2017年全国高中数学联合竞赛精彩试题与解答(B卷)

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2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列
{an
}
中，
a
2
?2
，
a
3
?
3
3
，则
a
1
?a
2011
的值为 .
a
7
?a
2017
2.设复数
z
满足
z?9?10z?22i
，则
|z|
的值为 .
3.设f(x)
是定义在
R
上的函数，若
f(x)?x
是奇函数，f(x)?2
是偶函数，则
f(1)
的值为 .
4.在< br>?ABC
中，若
sinA?2sinC
，且三条边
a,b,c
成等比数列，则
cosA
的值为 .
5.在正四面体
ABC D
中，
E,F
分别在棱
AB,AC
上，满足
BE?3
，
EF?4
，且
EF
与平面
BCD
平行，
则?DEF
的面积为 .
6.在平面直角坐标系
xOy
中 ，点集
K?{(x,y)|x,y??1,0,1}
，在
K
中随机取出三个点 ，则这三个点两两
之间距离均不超过2的概率为 .
7.设
a
为非零实数，在平面直角坐标系
xOy
中，二次曲线
x?ay?a?0
的焦 距为4，则
a
的值
为 .
8.若正整数
a,b,c
满足
2017?10a?100b?1000c
，则数组
(a,b,c)的个数为 .
222
2x
二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式
|2?a|?|5?2|
对所有
x?[1,2]
成立，求实数
a
的 取值范围.










xx
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2
10.设数 列
{a
n
}
是等差数列，数列
{b
n
}
满 足
b
n
?a
n?1
a
n?2
?a
n
，
n?1,2,
.
（1）证明：数列
{b
n
}
也是等差数列；
（2）设数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的公差均是
d?0
，并且存在正整数
s,t
，使得
a
s
?b
t
是整数，求
|a
1
|
的最小值.









222
11.在平面直角坐 标系
xOy
中，曲线
C
1
:y?4x
，曲线
C2
:(x?4)?y?8
，经过
C
1
上一点
P
作一条倾
斜角为
45
的直线
l
，与
C
2
交 于两个不同的点
Q,R
，求
|PQ|?|PR|
的取值范围.










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2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数
a,b,c
满足
a?b?c?0< br>，令
d?max{a,b,c}
，证明：
(1?a)(1?b)(1?c)?1 ?d
2











二、（本题满分40分）
给定正整数
m
， 证明：存在正整数
k
，使得可将正整数集
N
?
分拆为
k个互不相交的子集
A
1
,A
2
,
个子集
Ai
中均不存在4个数
a,b,c,d
（可以相同），满足
ab?cd?m
.
,A
k
，每












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三、（本题满分50分）
如图，点
D
是 锐角
?ABC
的外接圆
?
上弧
BC
的中点，直线
D A
与圆
?
过点
B,C
的切线分别相交于点
P,Q
，
BQ
与
AC
的交点为
X
，
CP
与
AB
的交点为
Y
，
BQ
与
CP
的交点为
T
，求证：
AT
平分线段
XY
.



四、（本题满分50分）
设
a
1
,a
2
,,a< br>20
?{1,2,,5}
，
b
1
,b
2
,, b
20
?{1,2,,10}
，集合
X?{(i,j)1?i?j?20,( a
i
?a
j
)(b
i
?b
j
)?0}，求
X
的元素个数的最大值.











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一试试卷答案
1.答案：
8

9
a?a
2011
a?a
18
a
3
3
3< br>?
6
12011
?
6
?
. 解：数列
{a< br>n
}
的公比为
q?
，故
1
?
a
7< br>?a
2017
q(a
1
?a
2011
)q9
a
2
2
2.答案：
5

解：设
z?a?bi,a, b?R
，由条件得
(a?9)?bi?10a?(?10b?22)i
，比较两边实虚 部可得
?
a?9?10a
，解得：
a?1,b?2
，故
z? 1?2i
，进而
|z|?5
.
?
?
b??10b?22
3.答案：
?
7

4
2
解：由条件知，
f(1)?1??(f(?1)?(?1))??f(?1)? 1
，
f(1)?2?f(?1)?
两式相加消去
f(?1)
，可知：
2f(1)?3??
1
，
2
17
，即
f(1)??
.
24
4.答案：
?
2

4
解：由正弦定理知，asinA
??2
，又
b
2
?ac
，于是
a: b:c?2:2:1
，从而由余弦定理得：
csinC
b
2
?c2
?a
2
(2)
2
?1
2
?2
22
.
cosA????
2bc4
2?2?1
5.答案：
233

解：由条件知，
EF
平行于
BC
，因为正四面体
ABCD< br>的各个面是全等的正三角形，故
AE?AF?EF?4
，
AD?AB?AE?B E?7
.
由余弦定理得，
DE?
同理有
DF?37
. < br>作等腰
?DEF
底边
EF
上的高
DH
，则
E H?
于是
S
?DEF
?
AD
2
?AE
2< br>?2AD?AE?cos60
?49?16?28?37
，
1
EF? 2
，故
DH?DE
2
?EH
2
?33
，
2
1
EFDH?233
.
2
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6.答案：
5

