2003年全国高中数学联赛试题(及答案)

2003年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题（每小题6分,满分36分）
1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是
(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049
2． 设a, b?R, ab≠0，那么，直线 ax?y+b=0和曲线 bx
2
+ay
2
=ab 的图形是
y y
O
x x
y
y
O
O
x
O
x

(A) (B) (C) (D)
3． 过抛物线y
2
=8(x+2) 的焦点F作倾斜角为60?的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂
线与x轴交于P点 ，则线段PF的长等于
163
16
8
(B) (C) (D)8
3

3
3
3
5
??
2
?
?
?
4． 若x?[?,?]，则y= tan(x+)?tan(x+)+cos(x+)的最大值是
123366
(A)
(A)
12111112
2
(B)
2
(C)
3
(D)
3

5665
5． 已知x,y都在区间(?2,2)内，且xy＝?1，则函数u=
(A )
9
4
+的最小值是
4?x
2
9?y
2
812
12
24
(B) (C) (D)
55
7
11
6． 在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=
3
，直线AB与CD的距离为2，夹角为
体积等于
(A)

二、填空题(每小题9分,满分54分)
7． 不等式|x|3
?2x
2
?4|x|+3＜0的解集是__________.
33
11
(B) (C) (D)
23
2< br>3
?
3
，则四面体ABCD的
x
2
y
28． 设F
1
,F
2
是椭圆
??1
的两个焦点，P是椭 圆上的点，且|PF
1
|:|PF
2
|=2:1，则△PF
1
F
2
的面积等于
94
__________.
9． 已知A={x|x
2
?4x+3＜0,x?R}, B={x|
2
1?x
?a
≤0, x
2
?2(a+7)x+5≤0,x?R}．若A?B, 则实数a的取值范围是
____________.
10． 已知a,b,c,d均为正整数，且log
a
b=
35
, log
c
d=，若a?c=9, 则b?d=________.
24
11． 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球 相切，且与圆
柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.

12． 设M
n
={
(十进制)
n位纯小数0.a
1
a
2
?a
n
|a
i
只取0或1( i=1,2,…,n?1)，a
n
=1}，T
n
是M
n
中元 素的个数，
S
n
是M
n
中所有元素的和，则
lim
S
n
=_______.
n??
T
n
三、解答题(每小题20分，满分60分)
3
?x?5
,证
2x?1?2x?3?15?3x?219

2
1
2. 设A、B、C分别是复数
z
0
?ai
,
z
1
??bi
,
z
2
?1?ci(a,b,c?R )
对应的不共线三点。
2
1. 已知
证：曲线
z?z
0< br>cos
4
t?2z
1
cos
2
tsin
2< br>t?z
2
sin
4
t(t?R)
与
?ABC
中平行于AC的中位线只有一个公共
点，并求出此点。
3. 一张纸上画有半径为R的圆O和 圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点
A
?
刚好与A
点重合 ，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当
A
?
取遍圆周上所有点时，求所有折痕 所在直线
上点的集合。

第二试

一、过圆外一 点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之
间，在弦C D上取一点Q，使
?DAQ??PBC
。求证：
?DBQ??PAC


?
3
t
??
3
m
??
3
n
?
二、设三角形的三边长分别是整数
l,m,n
且
l?m?n< br>,已知
?
4
?
?
?
4
?
?
?
4
?
，其中
{x}?x?[x]
，
?
10
??
10
??
10
?
求这种三角形周长的最小值。
< br>三、由n个点和这些点之间的
l
条连线段组成一个空间图形，其中
n?q
2
?q?1
，
l?
1
q(q?1)
2
?1,q? 2,q?N
，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有
2
q +2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA组成的图形） 。

