2019-2020年高中数学竞赛模拟试题五

2019-2020年高中数学竞赛模拟试题五
一、填空题（每小题
7
分，共
56
分）
1
、若< br>y?log
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为
R
?
，那么
a
的取值范围是 ．




2
、四面体
ABCD
中，
?ABC
是一个正三角形，
AD?BD?2
，
AD?BD
，
AD?CD
，则
D
到面
ABC
的距离为 ．





3
、若对于所有的正数
x ,y
，均有
x?y?ax?y
，则实数
a
的最小值是 ．




4
、已知
P
是正方形
ABCD
内切圆上的一点，记
?APC?
?
,?BP?D
?
，
tan
2
?
?tan
2
?
?
．
Y
D
C

P
O

X

AB




则

5
、等差数列
2,5,8,
是 ．



,2015
与
4,9,14,,2014
的 公共项（具有相同数值的项）的个数
6
、设
x
为锐角，则函数
y?s inxsin2x
的最大值是 ．






7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5,6,7,8,9< br>分别填写于一张
3?3
方格表的九个格子中，使得
每行三数的和，每列三数的和 皆为质数，你的填法是







二、解答题（共
64
分）
x
2
y
2
8、 （
14
分）如图，
CD
是椭圆
2
?
2
?1
的一条直径，
ab
过椭圆长轴的左顶点
A
作
CD
的平行线，交椭圆于
另一点
N
，交椭圆短轴所在直线于
M
，
证明：
AM?AN?CO?CD
．

Y
N
MO
D
B
X
A
C

9、（
15分）设
x,y,z
为正数，满足：
xy?yz?zx?1
，证明： xyz(x?y)(y?z)(x?z)?(1?x
2
)(1?y
2
)( 1-z
2
)








10、（
20
分）设集合
A?
?
1,2,
对于
A
的任一个
1008
元子集
X
，若存在
x, y?X
，
,2016
?
，
满足
x?y,xy
，则称
X
为“好集”，求最大的正整数
a
，（
a?A
），使得任一 个含
a
的
1008
元子集皆为“好集”．

2017年高中数学竞赛模拟试卷（5）答案
一、填空题（每小题
7
分，共
56
分）
1
、若< br>y?log
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为
R
?
，那么
a
的取值范围是 ．答案：
?16?a?16
．
解：由值域
y?R
，
?x? ax?65?1
，
?x?ax?64?0

?
22
???a
2
?4?64?0
，
?
?16?a?16
.
2< br>、四面体
ABCD
中，
?ABC
是一个正三角形，
AD?BD ?2
，
AD?BD
，
AD?CD
，则
D
到面
ABC
的距离为 ．答案：
解：如图，据题意得，
AB?
23
．
3
AD
2
?BD
2
?22
，
A
C
于是
BC?CA?AB?22
，
CD?
222
AC
2
?AD
2
?2
，
因
BC?BD?CD
，得
BD?CD
，从而以
D

为顶点的三面角是三直三面角，
四面体体积
V?
D
B
3< br>14
?AB
2
?23
，
AD?S
?BCD
?
，而
S
?ABC
?
4
33
123234
h?S
?ABC
?h
，由
h?
，
3333
若设< br>D
到面
ABC
的距离为
h
，则
V?
得到h?
23
．
3
若对于所有的正数
x,y
，均有
x?y?ax?y
，则实数
a
的最小值是 ．答案：
3
、
2
．
?
y
y
?
x
x
??
??2
， 解 ：由
?
?
?
?1
，得
??
?
x?y
??
x?y
?
x?yx?y
????
当
x?y
时 取等号．
22
D
?
，则内切圆上的一点，记
?APC?
?
,?BP?
4
、已知
P
是正方形
ABCD
tan< br>2
?
?tan
2
?
?
．答案：
8
．
Y
D
P
O
C
X
A B

解：如图建立直角坐标系，设圆方程为
x?y?r
，
则正 方形顶点坐标为
A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)
， 若点
P
的坐标为
P(rcos
?
,rsin
?
)
，于是直线
222
PA,PB,PC,PD
的斜率分别为
k< br>PA
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
，
k
PC
?
，
,k< br>PB
??,k
PD
??
1?cos
?
1?cos?
1?cos
?
1?cos
?
2
?
k?kPA
?
22
所以
tan
?
?
?
PC< br>?
?4(cos
?
?sin
?
)
，
?1?k
PA
k
PC
?
?
k?k
?
ta n
2
?
?
?
PDPB
?
?4(cos
?< br>?sin
?
)
2
，
?
1?k
PB
k
PD
?
由此立得
tan
?
?tan
?
? 8
．
解2：取特例，
P
在坐标轴上，则
?
?
?
， 这时，
tan
?
?cot
?
?
22
2
2
?2?tan
?
，
?tan
2
?
?tan
2
?
?2
2
?2
2
?8

