2017-2018年全国高中数学联合竞赛一模拟试题及答案

2017-2018年全国高中数学联合竞赛一试模拟试
题

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1．已知
A=
{< br>x
|
x
2
－4
x
+3<0，
x
∈< br>R
}，
B=
{
x
|2
1－
x
+a
≤0，
x
2
－2(
a
+7)
x
+5 ≤0，
x
∈R}
若
A
?
B
，则实数
a
的取值范围是 ．
x
2
y
2
2．已知椭圆
??1
的左右焦点分别 为
F
1
与
F
2
，点
164
P
在直 线
l
：
x?3y?8?23?0
上. 当
?F
1
P F
2
取最大值时，比
PF
1
PF
2
的值为 .
3．设
f(x)?sin
4
x?sinxcosx?cos4
x
，则
f(x)
的值域是 。
4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________.
5．函数y?x?x
2
?3x?2
的值域为____________.
6． 已知正整数
n
不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之
和，那么，这 样的
n
的个数是___________.
7．用[
x
]表示不大于实数
x
的最大整数， 方程lg
2
x
－[lg
x
]－2
=
0的实
根个数是 ．
8．各项均为实数的等比数列{
a
}前
n
项之和记为
S

=
10,
S
30
n

n

,若
S
10
=
70, 则
S
40等于__________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.

9．（本题满分16分）如图，有一列曲线P
0
, P
1
, P
2
, ……，已知P
0
所围
成的图形是 面积为1的等边三角形，P
k+1
是对P
k
进行如下操作得到的：将P
k
的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将
中间部分的线段去 掉(k=0,1,2,3,…)，记S
n
为曲线P
k
所围成图形面积。 ①求数列{S
n
}的通项公式；②求
lim
n??
S
n
。



P
0

P
1
P
2





10．（本题满分20 分）如题10图，
P
是抛物线
y
2
?2x
上的动点，点在
y
轴上，圆
(x?1)
2
?y
2
?1
内切于
?PBC
，求
?PBC
面积的最小值．
[解] 设
P(x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
，不妨设
b?c
．
直线
PB
的方程:
y?b?
y
0?b
x
x
，
0
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
．
又圆心
(1,0)
到
PB
的距离为1，
y
0
?b?x
0
b
(y
2
?1
， …5分
0
?b)
2
?x
0
B, C

故
(y
2
0
?b)
2
?x
0
?(y
0
?b)
2
?2x
22
0
b( y
0
?b)?x
0
b
，
易知
x
0
?2
，上式化简得
(x
0
?2)b
2
?2y
0< br>b?x
0
?0
，
同理有
(x
0
?2)c
2
?2y
0
c?x
0
?0
． …10分
所以
22
b?c?
?2y
0
?x
02
4x
0
?4y
0
?8x
0
x
，bc?
，则
(b?c)
0
?2
x?2
?
0(x
0
?2)
2
．
因
P(x
0
,y
2
0
)
是抛物线上的点，有
y
0
?2x
0
，则
(b?c)
2
?
4x
2
0
2x< br>0
(x
，
b?c?
0
?2)
2
x
． …15分
0
?2
所以
S
?PBC
?
1
( b?c)?x
0
?
x
0
2x2
?x
4
0< br>?(x
0
?2)?
x
?4
?24?4?8
．
0
?
0
?2
当
(x
0
?2)
2
?4
时，上式取等号，此时
x
0
?4,y
0
??22
．
因此
S
?PBC
的最小值为8． …20分
11．（本题满分20分）设
f(x)?x
2
?a
. 记
f
1
(x)?f(x)
f
n
(x)?f(f
n? 1
(x))
，n?2,3,?
，
M?
?
a?R对所有正整数 n， f
n
(0)?2
?
.
证明：
M?
?
?
?2,
1
?
?
4
?
?
.