2003年全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题
1
C
提示：
1. 注意到
45?2025
,
46?211 6
,故
a
2003
?2003?45?2048
;
22
2
B
3
A
4
C
5
D
6
B
x
2
y
2
??1
,观察图形可知； 2. 题设方程可化为
y?ax?b
和
ab
3. 易知直线AB的方程为
y ?3x
,因此A,B两点的横坐标满足方程
3x?8x?16?0
,从而弦AB中点的
横坐标为
x
0
?
2
416
4
,纵坐标y
0
?
,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=；
33
3
4. 原函数可化为
y?
?
??
?cos< br>?
x?
?
,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当
4
?
?
6
?
?
?
sin
?
2x?
?< br>3
??
2
11
3
;
6
x??
?
3
时，y取最大值
5. 消去y之后可得：u?1?
35
4
??
37?
?
9x
2
?
2
?
x
??
,用基本不等式可求得函数u的最小值
12< br>;
5
6. 可用等积法求得，过程略。

二、填空题
?
5?1
??
5?1
?
??
?
??
. 提示： 原不等式可以化为:
?
|x|?3
?
x
2
?|x| ?1?0

,3
7.
?3,?
???
2
?
???
2
?
??
8. 4
?PF
1
F2
是直角三角形，故
?PF
1
F
2
的面积为
S ?
9.
?4?a??1

提示：
A?
?
1,3
?
,令
f
?
x
?
?2
1?x
11
|PF
1
|?|PF
2
|??2?4?4
;
22
?a
,
g
?
x
?
?x
2
? 2
?
a?7
?
x?5
,则只需
f
?
x?
,g
?
x
?
在（1，3）上的图
?
f
?
1
?
?0
?
f
?
3
?
?0< br>?
象均在x轴的下方，其充要条件是
?
,由此推出
?4?a??1;
?
g
?
1
?
?0
?
?
g
?
3
?
?0
?
b
??
d
?
10．93 提示： 由已知得
a?b,c?d
,
a?
??
, c?
??
,又
a?c?9
，故
?
a
??
c
?
3
2
5
4
24

?
bd
2
?
2
?9
24
?
a?25,c?16
?
bd
2
??
bd
2
?
?
b
??< br>d
?
?
a
c
????
?????9
,推得, ;
????
?
2
??
2
??
2
?
a
??
c
?
?
a
c
??
a
c< br>?
?
b
?
d
?1
b?125,d?32
?< br>?
a
c
2
11．
4
8+2

提 示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个
边长为2的 正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在
底面上的射影M为弧AB的中点。
由于A1A=A1B=AB=2,
OM?OA?2
,
MN?2?1
,求得
A
1
M?
12．
?
A
1
N
?
2
?
?
MN
?
2
?
4
8 ,故所求的高为
4
8+2
；
1
1
n?1
?
111
?
1
提示：
T
n
?2
n?1
,
S
n
??2< br>?
?
2
?
?
?
n?1
?
?2
n?1
?
n

18
2
10
?
10
?
10
10

三、解答题
13．
证明：由
(a?b?c?d)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?2
?< br>ab?bc?cd?da?ac?bd
?
可得
a?b?c?d?2a
2
?b
2
?c
2
?d
2
,
当且仅当a=b =c=d时取等号 ……5分
则
2x?1?2x?3?15?3x?2
?
x?1
?
?
?
x?1
?
?
?
2x?3< br>?
?
?
15?3x
?


?2x?14?219
……………………………………………………15分
因为
x?1,2x?3,15?3x
不能同时相等，所以
2x?1?2x?3?15?3x?219
……………………………………20分 < br>14．设
z?x?yi
?
x,y?R
?
,则代入并由复数相等 可得
2
?
?
x?sint
?
2
?
??< br>y?a1?x?2b
?
1?x
?
x?cx
2
?
?
0?x?1
?
即
y?
?
a?c?2b
?
x?2
?
b?a
?
x?a
因为A,B,C不共
2
线 ，所以
a?c?2b?0
,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分
AB ,BC的中点分别是
D
?
?
?
1a?b
?
?
3b?c
?
?
,,E
?
,
?
,；
?< br>2
?
2
??
4
?
4
1
?
3 a?2b?c
?
……………………………10分
4
所以DE的方程为
y?
?
c?a
?
x?
2
1
113
1
??
联立两式得
?
a?c?2b
?
?
x?
?
?0
,得
x?
,注意到
??
,所以抛物线与
?ABC
中平行于AC的
2
424
2
??