14
3
解：注意
K
中共有9个点，故在
K
中随机取出三个点的方式数为< br>C
9
?84
种，
当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：
（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
（2）三点是边长为
1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有
4?4?16
种情况，
（3）三点是边长为
2,2,2
的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于
(0,0)
的有4个，直 角顶点位
于
(?1,0)
，
(0,?1)
的各有一个，共有8种情况 .
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为
6?16?8?30
，进而 所求概率为
305
?
.
8414
7.答案：
1?17

2
x
2
y
2
?1
，显然必须
?a?0
，故二次曲线为双曲线，其标准方程为解 ：二次曲线方程可写成
?
2
?
aa
y
2
x
2
2222
2
c?(?a)?(?a)?a?a
a?a?4
，又a?0
，，则，注意到焦距，可知
2c?4
??1
2
2
(?a)
(?a)
所以
a?
1?17
.
2
8.答案：574
解：由条件知
c?[
2017
]?2
，当
c?1
时，有
10?b?20
，对于每个这样的正整数
b
，由
10b?a?201
知，
1000
相应的
a
的个数为
202?10b
，从而这样的正整数组的个数为
b?10
?
(202?10b)?
20
(102?2)?11
?572
，
2< br>当
c?2
时，由
20?b?[
20172017
]
， 知，
b?20
，进而
200?a?[]?201
，
10010故
a?200,201
，此时共有2组
(a,b,c)
.
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综上所述，满足条件的正整数组的个数为
572?2?574
.
9.解：设
t?2
，则
t?[2,4]
，于是
|t?a|?|5?t|
对所有
t?[2,4]
成立，由于
x
|t?a|?|5?t|?(t?a)< br>2
?(5?t)
2
，
?(2t?a?5)(5?a)?0
，
对给定实数
a
，设
f(t)?(2t?a?5)(5?a)
，则f(t)
是关于
t
的一次函数或常值函数，注意
t?[2,4]
，因
此
f(t)?0
等价于
?
?
f(2)?(?1?a)( 5?a)?0
，解得
3?a?5

f(4)?(3?a)(5?a)?0?
所以实数
a
的取值范围是
3?a?5
.
22
10.解：（1）设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，则< br>b
n?1
?b
n
?(a
n?2
a
n?3?a
n?1
)?(a
n?1
a
n?2
?a
n< br>)

?a
n?2
(a
n?3
?a
n?1)?(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n< br>)?a
n?2
2d?(a
n?1
?a
n
)d
?(2a
n?2
?a
n?1
?a
n
)d?3d
2< br>
所以数列
{b
n
}
也是等差数列.
（2）由已知 条件及（1）的结果知：
3d?d
，因为
d?0
，故
d?
2 2
b
n
?a
n?1
a
n?2
?a
n
?(a
n
?d)(a
n
?2d)?a
n

21
，这样
3
2
?3da
n
?2d
2
? a
n
?

9
若正整数
s,t
满足
a
s
?b
t
?Z
，则
a
s
?b
t
?a
s
?b
t
?
22
?a
1
?(s?1) d?a
1
?(t?1)d?

99
s?t?22
??Z
.
39
s?t?22
记
l?2a
1
??
，则
l?Z
，且
18a
1
?3(3l?s?t?1)?1
是一个非零的整数，故
|18a
1
| ?1
，从而
39
1
|a
1
|?
.
18< br>1117
又当
a
1
?
时，有
a
1
? b
3
???1?Z
，
181818
1
综上所述，
|a
1
|
的最小值为.
18
?2a
1
?
22
11.解：设
P(t,2t)
，则直线
l
的方程为
y?x?2t?t
，代入曲线
C
2
的方程得，
(x?4)?(x?2t?t)?8
，
222
化简可得：
2x?2(t?2t?4)x?(t?2t)?8?0
①，
由于
l
与
C
2
交于两个不同的点，故关于
x
的方程①的判别式
?
为正，计算得，
2222
?
?(t
2
?2t?4)
2
?2((t
2
?2t)
2
?8) ?(t
2
?2t)
2
?8(t
2
?2t)?16?2(t< br>2
?2t)
2
?16

4
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??(t
2
?2t)
2
?8(t
2
?2t)??(t
2
?2t)(t
2
?2t?8)
??t(t?2)(t?2)(t?4)
，
因此有
t?(?2,0)(2,4)
，②
2
设
Q,R的横坐标分别为
x
1
,x
2
，由①知，
x
1< br>?x
2
?t?2t?4
，
x
1
x
2
?
1
2
((t?2t)
2
?8)
，
2
因此，结合
l
的倾斜角为
45
可知，
|PQ| |PR|?2(x
1
?t
2
)2(x
2
?t
2)?2x
1
x
2
?2t
2
(x
1
?x
2
)?2t
4