，

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1、【解】
A=
(1，3)；
2
1
x
+5
1－
x
又，
a
≤－2∈(－1，－)，当
x
∈(1，3) 时，
a
≥ －7∈(5－7，
42
x
－4)．
∴ －4≤
a
≤－1．
2、【解】 由平面几何知，要使
?F
1
PF
2
最大，则过
F
1
,F
2
，
P三点的圆必定
和直线
l
相切于
P
点。设直线
l
交
x
轴于
A
(?8?23,0)
，则
?APF
1< br>??AF
2
P
，
即
?APF
1
??AF2
P
，即
2
PF
1
PF
2
?
AP
AF
2< br>（1），又由圆幂定理，
AP?AF
1
?AF
2
（2），而< br>F
1
(?23,0)
，
F
2
(23,0)
，
A
(?8?23,0)
，从而有
AF
1
?8
，AF
2
?8?43
。代入（1），（2）得
PF
1
PF
2
?
AF
1
AF
2
?
8
?4?2 3?3?1
。
8?43

3、【解】
f(x)?sin4
x?sinxcosx?cos
4
x?1?sin2x?sin
22x
。令
t?sin2x
，则
11911919
f(x)?g (t)?1?t?t
2
??(t?)
2
。因此
ming(t)?g( 1)????0,

?1?t?1
22822824
19199
ma xg(t)?g(?)???0?
。 即得
0?f(x)?
。
?1?t?1
28288
1
2
1
2
4、【解 】设球半径为
R
，其内接圆锥的底半径为
r
，高为
h
，作轴截面，则
r
2
=h
(2
R
－
h
) ．
1
π
2
ππ
?
4
R
?
384
32

V
锥
=πrh=h
(2
R< br>－
h
)
=h
·
h
(4
R
－2
h
)≤
??
=
·
πR
．
3366
?
3
?
273
∴ 所求比为8∶27．
h
r

5、【解】
即
1
??< br>13
13
13
?2?
或
?2??
．
? 2?
等价于
log
1
x2
log
1
x2
l og
1
x2
2
2
2
log
1
x
2
1
或
1
??
7
．
log
1
x2
2
2
1
2
此时
logx??2
或
logx ?0
或
?
2
?logx?0
．
1
2
7
1
2
∴解为
x
>4或0<
x
<1 或 1<
x
<
2
．

6、【解】首项为a为的连续k个正整数之和为
S
k
?
由Sk≤2000，可得60≤k≤62.
当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤ 2000，可得a≤3，故
Sk=1830,1890,1950；
当k=61时，Sk =61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，
1952；
当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953.
于是，题中的n有6个.
7、【解】令lg
x=t
，则得
t
2－2
=
[
t
]．作图象，知
t=
－1，
t=< br>2，及1<
t
<2
内有一解．当1<
t
<2时，[
t
]
=
1，
t=
3．故得：
x=
共有3个实根。 < br>8、【解】首先
q
≠1，于是，
1
，
x=
100，< br>x=
10
3
，即
10
2
7
?
2a? k?1
?
k
2
?
k
?
k?1
?

2
a
1
q
－1
(
q
－1)
=10，
10
a
1
q
－1
(
q
30－1)
=
70，∴
q
20
+
q
10
+1
=
7．?
q
10
=
2．(－3舍)
∴ S
40
=
10(
q
40
－1)
=
15 0．

二、解答题：本大题共3小题，共56分
9、【解】①对 P
0
进行操作，容易看出P
0
的每条边变成P
1
的4条边， 故
P
1
的边数为3×4；同样，对P
1
进行操作，P
1的每条边变成P
2
的4条边，故
P
2
的边数为3×4
2
，从而不难得到P
n
的边数为3×4
n
…………5分
已知P
0
的面积为S
0
=1，比较P
1
与P
0，容易看出P
1
在P
0
的每条边上增加
了一个小等边三角形，其 面积为
1
11
，而P有3条边，故S=S+3×=1+
010
3
3
2
3
2
再比较P
2< br>与P
1
，容易看出P
2
在P
1
的每条边上增加了一个 小等边三角形，
其面积为
类
1
4111
×，而P有3×4条 边，故S=S+3×4×=1++
3

121
224
3
33 33
似地有：S
3
=S
2
+3×4
2
×
1
4
4
2
1
=1++
3
+
5
…………5分
3
33
6
3
144
2
4
n?1
∴S
n
=
1??
3
?
5
?
?
?< br>2n?1

3
333
3
n
4
k
=1+
?
()

