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高中数学竞赛数论部分

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:11
tags:高中数学联赛

北师大高中数学必修四目录-高中数学教师定工作计划


初等数论简介
绪言:在各种数学竞赛中大量出现数论题,题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。
1. 请看下面的例子:
(1) 证明:对于同样的整数x和y,表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)
(2) ①设
n?Z
,证明
13
2n
?1
是168的倍数。
②具有什么性质的自然数
n
,能使
1?2?3?
(3) 证明:
n
3
?n
能整除
1?2?3?

n
?(1956年上海首届数学竞赛第一题)
31
?n
2
?n?1
对于 任何正整数
n
都是整数,且用3除时余2。(1956年北京、天津市首届数学竞
22
21n?4
不可约简。(1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题)
14n?3
,g
的最大公因数和最小公倍数,试证:
赛第一题)
(4) 证明:对任何自然数
n
,分数
(5) 令
(a,b,,g)

[a,b,
2
,g]
分别表示正整数
a,b,
2
a,b,c
??
?
a,b,c
?
?
(1972年美 国首届奥林匹克数学竞赛第一题)
?
a,b
?
?
?
b,c
?
?
?
c,a
?
?
a,b
??
b ,c
??
c,a
?
这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。
2.再看以下统计数字:
(1)世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛,从1894~1974 年的222个试题中,数论题有41题,占
18.5%

(2)世界上规模最大、规 格最高的IMO(国际数学奥林匹克竞赛)的前20届120道试题中有数论13题,占10.8% 。 这说明:数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内,那么 比例还
会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题:
(1)方程< br>x?6x?5x?y?y?2
的整数解
(x,y)
的个数是( )
A、 0 B、1 C、3 D、无穷多
(2007全国初中联赛5)
(2)已知
a,b
都是正整数,试问关于x
的方程
x
2
323
?abx?
1
?
a?b
?
?0
是否有两个整数解?
2
如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明。
(2007全国初中联赛12)
(3)①是否存在正整数
m,n
,使得
m( m?2)?n(n?1)

②设
k(k?3)
是给定的正整数, 是否存在正整数
m,n
,使得
m(m?k)?n(n?1)

(2007全国初中联赛14)


(4)关于
x,y
的方程
x ?xy?2y?29
的整数解
(x,y)
得组数为( )
A、2 B、3 C、4 D、无穷多
(2009全国初中联赛5)
(5)已知
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
是满足条件
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?9
的五个不同的整数,若
b

关于
x
的方程
(x?a
1
)
22
?
x?a
2
??
x?a
3??
x?a
4
??
x?a
5
?
?2009的整数根,则
b
的值为
(2009全国初中联赛8)
(6)已知正整数
a
满足
192
(2009全国初中联赛12) < br>(7)
n
个正整数
a
1
,a
2
,
a
3
?191
,且
a?2009
,求满足条件的所有可能的正整数a
的和。
,a
n满足如下条件:
1?a
1
?a
2
??a
n
?2 009
;且
a
1
,a
2
,,a
n
中任意< br>n?1
个不同的
数的算术平均数都是正数,求
n
的最大值。
(2009全国初中联赛14)
(8)在一列数
x
1
,x
2
,x
3
,…
中,已知
x
1
?1
,且当
k
?
k?1
??
k?2
?
?
?
)
( 取整符号
?
a
?
表示
?2
时,
x
k
?x
k?1
?1?4(
???
?
4
??
4
?
不超过实数a的最大整数,例如
?
2.6
?
?2,
?< br>0.2
?
?0
)则
x
2010
等于( )
A、 1 B 、 2 C、 3 D、 4
(2010全国初中联赛4)
(9)求满足
2p?p?8?m?2m
的所有素数P和正整数m。
(2010全国初中联赛13)
(10)从
1,2,…,2010
这2010个正整 数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整
除? (2010全国初中联赛14)
(11)设四位数
abcd
满足
a?b?c ?d?1?10c?d
,则这样的四位数的个数为
(2011全国初中联赛10)
(12)已知关于
x
的一元二次方程
x?c x?a?0
的两个整数根恰好比方程
x?ax?b?0
的两个根都大1,求a+b+c
的值
(2011全国初中联赛11)
(13)若从
1,2,3,…,n
中任取5个两两互 素的不同的整数
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
其中总有一个整数是素数,求n的最大值。
(2011全国初中联赛13)
(14)把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列:
22
33 33
22


