高中数学联赛数论专题

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第一章 数论专题


我们把未知数的个数多于方程的个数,且其解受 到某种限制的方程,叫做不定方程.通常主要研
究不定方程的正整数解、整数解、有理数解等.
不定方程问题的常见类型是：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）确定不定方程解的数量（有限还是无限）.
不定方程问题的常用解法是：
（1）代数分析与恒等变形法，如因式分解、配方、换元等；
（2）估计范围法，利用不等式放缩等方法,确定出方程中某些变量的取值范围,进而求整解；
（3）同余法，即恰当选取模m,对方程两边做同余分析,以缩小变量的范围或发现性质,从而得< br>出整解或判定无解；
（4）构造法，构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解；
（5） 无穷递降法，无穷递降法是一种用反证法表现的特殊形式的归纳法,由Fermat创立并运用
444< br>它证明了方程x+y=z没有非零整解.从此,无穷递降作为一种重要的数学思想方法广为流传应用,并< br>在平面几何、图论及组合中经常用到它.
yx-y
引例：求所有正整数对（x,y）满足x=y.

（




1.二元一次不定方程
定义1 形如ax+by=c（a,b,c∈Z, a,b不同时为0）的方程，称为二元一次不定方程.
定理1 不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是（a,b）|c.
定理2 设（x
0
,y
0
）是不定方程ax+by=c的一组整解,则此方程的一切整数解为（x,y）=
）,其中t∈Z.当（a,b）=1时, （x,y）=（x
0
+bt,y
0
-at）.

例1求不定方程3
x
+2
y
+8
z
=40的正整数解。

例2足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。那么，一个 球队
打14场球积分19分的情况共有多少种.

例3公元五世纪末，我国数学 家张丘建在他的名著《算经》里提出一个世界数学史上著名的“百
鸡问题”：“鸡翁一，值钱五，鸡母一 ，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏
各几何？”。

例4 时钟的刻度盘（写有数字1,2,…,12的圆盘），以其中心为轴，固定在教室的黑板上，刻
度盘可以 绕轴转过30° 的整数倍的任意角度。起初，在黑板上靠近刻度盘上的数字旁边的地方写
上“0”，然 后转动刻度盘若干次，每次转动停止后，都将刻度盘上的数加到靠近它旁边的黑板上所
写的数字，这样是 否可以做到：
（1）黑板上所写的数都是1984？
（2）黑板上所写的数除了一个之外，其余所写的数都是1984？
（3）黑板上所写的数除了两个之外，其余所写的数都是1984？

2.勾股数定理
222
定义2 形如x+y=z的方程叫做勾股数方程,并称满足（x,y）=1的解为方程的基本解.
n
引理 给定正整数n,且n≥2,则不定方程uv=w①,适合w>0,u>0,v>0,（u,v）=1的一切 正整数
nn
解为:u=a,v=b,w=ab,其中a>0,b>0,（a,b）=1 ②.

例1求最小的正整数n（n≥2）,使得为整数.

定理 方程x+y=z③适合 条件x>0,y>0,（x,y）=1,且2|x ④的一切正整数
2222
为:x=2ab, y=a-b,z=a+b,其中a>b>0,（a,b）=1,且a,b一奇一偶 ⑤.
222
推论 单位圆上一切有理点为
零,“±”号可任取.
及,其中a,b不全为

例2已知x+y=z无正整数解.求证:方程x+y=z也无正整数解.
nnn2n2n2

例3求方程2+3=
z
的所 有整数解（
x
,
y
,
z
）.
xy
2

3.沛尔（pell）方程
22*
定义3 通常pell方程指以下四个不定方程：x-dy=±1，±4，其中x，y∈Z， d∈N，且d不
是平方数。
如果pell方程的正整数解（x，y）中，使得x+
y
1
）为方程的最小解。 y最小的正整数解为（x
1
，y
1
），则称（x
1
，< br>
定理1设d∈N，d不是平方数，方程x- dy=1的最小解为（x
1
，y
1
），则
*22
x
n
=，
y
n
=
给出方程x- dy=1的全部正整数解.称x
1
+
22
，n=1，2，…。
y
1
为方程x-dy=1的基本解。
22

