高中数学竞赛大纲(修订稿)

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高中数学竞赛大纲（修订稿）


在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是
连续 几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作
者为之振奋，热忱 不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动
持久、健康、逐步深入地开展， 应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定
《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。
《教 学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现
代化学好数学的积 极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修
课等多种方式，充分发展他们的 数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的
运算能力、逻辑思维能力和空间想象能 力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概
括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培 养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞 赛的最低要求。在竞赛中对
同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程 度，有更高的
要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲
授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少
而 精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
一试
全国高中数学联赛的一试竞 赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规
定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和 方法，在方法的要求上略有提高，其中概
率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距
离的平方和最小的点 --重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

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在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初 等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，
欧几里得除法，非负最小完全 剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点
及其性质。
3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。

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4、平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。