a
1
,a
2
,…a
n,例如
a
1
?2
2
?1
2
?3
a
2
?3
2
?2
2
?5
,……那么
a
2007
=
(2007福建省高一数学竞赛12)
(15)求最小的正整数n,使得集合
{1,2,3, …,2007}
的每一个n元子集中都有2个元素(可以相同),它们的和是2
的幂。
(2007福建省高一数学竞赛14)
(16)两条直角边长分别是整数a和b(其中b<1000),斜边长是b+1的直角三角形有( )
A、20个 B、21个 C、22个 D、43个
(2008福建省高一数学竞赛5)
(17)设
x

y
为非负整数 ,使得
x?2y
是5的倍数,
x?y
是3的倍数,且
2x?y?99
,则
7x?5y
的最小值为
(2008福建省高一数学竞赛11)
(18)正整数
a
1
?a
2
?…?a
12
中,若任意三个都不能成为三角形的三边长,则
(2008福建省高一数学竞赛12)
(19)设
S?{1,2,3,…,n}
(n 为正整数),若S得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除,求
n的最大值。 (2008福建省高一数学竞赛17)
(20)设
123500
???????log?log?log?…?log
?
x
?
是不超过x的最大整数,则
?
3333
????????
=
a
12
的最小值是
a
1
(2009福建省高一数学竞赛11)
(21)已知集合M是集合
S?{1,2,3,…,2 009}
的含有m个元素的子集,且对集合M的任意三个元素x,y,z均有x+y
不能整除z ,求m的最大值。
(2009福建省高一数学竞赛17)
(22)已知a,b,c为正整数,且
c?b?a?1

(a?
111
)(b?)(c?)
为整数,则a+b+c=
cab
1
,则n
100
(2011福建省高一数学竞赛12)
(23)正整数
n?500
,具有如下性质: 从集合
{1,2,…,500}
中任取一个元素m,则m整除n的概率是
的最大值是
(2008福建省预赛12)
(24)设
f(x)
施周期函数,
T
和1是
f(x)
的周期且
0?T?1
,证明:
(1)若T为有理数,则存在素数P,使
1

f(x)
的周期;
p


(2)若T为无理数,则存在各项均为无理数的数列(n=1,2,

)且每个
a
n
都是
f(x)

?
a< br>n
?
满足
1?a
n
?a
m
?0
,< br>周期 (2008全国高中联赛加试二)
(25)方程
x
?
x
?
?
9
的实数解事 (其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数)
2
(2009福建初赛9)
(26)设
x
i
?
?
2?1,2 ?1,i?1,2,…,2010
,令
S?x
1
x
2
?x< br>3
x
4
?…x
2009
x
2010

?
(1)S能否等于2010?证明你的结论;
(2)S能取到多少个不同的整数值?
(2009福建初赛14)
(27)设
k,l
是给定的两个正整数,证明:有无穷多 个正整数
m?k
,使得
C
m

l
互素。
(2009全国高中联赛加试三)
(28)已知集合
A?
k
?
xx ?a
0
?a
1
?7?a
2
?7
2
?a3
?7
3
?
,其中
a
i
?
?
0,1,2,3,4,5,6
?