1
, 2015
与
4,9,14,,2014
的公共项（具有相同数值的项）的个数
5
、等差数列
2,5,8,
是 ．答案：
134
．
解：将两个数列中的各项都加
1
，则问题等价于 求等差数列
3,6,9,,2016
与等差数列
5,10,15,
的公共项个 数；前者是
M?
?
1,2,3,
,2015
,2016
?< br>中的全体能被
3
整除的数，
后者是
M
中的全体能被
5
整除的数，故公共项是
M
中的全体能被
15
整除的数，这种数有?
2016
?
?134
个．
??
15
??< br>6
、设
x
为锐角，则函数
y?sinxsin2x
的最大值是 ．答案：
解：由
y?2sinxcosx
，
得
y?4sinxcosx?2(1?cosx)(1?cosx)?2cosx

242222
2
43
．
9
?
(1?cos
2
x)?(1?cos
2
x)?2cos
2
x
?
?
2
?
16
?2
?
?2?
，
?
??
?
3327
??
??
3
3

所以
y?
43
1
2
．当
cosx?
时取得等号． 9
3
7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5,6,7,8,9
分别填写于一张
3?3
方格表的九个格子中，使得
每行三数的和，每列三数的和皆为 质数，你的填法是
解答：（答案有多种）



1
2< br>8
7
6
4
9
3
5
x
2
y< br>2
8、（
14
分）如图，
CD
是椭圆
2
?< br>2
?1
的一条直径，
ab
过椭圆长轴的左顶点
A
作
CD
的平行线，交椭圆于
另一点
N
，交椭圆短轴所在直线于
M
，
证明：
AM?AN?CO?CD
．
证1：椭圆方程为
x?acos
?
,y?bsin
?
， < br>Y
N
M
O
D
B
X
A
C
点< br>A,N
的坐标为
A(?a,0),N(acos
?
,bsin
?
)
，则直线
AN
方程为
?
x??a?tcos
?
， ……
3'

?
y?tsin
?
?
代 入椭圆方程得到
(bcos
?
?asin
?
)t?2abtcos< br>?
?0
，
222222
2ab
2
cos
?
a
?
AN?t?
2
，
AM?(
?
?)，……
6'

bcos
2
?
?a
2
sin
2
?
cos
?
2
2a
2
b
2
因此
AM?AN?
2
，……
9'

222bcos
?
?asin
?
又据
AN
∥
CD，则点
C,D
坐标为：
C(?ODcos
?
,?ODsin?
)
，
D(ODcos
?
,ODsin
?
)< br>，……
12'

a
2
b
2
因为
C, D
在椭圆上，则
CO?
2
，而，
222
bcos
?
?asin
?
2
2a
2
b
2
CO?CD? 2CO?
2
，
bcos
2
?
?a
2
si n
2
?
2

因此
AM?AN?CO?CD
．… …
14'

证2：
易知
CD
的斜率
k
存 在，不妨令
CD:y?kx
，与椭圆方程联系，
解得
?
abka b
C
?
?,
b
2
?a
2
k
2b
2
?a
2
k
2
?
??
abkab< br>、D,
??
222
b
2
?a
2
k
2
??
b?ak
?
?
……
3'

?
?CO?
?
1?k
?
ab
222
2
b?ak22
,CD?
4
?
1?k
2
?
a
2< br>b
2
b?ak
222
,
?CO?CD?
2
?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak
222
……
6'

AN
方程为：
y?k
?
x?a
?
,?M
?
0,ka
?
.
将
A N
方程与椭圆方程联立，得
b
2
?a
2
k
2
x
2
?2a
3
k
2
x?k
2
a
2
?a
2
b
2
?0

??
2a
3
k
2
ab
2
?a
3
k
2
?xA
?x
N
??
2
,?x
N
?
2
……
9'

2222
b?akb?ak
2 kab
2
y
N
?
2
,?AM?a1?k
2
……
12'

22
b?ak
?
ab
2
?a
3
k
2
?
4k
2
a
2
b
4
2ab
2
1?k
2
AN?
?
2
?a?
??
2
，
2222
222
2
b?akb? ak
??
?
b?ak
?
2
?AM?AN?
2a2
b
2
?
1?k
2
?
b
2
? a
2
k
2
?CO?CD
…
14'

9、（
15
分）设
x,y,z
为正数， 满足：
xy?yz?zx?1
，证明：
xyz(x?y)(y?z)(x?z)?( 1?x
2
)(1?y
2
)(1-z
2
)

证：据条件，即要证
xyz(x+y+z-xyz)?(1?x)(1?y)(1-z)
①
也即
xyz(x+y+z)?1-(x?y?z)?(xy?yz?xz)

22222
222222222
222

22
② ……
3'

将此式各项齐次化，因为
1?(xy?yz?xz)?xy?yz ?xz?2xyz(x?y?z)
……
6'

x
2
?y< br>2
?z
2
?(x
2
?y
2
?z
2< br>)(xy?yz?xz)?
x
3
(y?z)?y
3
(x?z) ?z
3
(x?y)?xyz(x?y?z)
代入②，

只要证
xyz(x?y?z)?