4
k?1
9
=
(※) …………10分
下面用数学归纳法证明(※)式
当n=1时，由上面已知(※)式成立，
假设当n=k时，有S
k
=
??()
k

8
53
5
4
9
834
n
??()

559
当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较P
k+1
与 P
k
，P
k+1
在P
k
的每条边
上增加了一个小等 边三角形，其面积为
1
3
2(k?1)
，而P
k
有3×4< br>k
条边。故

S
k+1
=S
k+3×4
k
×
1
3
2(k?1)
=
??()< br>k?1

8
5
3
5
4
9
综上所述，对任何n∈N，(※)式成立。
②
8348
limS
n
?lim[??()
n
]?
…………16分
n??n??
5595

10、【解】 设
P(x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
，不妨设
b?c
．
直线
PB
的方程:
y?b?
y
0
?b
x
x
，
0
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
．
又圆心
(1,0)
到
PB
的距离为1，
y
0
?b?x
0
b
(y
?1
， …5分
0
?b)
2
?x
2
0
故
(y0
?b)
2
?x
2
0
?(y
0
?b)
2
?2x
0
b(y
0
?b)?x
22
0< br>b
，
易知
x
0
?2
，上式化简得
(x0
?2)b
2
?2y
0
b?x
0
?0
，
同理有
(x
0
?2)c
2
?2y
0
c?x
0
?0
． …10分
所以
b?c??2y
0
?x
22
0
x
，
bc?
，则
(b
2
4x
0
?4y
0
?8x
0
0
?2
x?2
?c)?
0
(x

0
?2)
2
．
因
P(x
0
,y
2
0
)是抛物线上的点，有
y
0
?2x
0
，则
(b?c)
2
?
4x
2
0
(x
0
?2)
2< br>，
b?c?
2x
0
x2
． …15分
0
?
所以
S
?PBC
?
1
(b?c)?x
x
0
2
0
?
x2
?x(x
4
0
?
0
?2)?
x
?4
?24?4?8
．
0
?
0
?2
当
(x
0
?2)
2
?4
时，上式取 等号，此时
x
0
?4,y
0
??22
．
因此
S
?PBC
的最小值为8． …20分
11、 【证明】（１）如果
a??2
，则
f
1
(0)?|a|?2
，

a?M
。 ………………………（5分）
1
4
（２）如果
?2?a?
，由题意
f
1
(0)?a
，
f
n
(0)?(f
n? 1
(0))
2
?a
,
n?2,3,?
. 则
① 当
0?a?
时，
f
n
(0)?
（
?n?1
）. 事实上，当
n?1
时，
f
1
(0)?a?
, 设
n?k?1
时成立（
k?2
为某整数），则对
n?k
，
f(0)?f
kk?1
1
4
1
2
1
2
?
1
?
11
(0)?a?
??
??
.
?
2
?
42
2
2
② 当
?2?a?0< br>时，
f
n
(0)?a
（
?n?1
）.事实上，当n?1
时，
f
1
(0)?a
,
设
n?k?1
时成立（
k?2
为某整数），则对
n?k
，有
?|a|?a ?f
k
(0)?
?
f
k?1
(0)
?
?a ?a
2
?a
.注意到 当
?2?a?0
时,总有
a
2
??2a
，即
2
a
2
?a??a?|a|
. 从而有
f
k
(0)?|a|
.由归纳法，推出
?
1
?
?2,
?
?M
。 ……………（15分）
?
4
??
（3）当
a?
1
1
时，记
a
n
?f
n
(0)
，则对于任意
n?1
，
a
n
?a?
且
4
4
2
a
n?1
?f
n?1
(0)?f(f
n
(0))?f(an
)?a
n
?a
。对于任意
n?1
，
1111
2
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n
?a?(a
n
?)
2
?a??a?
, 则
a
n?1
?a
n
?a?
。 所以，
244411
2?a
a
n?1
?a?a
n?1
?a
1< br>?n(a?)
。当
n?
时，
a
n?1
?n(a?)? a?2?a?a?2
，即
1
44
a?
4
f
n?1< br>(0)?2
。因此
a?M
。综合（１）（２）（３），我们有
1
??
M?
?
?2,
?
。 …………………………（20分）
4
??