2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.设
a,b
为不 相等的实数，若二次函数
f(x)?x
2
?ax?b
满足
f(a)? f(b)
，则
f(2)
的值为
2.若实数
?
满足< br>cos
?
?tan
?
，则
1
?cos
4?
的值为
sin
?
3.已知复数数列
{z
n
}
满足
z
1
?1,z
n?1
?z
n
?1?ni(n?1,2,3,?)
，其中
i
为虚数单位，
z
n
表示
z
n
的
共轭复数，则
z
2015
的值为
4.在矩形
ABCD
中，< br>AB?2,AD?1
,边
DC
（包含点
D,C
）上的动点P
与
CB
延长线上（包含
????????
????
? ???????????
点
B
）的动点
Q
满足
DP?BQ< br>,则向量
PA
与向量
PQ
的数量积
PA?PQ
的最小 值为
5.在正方体中随机取
3
条棱，它们两两异面的概率为
6.在平面直角坐标系
xOy
中，点集
K?(x,y)(x?3y?6)(3 x?y?6)?0
所对应的平面区域
的面积为
7. 设
?
为正实数，若存在
a,b(
?
?a?b?2
?
)
，使得
sin
?
a?sin
?
b?2
，则
?
的取值范围是
8.对四位数
abcd(1?a?9,0?b,c,d?9 )
，若
a?b,b?c,c?d
，则称
abcd
为
P
类数，若
a?b,b?c,c?d
，则称
abcd
为
Q
类数，用
N(P),N(Q)
分别表示
P
类数与
Q
类数的个 数，则
N(P)?N(Q)
的值为
??
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9.（本题满分16分）若实数
a,b,c
满足
2
a
?4< br>b
?2
c
,4
a
?2
b
?4
c，求
c
的最小值.
10.（本题满分20分）设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是
4
个有理数，使得
?
aa
ij
31
??
1?i?j?4
?
?
?
?24,?2,?,?,1,3
?
，求
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
的值.
28
??
x
2
11.（本题满分20分）在平面直角坐标系
xOy
中，
F< br>1
,F
2
分别是椭圆
?y
2
?1
的左、右焦 点，
2
设不经过焦点
F
1
的直线
l
与椭圆交于两个 不同的点
A,B
，焦点
F
2
到直线
l
的距离为d
，如果直
线
AF
1
,l,BF
1
的斜率依次 成等差数列，求
d
的取值范围.

一、（本题满分40分）设
a
1
,a
2
,?,a
n
(n?2)
是实数，证明：可以选取
?
1
,
?
2< br>,?,
?
n
?
?
1,?1
?
，使
?
n
??
n
??
n
2
?
得
?
?
a
i
?
?
?
?
?
i
a
i
?
?(n?1)
?
?
a
i
?
. ?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
二、（本题 满分40分）设
S?
?
A
1
,A
2
,?,A
n
?
，其中
A
1
,A
2
,?,A
n是
n
个互不相同的有限集合
（
n?2
），满足对任意的
A
i
,A
j
?S
，均有
A
i
?A
j
?S
，若
k?minA
i
?2
.证明：存在
x? ?A
i
，
1?i?n
i?1
n
22
使得
x
属于
A
1
,A
2
,?,A
n
中的至少n
个集合（这里
X
表示有限集合
X
的元素个数）.
k
?
上一点，点
K
在线段
AP
上，使得三、（本题满分50分 ）如图，
?ABC
内接于圆
O
，
P
为
BC
BK
平分
?ABC
，过
K,P,C
三点的圆
?
与边
AC
交于
D
，连接
BD
交圆
?
于点
E
，连接
PE
并
延长与边
AB
交于点
F
.证明：
?ABC?2?FCB
.（解题时请将图画在答卷纸上）

A






F

O

K


E
B


P


?


四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数
k
：
(kn)!对任意正整数
n
，
2
(k?1)n?1
不整除.
n!


D
C