定理2设方程x-dy=-1的正整数解（x，y）中，使得x+
22
y最小的解为（x
1
，y
1
），则
x
n
=，

y
n
=
给出方程x-dy=-1的全部正整数解。
22
，n=1，2，…。

例1 设正整数d无平方因子，x
0
+y
0
为方程x-dy=1的基本解.求该方程 的正整数解（x，y），
22
使得x的所有素因子整除x
0
。
222222
定理3（1）当a为非零整数时，方程x- ay=1只有平凡解（±1，0）；方程x-ay=-1仅当a=±1
时有整数解（0，±1）。
22
（2）存在无穷多个非平方数d>0，使方程x-dy=-1无整解。

4.费尔马大定理
nnn
不定方程x+y=z（正整数n≥3）无正整数解.
费尔马大定理，是困扰人们近四百年的著名世界难题，已于1994年被普林斯顿大学教授
攻克。

例2 证明：存在无数个正整数
n
，使得[
n
]为完全平方数。

例3 试找出最大的
c∈R
，使得对任意正整数
n
，都有{n
}≥.（{
x
}=
x
-[
x
]，其中[x
]表示不超过
x
的最大整数）
+

不定方程的解法
1.因式分解法
将方程的一端化为常数，做因数分解，另一端含未知数的代数式因式 分解，再由各因式的取值
分解为若干方程组进行求解。
22
例1 求方程2x+5y=11（xy-11）的正整数解。

例2 求方程x-y=z的正整数解。其中y为素数，且3和y都不是z的约数。
332

例3 求方程x-5xy+6y-3x+5y-25=0整数解。
22

2.配方法
将方程一边变形为平方和的形式，另一边是常数。从而缩小解的存在范围，达到求解或判定无
解之目的。
22
例1 求方程x-12x+y+2=0的整数解。

例2 证明方程x+y+z+3（x+y+z）+5=0无有理数解。
222

例3 求方程x（y-1）+y（x-1）=1的整数解。
22

3.估计范围法
从方程的形式入手，依据不等式及其性质等确定方程解的存在范围，进而求解方程。
2
例1 求方程3x+7xy-2x-5y-35=0的正整数解。

例2 求所有整数组（a，b，c，x，y，z）满足：
（ⅰ），（ⅱ）a≥b≥c≥1，x≥y≥z≥1.

例3 求x+x=y+y+y+y的整解。
2432

例4 求方程的整数解。

4.同余法
若某不定方程有整解，则等式两边对模m 同余（m为任意正整数），这是原方程有解的一个必
要条件，据此可以缩小解的范围，或判定方程无解。
xy
例1 求|12-5|=7的全部正整数解（x，y）。

例2.求8+15=17的全部正整数解（x,y,z）。
xyz

例3.证明方程组没有整数解。

5.无穷递降法
运用无穷递降法主要是证明方程无正整数解。其一般步骤是：
先假定存在一组适合条件的正整数解 ，再设法构造出其它正整数解,要求必须是递降的，由于上
述过程可无限进行下去，再由严格递减的正整 数数列只有有限项，从而导致矛盾。还可从假设方程
的一组“最小解”，而递降得到更小解引出矛盾。
22n
例1.设p≡-1（mod4）,证明：对任意正整数n，方程x+y=p无正整数解。

例2.证明方程x+y-19xy-19=0无整数解。
442
例3.证明方程x+y=z没有正整数解。
22

6.构造法
即通过构造恒等式或一些特定方程,来证明不定方程有解或者有无穷多解.
3333
例1.证明方程x+y+z+t=1999有无穷多组整解。

例2.是否存在正整数m，使得方程
（a,b,c）。
有无穷多组正整数解

例3.证明：有无穷多个正整数n，使得



















n的整数部分[n]为完全平方数。
【不定方程练习题】
22
1.是否存在正整数m,n满足5m-6mn+7n=2006？请说明理由。
2y
2.求出所有正整数x,y使得x+615=2。
k
3.求出所有正整数对（n,k）使得（n+1）-1=n!。
24
4.证明方程3y=x+x没有正整数解。
mn
5.找出所有的正整数对（m,n）,使得6+2+2是一个完全平方数。
2
6.求所有正整数x,y,满足1!+2!+3!+…+x!=y。
2nn
7.设x
1
，x
2
是方程x-6x+1=0的两个根.证明:对于一切正整 数n,a
n
=x
1
+x
2
都是整数且不整除a
n< br>。
2005
8.若n个边长为正整数的正方体体积之和为2002。求n的最小值。

