高中数学的七大思想-高中数学学生课题
绝密★启用前
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）
1.设三个复数
1，
i
，
z
在复平面上对应的三点共线，且
z?5
，则<
br>z?
．
2.设
n
是正整数，且满足
n
?438427732293
，则
n?
．
3.函数<
br>f
?
x
?
?sin
?
2x
?
?si
n
?
3x
?
?sin
?
4x
?
的最小正周
期= ．
4.设点
P
，
Q
分别在函数
y?2
x
和
y?log
2
x
的图象上，则
PQ的最小值= ．
5.从
1,2,?,10
中随机抽取三个各
不相同的数字，其样本方差
s?1
的概率= ．
6.在边长为<
br>1
的正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1<
br>内部有一小球，该小球与正方体的对角线段
AC
1
相切，则小球半径的最大值=
．
2
5
????????????
H?ABC
7.设是的垂心，且
3HA?4HB?5HC?0
，则
cos?AHB?
．
8.把
1,2,?,n
按照顺时针螺旋方式排成
n
行
n列的表格
T
n
，第一行是
1,2,?,n
.例如：
2<
br>?
123
?
?
.设
2018
在
T
的
第
i
行第
j
列，则
T
3
?
?
89
4
?
i,j
?
?
．
100
??
?
?
765
?
?
二、解答题 （本大题共4小题，共86分.
9. 如图所示，设
ABCD
是矩形，点
E
，
F
分别是线段
AD
，
BC
的中点，点
G
在线段
EF
上，点
D
，
H
关于线段
AG
的垂直平分线
l
对称.求证：
?HAB?3?GAB<
br>.
x
2
y
2
10. 设
O
是坐标原点
，双曲线
C:
2
?
2
?1
上动点
M
处的切
线交
C
的两条渐近线于
A
，
ab
B
两点.
（1）求证：
?AOB
的面积
S
是定值；
（2）求
?AOB
的外心
P
的轨迹方程.
11. （1
）求证：对于任意实数
x
，
y
，
z
都有
x
2
?2y
2
?3z
2
?3
?
xy?yz?zx?
.
（2）是否存在实数
k?3
，使得对于任意实数
x
，
y
，
z
下式恒成立？
x
2
?2y
2
?3z
2
?k
?
xy?yz?zx
?
试证明你的结论.
12. 在正
2018
边形的每两个
顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此
图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数
.
2018全国高中数学联赛安徽省初赛答案
一、填空题
1.
4?3i
或
?3?4i
2.
213
3.
2
?
4.
1?ln
?
ln2
?
2
ln2
5.
1
15
6.
4?6
5
7.
?
6
6
8.
?
34,95
?
二、解答题
9
.解：由
E
，
F
分别是
AD
，
BC
的中点
，得
EFAB?AD
.
设
P
是
E
关于
l
的对称点，则
EPAG?l
，故四边形
AEPG
是等腰梯形. 进而
?PAG??EGA??GAB
，
?APG??GEA
，从而
AP?HG
.
再由
HP?DE?EA?PG
，得
?HAP??PAG??GAB
.
因此
?HAB?3?GAB
.
10.解：（1）M
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程
?<
br>?
与渐近线方程联立，得
A
?
x
1
,y
1<
br>?
?
?
?
?
??
?
a?b
?
B
?
x
2
,y
2
?
?
?
,?
.
xyxy
?
0
?
00
?
0?
?
abab
?
1
从而，
S?x
1
y
2
?x
2
y
1
?ab
是定值.
2
（2）由（1）可设
A
?
?
a,
?
b
?
，
B
?
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
?
ab
?
，
,
x
0
y
0
x
0
y
0
?
?
?
?
abab
?
?
ab
?
,?
?
，
P
?
x,y
?
，
?
为非零常数.
?<
br>??
?
22
由
PA?PO?PB
，得
?
x?
?
a
?
?
?
y?
?
b
?
a
??
b
??
?x
2
?y
2
?
?
x?
?
?
?
y?
?
.
?
??<
br>?
??
22
1
2
a?b
2
?
.
?
2
?
1
222222
2
上述两式相
乘，得
P
的轨迹方程为
ax?by?
?
a?b
?
.
4
从而有
ax?by?
?
?
a
2
2
?b
2
?
，
ax?by?
11.解：（1）由均值不等
式，
x?
1
2
2
3
2
1313
y?3xy
，
x
2
?z
2
?3xz
，
y
2<
br>?z
2
?3yz
.
22222
故
x
2?2y
2
?3z
2
?3
?
xy?yz?zx
?
.
（2）
?
kk
?
?
k
2
?<
br>2
?
k
2
?
2
?
k
2
?<
br>222
x?2y?3z?k
?
xy?yz?zx
?
?
?
x?y?z
?
?
?
2?
?
y?
?
3?
?
z?
?
?k
?
yz
22
?
?
4
?
4
?
?
??
2
?
2
?
k
2
??
k
2
??
k
2
?
k
?0
且
?
?k
?
?4
?2?
??
3?
?
. 上式
?0
恒成立当且仅当
2?
4
??
4
?
4
?
2
??
2<
br>2
化简得
k?22
且
k?6k?24?0
.显然，
k
?2?3
满足要求.
12.设
N
是此图形中三边颜色都相同的三
角形数目，
M
是此图形中三边颜色不全相同的三
角形数目，
x
i是以第
i
个顶点为端点的红色线段数目，则有
32
M?N?C
3
2018
，
2018
i?1
?
x
?
20
17?x
?
?2M
.
ii
33
当且仅当每个
x<
br>i
?1008
或
1009
时，
N
取得最小值
C
2018
.
?1009
2
?1008?2C
1009<
br>3
是可以取到的，例如把线段
i?i?jmod2018
?
1?i?2
018,1?j?504
?
染成
N?2C
1009
红色，其它线段染
成蓝色.