【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案

【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．若
a,b,c?R,a?b,
则下列不等式成立的是( )
A．
C．
11
?

ab
ab
?

c
2
?1c
2
?1
B．
a
2
?b
2

D．
ac?bc

3.下列函数为偶函数，且在
(??,0)
上单调递减的函数是( )
A．
f(x)?x
B．
f(x)?x
?3

1
x
C．
f(x)?()

2
2
3
D．
f(x)?lnx

4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中
正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
C．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β
5. 等比数列
?
a
n
?
的前项和为
S
n
，且
4a
1
,2a
2
,a
3
依次成 等差数列，且
a
1
?1
,
则
S
10
=( )
A．512 B. 511 C．1024 D．1023
x
2sin
2
2
－1
π
6．已知f (x)＝2tanx－
xx
，则f(
12
)的值为( )
sin
2
cos
2
A.
83
B. 8 C．4 D. 43
3
?
y≥x，
7．设变量x，y满足约束条件
?
x＋3y≤4，
则z＝x－3y的最大值为(
?
x≥－2，
A．10 B．
?8
C．6 D．4
8．已知
x?0,y?0
，且
)
21
??1
，若
x?2y?m
2
?2m
恒成立，则实数m
的取
xy
试卷第1页，总8页

值范围是（ ）
A．
m?4或m??2
B.
m?2或m??4

C．
?4?m?2
D.
?2?m?4

9. 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1 ，BD＝2，BD⊥CD.将四
边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥ 平面BCD，
则下列结论正确的是
( )


A．A′C⊥BD
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
B．∠BA′C＝90°
1
D．四面体A′－BCD的体积为
3

10. 已知定义在R上 的奇函数
f(x)
满足当
x?0
时，
f(x)?log
2< br>(x?2)?x?b,

则
f(x)?3
的解集为（ ）
A．
(??,?2)
∪
(2,??)
B .
(??,?4)
∪
(4,??)

C．
(?2,2)

11. 若直线
x?
D.
(?4,4)

5
?
9
?
和
x?
是函数
y?sin(wx?
?
)(w?0)
图象的两条相邻对
44
称轴，则
?
的一个可能取值为（ ）
A．
3
????
B. C． D.
4
432
?
log
1
( x?1),x?
?
0,1
?
,
?
12. 已知定义在R上的 奇函数
f(x)
满足当
x?0
时，
f(x)?
?
2

?
?
1?x?3,x?
?
1,??
?
,
则关于
x
的函数
F(x)?f(x)?a(0?a?1)
的所有零点 之和为（ ）
A．
2
a
?1

C．
1?2
?a





试卷第2页，总8页
B．
2
?a
?1

D．
1?2
a

二、填空题（每题5分,共20分）
?
?
??
??
13. 已知
a?(k,3),b?(1,4 ),c?(2,1),
且
(2a?3b)?c,
则实数
k?
____ _____。
14. 过点
P(2,?1)
且与原点的距离为2的直线方程为_____________。
15. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1?1,a
2
?3,
且
2na
n
?(n?1)a
n?1
?(n?1)a
n?1
(n?2,n?N
?
),

则
a
n
的最大值为_________。
n
k
x
对所有实数
2017
16. 已知函数
f( x)
的定义域为R,若存在常数
k
，使得
f(x)?
，给出下列函数 ：
x
均成立，则称函数
f(x)
为“期望函数”
xx
f( x)?
(4)
x
2
?x?1e
x
?1
其中为期望函数的是: ______________(写出所有正确的序号) 。

三、解答题（共六道大题，共70分）
（1）
f(x)?x
2
(2)
f(x)?xe
x
(3)
f(x)?
17．（10 分）在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
。且满足
csinC?bsinB?(a?b)sinA,

(1) 求角
C
的大小； (2) 若
c?5
，求
?ABC
的面积的最大值。

18. （12分）设直线
l
的方程为
(a?1)x?y?2?a?0.(a?R)
。
（1）若直线
l
在两坐标轴上的截距相等，求直线
l
的方程； O
为坐标原点，（2）若
a??1
，直线
l
与
x
轴、
y
轴分别交于
M,N
两点，求
?OMN

面积取最小值时，直线
l
对应的方程。

19．（12分）设向量
m?(sin2wx,cos2wx),

n?(cos
?
,sin
?
),
其中
?
?
??
??
?
2< br>,w?0,

函数
f(x)?m?n
的图象在
y
轴右 侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为
?
5
?
P(,1)
，在原点右侧与
x
轴的第一个交点为
Q(,0)
．
612
(1)求函数
f(x)
的表达式；
3
(2)在?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
.若
f(C)??1,CA?CB??,
且
2
a?b?23,
求边长
c
．

试卷第3页，总8页

20. （12分）正项数列< br>?
a
n
?
的前项和为
S
n
，
an
?4S
n
?2a
n
?1(n?N
?
)

2
(1) 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
4(?1)
n?1
a
n?1
(2) 若
b
n
?
，数列
?
b
n
?
的前项和为
T
n，求证：
T
2n?1
?1?T
2n
(n?N
?
).

(a
n
?1)(a
n?1
?1)

21.（12分）已知函数
f(x)
=1
?
（1）求实数
a
的值；
（2）对x∈（0，1]，不等式
s?f(x)?2
x
?1
恒成立，求实数s的取值范围；
（3）令
g(x)?
2
，若关于
x
的方程
g(2x)?mg(x)?0
有唯一实数解，
1?f(x)
a
（
a
为常数）为R上的奇函数．
2
x
?1
求实数m的取值范围．

22.（12 分）如图，⊙O的半径
OB
垂直于直径
AC
，
M
为
AO
上一点，
BM
的延
长线交 ⊙O于
N
，过点
N
的切线交
CA
的延长线于
P
．
PMPC
?
（1）求证：
PAPN
（2）若⊙O的半径为
3
，
OA
=
3
OM
，求
MN
的长．



2018竞赛高一初试试题答案
1.D 2．C 3.A 4.B 5. D 6．B 7. D 8. C 9.B 10. A 11.B 12.D
3
13. 3 14.
x?2或3x?4y?10?0
15. 16.（3）（4）
2
17．解：（1）由正弦定理得：
cba
?b?(a?b)
2R2R2R
c
2
?b
2
?a
2
?ab
c
a?b?c?ab
1
?
cosC? ,C?
23
222
……………………………..4分
试卷第4页，总8页