ’R中 ，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R内接于圆，于是∠Q’MR＝∠Q’PR＝∠Q’PO111
∠BAC＝（90°－∠ACB）＋∠BAC。
222
111
设BO交AC于D，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠ACB－∠ABC＝90°＋∠BAC－∠ACB＝ ∠
222
＋∠OPR＝（90°－∠OPM）＋
Q’MR，因此MQ’∥BO，于是本 题得证。
第 3 页 共 24 页

x
2
?1
? x
，得不动点
x??1
.由不动点方法 2、解：由递归方程
f
?
x
?
?
2x
a
n
a
n?1
?1< br>?1
a
n?1
?1a
n
?a
n?1
aa?1 ?a
n
?a
n?1
?
a
n
?1
??
a
n?1
?1
?
a
n
?1a
n?1
?1
?
?
nn?1
?
??
.
aa?1
??? ?
aa?1?a?aa?1a?1
a
n?1
?1
a?1a?1
nn?1
nn?1nn?1nn?1
nn?1
?1
a
n
? a
n?1
令
b
n
?
a
n
?1
y? 1
x?1
，则
b
n?1
?b
n
b
n?1< br>?
n?N
?
?
.易知
b
0
?
，b
1
?
.
a
n
?1
y?1
x?1< br>FF
232
注意到
b
n
?b
n?1
b
n?2
?
?
b
n?2
b
n?3
?
bn?2
?b
n?2
b
n?3
?b
n?3
bn?4
???b
1
n?1
b
0
n?2
， 其中，
F
n?1
?F
n
?F
n?1
，
F
0
?F
1
?1
，
?
F
n
?为斐波那契数列.
?
y?1
?
a?1
?
?b
1
F
n?1
b
0
F
n?2
?
?
于 是，
b
n
?
n
??
a
n
?1
?< br>y?1
?
a?1
?
y?1
?
?
?
?
故
n
?
a
n
?1
?
y?1
??< br>F
n?1
F
n?1
?
x?1
?
??
?
x?1
?
F
n?2
.
?
x?1
???
x?1
??
F
n?2
?
n?2
?
.
（1）要使总存在正整数
n
0
，当
n?n
0
时 ，
a
n
恒为常数，还需分情况讨论.
（i）若
n
0
?1
，当
n?n
0
时，
a
n
恒为常数.
a
0
a
1
?1xy?1
y
2
?1
??y
，
a
3
?
由
a
1
?y
，
a
2
?
?y
，……
a
0
?a
1
x?y
2y
有
y?1
，且
y??x
. 此时，
a
n
恒为常数1或
?1
.
（ii）若
n< br>0
?2
，当
n?n
0
时，
a
n
恒为 常数.
首先，当
a
n
??1
?
n?n
0
?
时，如果
n
0
?3
，由
a
n
0
??1
，
a
n
0
?1
??1
及
a
n
0
?1
?
a
n
0
a
n
0
?1
?1
a
n
0
?a
n
0
?1
，有
a
n
0
?1
?1
.注意到
a
n
0
?1
??1
.又由
a
n
0
?
a
n
0
?1
a
n
0
?2
?1
a
n
0
?1
?a
n
0
?2
，有
a
n< br>0
?2
??1
.
于是，由
a
n
0
?1
?
a
n
0
?2
a
n
0
?3< br>?1
a
n
0
?2
?a
n
0
?3，有
a
n
0
?1
??1
，矛盾.
此时，只能 是
n
0
?2
，即
a
n
??1
?
n ?2
?
，所以，
a
2
?
xy?1
a
0a
1
?1
???1
，
a
0
?a
1x?y
a
3
?
a
1
a
2
?1a
2
a
1
?1
?1?y?1
xy?1
????1
， ……于是，
??1
，且
y?1?xy?x?y?1?0
，
a
1
?a
2
a
2
?a
1
?1?y
x?y且
y??x
，
y?1
?x??1
或
y??1
， 且
y??x
，
y?1
.
第 4 页 共 24 页