【知识点概要】
1、带余除法定理:设（a, b）是两个给定整数，a≠0. 那么，一定存在唯一的一对整数（q, r），
使得b=qa +r,0≤r <|a|.此外，a|b当且仅当r=0.（带余除法是初等数论中最重要、最基本、最直
接的工具。）
2、公因数、最大公因数、互素的定义和性质:
用（a
1
,a< br>2
,...,a
n
）记a
1
,a
2
,…,a
n
的最大公约数[a
1
,a
2
,...,a
n]记为a
1
,a
2
,...,a
n
的最小公倍数。特别的，若（a,b）=1则称a,b互素。
最大公因数的基本性质：（以下关于最大公约数的性质都不需要用到算术基本定理）
（1）（交换律）（a,b）=（b,a）
（2）（结合律）（（a,b）,c）=（a,（b,c））
（3）若a
1
|a
i
,i =2,3,…,n，则（a
1
,a
2
,…,a
n
）=a
1

（4）若p是素数，则

（5）若b=qa +r，则（a,b） =（a,r）.
















3、辗转相除法:任给整数m,n（n≠0）,则有如下带余除法链：
m=nq
1
+r
1
, 1≤r
1
n=r
1
q
2
+r
2
, 1≤r
2
1

r
1
=r
2
q
3
+r
3
, 1≤r
3
2

… …
R
k-1
=r
k
q
k+1
+r
k+1
, r
k+1
=0
裴蜀定理：一次不定方程ax+by =c有整数解当且仅当（a,b）|c.

【例题讲解】
1.{F F
0
=0,F
1
=1,F
n
=F
n－1
+F
n－
（n≥ 2），对于1≤i≤200,记gi
=（Fi,F
2007
）.
n
}是Fibonacci数列：
2
求g
i
的所有可能取值.

2.（1）求证：（2 -1,2-1）=2
mn
（2）求（2 +1,2+1）；
mn
（3）求（3 +1,3+1）。
mn（m,n）
-1；

3.（1）（Fermat型质数））求证：若1+2 是质数，则n一定形如2（其中k是非负整数）；
nnk
（2）求证：若1+2 +4是质数，则n=3（其中k是非负整数）。
nk

4.给定正整数m,n,求最小的正整数k,使得（10 -1）·（10-1）∣（10-1）。
mnk

5.由某些正整数 组成的集合X称为好集若：a,b∈X,a+b与|a-b|恰有一个属于X（a,b可以相
同）. （1）求包含2008的不同好集的个数；（2）求包含2010的不同好集的个数。

6.称正整数d为好数,如果对一切正整数x,y都有d|（（x+y） -x-y）当且仅当d|（（x+y）
777
-x-y）.（1）29是不是好数?（2）2009、2010是不是好数?
555

7.求所有不等正整数对（a，b），使得（a+ab+4）|（b+ab+4）.
22

8.黑板上开始时写着正整数组（m，n，m，n）.每步 对当时的数组（x，y，u，v）进行广义的欧
氏运算：若x >y，变为（x-y，y，u+v，v） ；而若x（此时它们等于最大公因数（m，n ））.
求证，结束时后两数的算术平均值等于最小公倍数[m，n]。

9.给定奇数n >1，正整数a（1≤a≤n-1）称为好数，若a及a+1都与n互素。求证：所有好数的乘积除以n的余数等于1（空集的乘积约定为1）.