?(t
2
?2t)
2?8?2t
2
(t
2
?2t?4)?2t
4

?t
4
?4t
3
?4t
2
?8?2t
4
? 4t
3
?8t
2
?2t
4

?t
4
?4t
2
?8

?(t
2
?2)
2
?4
，③
由②可知，
t?2?(?2,2)
2
(2,14)
，故
(t
2
?2)< br>2
?[0,4)(4,196)
，从而由③得：
|PQ||PR|?(t2
?2)
2
?4?[4,8)(8,200)

4?2t?t
2
|?22
， 注1：利用
C
2
的圆 心到
l
的距离小于
C
2
的半径，列出不等式
|
2< br>同样可以求得②中
t
的范围.
注2：更简便的计算
|PQ||PR|
的方式是利用圆幂定理，事实上，
C
2
的圆心为
M(4,0)
，半径为
r?22
，
22222242
故
|PQ||PR|?|P M|?r?(t?4)?(2t)?(22)?t?4t?8
.









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加试试卷答案
一、
证明：当
d?1
时，不等式显然成立
以下设
0?d?1
， 不妨设
a,b
不异号，即
ab?0
，那么有
(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0

因此
(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c
2
?1?c
2
?1?d
2

二、
证明：取
k?m?1
，令
A
i
?{xx?i(modm?1),x?N
?
}
，
i?1,2,,m?1

设
a,b,c,d?A
i
，则
a b?cd?i?i?i?i?0(modm?1)
，
故
m?1ab?cd
， 而
m?1m
，所以在
A
i
中不存在4个数
a,b,c,d< br>，满足
ab?cd?m

三、
证明：首先证明
YXBC，即证
AX
XC
?
AY
YB

连接
B D,CD
，因为
S
?ACQ
S
?
S
?ABC
S
?ACQ
?ABC
S
?
，
?ABP
S
?ABP
1
2
AC?CQsin?ACQ
1
AC?BCsin?A CB
1
AC?AQsin?CAQ
所以
1
?
2
1< br>?
2
1
， ①
2
AB?BCsin?ABC
2< br>AB?BPsin?ABP
2
AB?APsin?BAP
由题设，
BP ,CQ
是圆
?
的切线，所以
?ACQ??ABC
，
?ACB ??ABP
，又
?CAQ??DBC??DCB??BAP
（注意
D
是弧
BC
的中点），于是由①知
AB?AQCQ
AC?AP
?
BP
因为
?CAQ??BAP
，所以
?BAQ??CAP
， 于是
S
1
?ABQ
2
AB?AQsin?BAQ
AB? AQ
S
?
1
?
③
?ACP
AC?APs in?CAP
AC?AP
2
S
1
?BCQ
2
BC? CQsin?BCQ
而
CQ
S
??
④
?BCP
1
BC?BPsin?CBP
BP
2
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②

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由②，③，④得
S
?ABQ
S
?ACP
?
S
?CBQ
S
?BCP
，
即
S
?ABQ
S
?CBQ
S
?ABQ
S< br>?CBQ
?
S
?ACP

S
?BCP
AX
S
?ACP
AY
?
，
SYB
XC
?BCP
又
?
故
AXAY

?
XCYB
AXCMBY
???1
，
XCMBYA
设边
BC
的中点为
M
，因为
所以由塞瓦定理知，
AM,B X,CY
三线共点，交点即为
T
，故由
YXBC
可得
AT< br>平分线段
XY

四、
解：考虑一组满足条件的正整数
(a< br>1
,a
2
,
对
k?1,2,
,a
20
,b
1
,b
2
,,b
20
)

,5，设
a
1
,,a
20
中取值为
k
的数有
t
k
个，根据
X
的定义，当
a
i
?a
j
时，
(i,j)?X
，因此至
少有
?
C
k?12
t
k
5
2
t
k
个
(i,j)
不在
X
中，注意到
?
t
k?1
5
k
?2 0
，则柯西不等式，我们有
555
111
5
120
22C??(
?
t
k
?
?
t
k
)??((
?
t
k
)?
?
t
k
)??20?(?1) ?30

?
2
k?1
25
k?1
25
k? 1k?1k?1
2
从而
X
的元素个数不超过
C
20
?30?190?30?160

5
另一方面，取
a
4k?3
?a
4k?2
?a
4k?1
?a
4k
?k
（k?1,2,
，
b
i
?6?a
i
（
i?1,2 ,,5
），
,20
）
2
则对任意
i,j
（
1?i?j?20
），有
(a
i
?a
j
)(b
i
?b
j
)?(a
i
?a
j
)((6?a
i
)?(6?a
j
))??(a
i
?a
j
)?0
22
等号成立当且仅当
a
i
?a
j
，这恰好 发生
5C
4
?30
次，此时
X
的元素个数达到
C< br>20
?30?160

综上所述，
X
的元素个数的最大值为160.






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