中 位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为
?
,
?
1a?c?2b
?
?
,相应的复数为
24
??
z?
1a?c?2b
?i
…………………………………………………………15分
24
15．如图建 立直角坐标系，设
A
1
?
Rcos
?
,Rsin
?
?
,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，
则|PA|=|PA1 | ……5分
代入推得
2R
?
xcos
?
?ysin?
?
?R
2
?a
2
?2ax
………10分
可得
sin
?
?
?
?
?
?
R
2
?a
2
?2ax
2Rx?y
. 所以2
22
,
其中
sin
?
?
x
x?y< br>22
,
cos
?
?
y
x?y
22
R
2
?a
2
?2ax
2Rx?y
22
?1
…………15分
a
??
?
x?
?
y
2
2
??
平方后可化为
??1

222
?
R
? ?
R
??
a
?
????
?
??
?
2
??
2
??
2
?
a
??
x?
? ?
y
2
2
??
所求点的集合为椭圆
??1
外（含边 界）部分。…………20分
222
?
R
??
R
??
a
?
????
?
??
2
???
2
??< br>2
?




















2

2003年全国数学联赛二试解答
1、证明 ∵
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆，∴
?ADC??ABC
，由已知
?DAQ??PBC
，
∴
?ADC? ?DAQ??ABC??PBC??PBA
，而
?PQA
是△
ADQ
的一个外角，
?PQA??ADC??DAQ
，∴
?PQA??PBA
．
故
P
、
A
、
Q
、
B
四点共圆，从 而
?ABQ??APQ
．
所以
?QBD??CBD??ABQ??ABC

D
Q
A< br>P
C
B
?(180???CAD)??APQ??ADC?(180???AP Q??ADC)??CAD

??PAD??CAD
??PAC
．命题得证．

?
3
l
??
3
m
??
3
n
?
lmn
4
2、解 ∵
?
4
?
??
4
?
?
?
4
?
，∴
3?3?3（
mod10
）．
?
10
??
10
??
10
?
考虑 最小的正整数
p
，使之满足
3?1
（
mod10
）．∵3?1
（
mod10
），∴
4|p
．
令p?4q
，即
3
4q
?9
2q
?(10?1)
2q
?1
（
mod10
）．
于是
1?C
2q
?10?C
2q
?100?C
2q
?1000?1
（< br>mod10
），

?10?2q?100?
123
4
4
p44
2q(2q?1)2q(2q?1)(2q?2)
?1000??0
（
mod10
4
），
26
2q(2q?1)2q(2q? 1)(2q?2)
?2q?10??100??0
（
mod10
3
） ，∴
10|2q
，
5|q
．
26
10s(10s?1)1 0s(10s?1)(10s?2)
?100??0
（
mod10
3
）令
q?5s
，则
?10s?10?
，
26
10s(10 s?1)10s(10s?1)(10s?2)
?10??0
（
mod100
）即
?s?
，∴
5|s
．
26
50t(50t?1)50 t(50t?1)(50t?2)
?10??0
（
mod100
）令
s?5t
，则
?5t?
，
26
10t(50t?1)10t(50 t?1)(50t?2)
?t??10??0
（
mod20
），∴
5 |t

26
由
5|t
，
s?5t
，
q?5 s
知
125|q
，又
p?4q
，所以
500|p
．
123
而当
p?500
时，
1?C
250
?10? C
250
?100?C
250
?1000?324000?1
（mod10
）
4
即
3
500
?1
（
mod10
4
），且500为最小值．∴
(l?m?n)
min?3n?1500
，
又
l
、
m
、
n
为三角形三边，∴
l?m?n
，即
1000?n?500?n?n
，∴
n?500
，
n?501

所以
(l?m?n)
min
?3?501?1500?3003
．