2(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2)?x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y )?xyz(x?y?z)
即
x
3
(y?z)?y
3
(x? z)?z
3
(x?y)?2(x
2
y
2
?y
2z
2
?x
2
z
2
)?0
……
12'< br>
也即
xy(x?y)?yz(y?z)?xz(x?z)?0
。
此为显然，故命题得证．…
15'

证2：由题设得：
222y
?
x?z
?
?1?zx,x
?
y?z
??1?yz,z
?
x?y
?
?1?xy
，
三式相乘，故原不等式等价于证明：
?
1?zx
??
1?yz??
1?xy
?
?
?
1?x
2
??
1 ?y
2
??
1?z
2
?
……
3'

上式两边展开并化简得：
x
2
?y
2
?z
2?
?
xy?yz?zx
?
?
x
2
y
2
?y
2
z
2
?z
2
x
2
?
?
x
2
yz?xy
2
z?xyz
2
?
……
6'

配方得：
?
x?y
?
?
?< br>y?z
?
?
?
z?x
?
22
222
?
?
xy?xz
?
?
?
yz?xy
?
?< br>?
yz?zx
?

2
222
?x
2
?
y?z
?
?y
2
?
z?x
?
?z
2
?
x?y
?
……
9'

即< br>1?z
?
2
?
?
x?y
?
?
?1?x
?
?
y?z
?
?
?
1?y
?< br>?
z?x
?
2
2
2
2
2
?0
?
?
?
……
12'

0?x,y,z?1,?1?x2
?0,1?y
2
?0,1?z
2
?0,

?
?
?
?
显然成立. ……
15'

10、（
20
分）设集合
A?
?1,2,
对于
A
的任一个
1008
元子集
X
， 若存在
x,y?X
，
,2016
?
，
满足
x?y, xy
，则称
X
为“好集”，求最大的正整数
a
，（
a?A< br>），使得任一个含
a
的
1008
元子集皆为“好集”．
解： 因任何正整数
n
可以表为
n?2t
形式，其中
?
?N
，
t
为正奇数，于是集合
A
可划分
为以下
1008
个子集：
?
A
j
?mm?2
?
(2j?1),
?
?N,1?m?2016
，
j?1,2,
??
,1008
……
4'

对于集合
A
的任一个
1008
元子集< br>X
，只要集
X
中含有某一个
A
j
中的至少两个元素< /p>

x,y,(x?y)
，因
x?2
k
1
(2j? 1),y?2
k
2
(2j?1)
，
k
1
?k
2
，则
xy
；此时
X
为好集；
以下证明正整数
a
的最大值为
671
： ……
8'

若
a?671
时，对于
A
的任一个1008
元子集
X
，如果
X
中含有某个
A
j< br>中的至少两个元素，
则
X
便是好集；如果
A
j
中的< br>1008
个集合，每个集合中恰有一个元素在
X
中，那么
A
1 007
也有一个元素在
X
中，
但
A
?
为单元素集 ，于是
2013?X
，而
a2013
，
(2013?671?3?3 a)
，这
1007
?
?
2013
说明
X
仍 是好集，
因此
a?671
合于要求． ……
12'

下面说明当
a?672
时，存在含
a
的集
X
不是好集；分 两种情况：
??
(1)
、若
a?1009
，取
1008< br>元集
X
0
?
?
1009,1010,
因
X< br>0
中任两个不同元素
x?y
，均有
x
,2016
?< br>，则
a?X
0
，
y
，故
X
0
不为 好集，这种
a
不合要求．……
15'

,336
?
，
(2)
、若
672?a?1008
，记
X
1
?
?
672?jj?0,1,
X
2
?X
0

?
2(672?j)j?0,1,,336
?
，令
X?X
1
X
2
，则
X?1008
，且
a? X
1
，
若
X
中存在
x?y,xy
，因
x ?672
，
y?2016
，则
y?3x
；
若
x? 672
，如果
xy,x?y
，只有
y?2x
或者
y?3x< br>，此时
y
的取值只能是：
y?2?672?1344
，或者
y ?3?672?2016
；由于
1344?2(672?0),2016?2(672?336 )
，这说明，这两个数已被挖去，不在集合
X
中； ……
18'

若
x?672
，假若
xy
，只有y?2x
，这种数
y
也已悉数被挖去，即
y?X
，因此
X
不
是好集，这种
a
也不合要求．
综上所述，
a
的最大值为
671
． ……
20'