因此，当
x??1
或
y??1
，且
y??x
时， 取
n
0
?2
.当
n?2
时，
a
n
恒为常数
?1
.
其次，当
a
n
在
n?n
0
?
n
0
?2
?
时不恒为
?1
，但当n?n
0
时，使
a
n
恒为常数，故
a?1
?< br>y?1
?
?
a
n
??1
?
n?n
0
,n
0
?2
?
.则
n
?
?
?a
n
?1
?
y?1
??
显然，
F
n? 1
?
x?1
?
??
x?1
??
F
n?2< br>在
n?n
0
时恒为常数.
y?1
x?1
?1
.
?1
，
y?1
x? 1
若
y?1
aa?1
x?1
??1
，则
x?y?0
，有
a
2
?
01
的分母为0，矛盾.所以，只能
? ?1
且
a
0
?a
1
y?1
x?1
y?1< br>x?1
?0
，即
x?1
或
y?1
，且
y?? x
时，当
n?n
0
?
n
0
?2
?
时，
a
n
恒为常数1.
?0
或
y?1
x?1综上，当
x?1
且
y??x
或
y?1
且
x?? y
时，总存在正整数
n
0
，使当
n?n
0
时
a
n
恒为常数
1或
?1
.
a?1
?
y ?1
?
?
?
?
（2）注意到
n
?
a
n
?1
?
y?1
?
?
则
a
n
?
F
n?1
?
x?1
?
??
x?1
??F
n?2
?
n?2
?
.
FF
2
?< br>y?1
?
1?
?
?
y?1
?
?
??
n?1
F
n?1
?
x?1
?
??
x?1< br>??
n?2
n?2
F
n?2
2
?
y?1?
n?1
?
x?1
?
n?2
?1
??1
.
F
n?1
F
n?2
F
n?1
F
n? 2
?
y?1
??
x?1
?
?
?
y?1??
x?1
?
FF
?
y?1
??
x?1
?
故
a
n
?
?
y?1
?
F
?< br>x?1
?
F
n?1
?
?
y?1
?
n ?1
?
x?1
?
n?2
?
n?2
?
，a
0
?x
，
a
1
?y
.
F
n?1
F
n?2
?
?
y?1
??
x?1
?
FF
3、证明 设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、
AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不
妨设就是AB、AC、A D，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如
其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出 现（红色△ABC）；
如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现
了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.
证明 用平面上无三点共线的17个点A
1
,A
2
,…，A
17
分别表示17位科学
家.设他们讨 论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨
论z连黄线.于是只须证明以这1 7个点为顶点的三角形中有一同色三角
形.
考虑以A
1
为端点的线段A1
A
2
,A
1
A
3
,…，A
1
A
17
，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A
1
A
2
，
A
1
A
3
，…，A
1
A
7
为红色.现考查连结六点A
2
，A
3
，…，A
7
的 15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同
色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条 线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条
线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问 题得证. （属图论中的接姆赛问题.）
4、证明：（1）由递推关系得
a
n ?1
?1?a
n
(a
n
?1)
当
n?1
时 ，
a
1
?3?3(mod4)
，
a
n
?3?3(m od4)
即
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a
n
?4k ?3
，那么
a
n?1
?a
n
(a
n
?1) ?1?4(4k?3)(k?1)?1?3(mod4)
∴对所有
n
，
an
?3(mod4)

（2）由递推关系得
a
n?1
? 1?4a
n
a
n?1
a
n?2
a
1
不妨设
m?n
，得
a
m
|a
n
?1
，令
a
n
?1?qa
m
,q?N

则
(a
m,
a
n
)?(a
m
,qa
m
?1)?(a
m
,a
m
?1)?1


2014年全国高中数学联赛
加 试

1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC
上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直
线BD与AC交于点N，直线C D与AB交于点M．求证：若
OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．



2. （40分）设k是给定的正整数，
r?k?
明：存在正整数m，使 得
f
(m)
A
O
B
E
K
D
CP
Q
N
M
1
(l?1)
(l)
(r)),l? 2
．证．记
f
(1)
(r)?f(r)?
，
f(r)?f(f
rr
??
??
2
?
1
?
(r)
为一个整数．这里，
?
?1
，表示不小于实数x的最小整数，例如：
x
?
??
??
?
2
?
?
1
??
?1
．
?

3. （50分）给定整数
n?2< br>，设正实数
a
1
,a
2
,,a
n
满足
a
k
?1,k?1,2,,n
，记
A
k
?
求证：
a
1
?a
2
?< br>k
?a
k
,k?1,2,,n
．
?
a
k< br>?
?
A
k
?
k?1k?1
nn
n?1
．
2
A
n
的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，4. （50分） 一种密码锁的密码设置是在正n边形
A
1
A
2
同时在每个顶点处涂染 红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：
该种密码锁共有多 少种不同的密码设置？

解 答


1. 用反证法．若A ，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC
的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q ，
连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．
因为
PK?
P的幂（关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）

?PO?r
2
A
O
B
E
K
D
C< br>P
Q
?
22
?
?
?
KO
2
?r
2
?
，
M
N
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