10.求所有的正整数三元组（a，b，c）满足：a +b+c能同时被ab，bc，ca整除。
333222

【知识点概要】
p-
1
1、Fermat小定理：给定素数
p
，设整数
a
与
p
互素，则
a
≡1（mod
p
）。
φ（
m
）
2、Euler定理：给定整数
m
>1.设 整数
a
与
m
互素，则
a
≡1（mod
m
）
。

其中 ={modm的互不同余且都与m互素的代表元}，
是集合的元素个数。
是对乘、除法封闭的集合，||

3、阶的定义：使得
a
≡ 1（mod
m
）
, a ∈ M
﹡成立的最小正整数
k
称为
a
对于（mod
m
）的阶，
记作δ
m
（
a
）。
满足 δ
m
（
a
） = φ（
m
）的
a
（如果存在）,称为（
modm
）的原根。
4、欧拉函数 φ（
m
）的计算
（1）若（
m，n）=1，则φ（
mn
）=φ（
m
）φ（
n
）；
ee-1
（2）当
m
=
p
（其中
p
为质数）时，φ（
m
）=
p
（
p-
1）；
k

（3）若
m
的质因数分解式为
m
=

5、阶的主要性质：
k
（1）模数列
a
（mod
m
）的最小正周期为δ
n
（
a
）,其中
n
是
m
的与
a
互素的最大因数；

【例题讲解】
1.设三角形的三边长分别是整数l >m>n。已知
表示不超过x的最大整数。求种三角形周长的最小值。

其中{x}=x-[x]而[x]

2.十进制正整数
n
的各 位数字都由0或1构成，并且是585的倍数，求满足条件的最小正整数
n
。

10.n是合数，求证：（其中为Euler函数）。

11.求方程
n
= φ（
n
） + 402的正整数解（其中φ为Euler函数）。

3.
求证：分数
为纯循环小数，循环节长为6=7-1，而且一个循环节内有142+857=999。
（n为正整数）满足类似性质：（1）循环节长度为2n；（2）在一个循环节
n
内 前n项与后n项之和为10 -1的充要条件为：（i）2n+1=p为奇质数，（ii）10是modp的原根 ，
p-1k
即10≡1（modp）且p-1是满足10≡1（modp）的正整数里最小的一 个，并据此条件再找出两个这
样的分数。

5.设
p
为奇素数，
p
（1）
a ≥
2，求证：
a -
1的素因子要么整除
a -
1,要么必形如2
pk
+1 （
k ∈
Z）；
（2）求证：2
pk
+ 1型素数有无穷多个；
p
（3）若素数
q|
（
a
+ 1）,则或者
q|
（
a
+ 1）,或者
q
= 2
pk
+ 1（
k
为整数）。

2nn+1
6.（1）F
n
=2+1记求证：
F< br>n
的每个素因子都形如2
k
+1；（2）设
穷多个。
，则2
k
+1型素数有无
l

8.求证：任意2
n-
1个整数中必可找到
n
个，其和是
n
的倍数。


9.序列
a
0
，a
1
，a2
，···
定义如下：a
0
=2,……，a
k+1
=2 a-1（k≥0）.]。若奇素数
p
是
a
n
的
2
n
+3
因子，求证：
p=
1含因子2。
560
4.（Carmichael数）（1）求证
n
=561满足如下性质：对任意与561互质 的整数
a
都有
a
≡1
（mod561）；
n-1
（2）若
n
为合数且对与
n
互素的每个整数
a
都有
a
≡1（mod
n
）,称
n
为Carmichael数.
求证：
n
为Carmichael数的充要条件是
n
=
p
1
p
2

· · · p
k
,其中
k ≥
3
, p
i
（1
≤ i ≤ k
）
为不同的奇素数,且对每个
i
都满足（
p
i
-
1）
|
（
n-
1）.
2
k

7.
p,q
是质数且满足
q=2
p
+1.（1）求证：存在一个
q
的倍数
n
,其十 进制数码和不超过3；（2）
3是使得（1）中命题成立的最小者。



9.序列
a
0
, a
1
, a
2
, ……
定义如下：a
0
=2，……，a
k+1
=2a
k
-1（ k≥0），若奇素数
p
是
a
n
的因
2
n
+3
子,求证：
p-
1含因子2.
2

2.求证：对任意正整数n， 不是素数。

kk－1
3.求所有整数m >1，使得存在正整数k1
x + …+ a
k－1
x
+ a
k

满足：对每个整数x，f（x）都被m整除。

1 .黑板上开始时写着数1，2，3，…，n.每步可擦去两个数，代之以它们之和的最小素因子。
求所有 的正整数n，使得经过合适的操作，最后剩下97在黑板上。