i?0,1,2,3
,且
a
3
?0

若正整数
m,n?A
,且
m?n?2010,m ?n
,则符合条件的正整数
m
有 个。
(2010福建预赛6)
(29)将方程
x
3
?3?
?
x
?
?4
的实数解从小到大排列得
x
1
,x
2
,…x
k
,则
x
1
3
?x
2
3
?x
3
3
?…x
k
3
的值为
(2010福建预赛8)
(30)设
k
是给定的正整数,
r< br>数
m
,使得
f
(m)
1
?k?
,记
f
(1)
(r)?f(r)?r[r],f
(l)
(r)?f(f
( l?1)
(r))

l?2
。证明:存在正整
2
(r)为一个整数。这里,
[x]
表示不小于实数
x
的最小整数。
(2010全国高中联赛加试二)
(31)已知正整数x,y,z满足条件
xyz? (14?x)(14?y)(14?z)
,且
x?y?z?28
,则
x
2
?y
2
?z
2
的最大值为
(2011福建预赛7)
(32)证明:对任意整数
n?4,
存在一个
n
次多项式
f(x)?x?a
n?1
x
(1)
a
0< br>,a
1
,…,a
n?1
均为正整数;
(2)对任意正整数< br>m
,及任意
k(k?2)
个互不相同的正整数
r
1
, r
2
,…,r
k
均有
f(m)?f(r
1
)f(r
2
)…f(r
k
)

(2011全国高中联赛加试二)
(33)证明:存在无穷多个正整数
n
,使得n?1
有一个大于
2n?
2
nn?1
?…a
1
x?a
0
具有如下性质:
2n
的质因子。
(2008第49届IMO.3)


(34)设
n
是一个正整数,a
1
,a
2
,…a
k
(k?2)
是集合

a
i
(a
i?1
?1)

?
1,… ,n
?
中互不相同的整数,使得对于
i?1,…,k?1
都有
n
证明:
n
不整除
a
k
(a
1
?1)
(2009第50届IMO.1)
本资料主要介绍中学代数课程里未能深入谈到的整数的性质及其应用 ,初等数论的解题过程通常不涉及很多的基
础知识,重要的是机智和灵活。本资料除打上“*”的是少数 内容外,初二年以上的学生均可学习掌握。
为叙述方便,本资料中的字母均表示整数。交有Z,N*, Z*分别表示整数集,正整数集和非零整数集。
带余除法与整除

整数的概念、分类、自然数两种理论(基数理论,序数理论)
基数用于表示“多少”:将所有 有限集分类,使所含元素个数一样多的集合成为同一类,对每一类用一个记号来
表示它们(这一类的集合 )所含元素个数一样多这个共同特征。这个记号就是一个自然数。
公理化的方法:对已有的知识进行深 入的分析,选择其中一些基本关系作为不定义的概念,一些基本性质作为不
加证明的公理,建立起公理系 统。然后由所建立的公理系统出发,应用形式逻辑的方法,来给出其它有关概念的定义,
并证明各种命题 。
序数表示“第几”*(peano定理)如果非空集合N*中的某些元素之间有一个基本关系 “直接后继”(元素a的
直接后继记为a’),且N*满足以下条件:
**
?1?N,?a?N
1.,必有
a
?
?1
< br>2.
3.
a?b?a
?
?b
?
?
a?N*
,b?N
*
?
a
?
?b
?
?a?b
?
a?N
*
,b?N
*
?


4.N*的子集M若具有下面的性质
定理1 带余除法

a?Z

b?Z
则有且只有一对整数
q

r
,使得
a? bq?r
其中
0?r<
*
b

定义1、定理1中的
q

r
分别称
a
除以
b
的不完全商与最小非负余数 ,简称商和余数。
定义2、定理1中的
r?0
时(即
a?bq
时) 就称
a

b
的倍数,
b

a
的约数(或因 数)
a
能被
b
整除,
b
整除
a

记作
ba

性质1、① 0是任何数的倍数(0除外); ②
?1
是任何数的约束;
?
?ba
?
?
*

a?Z?aa
; ④
ba?
?
b?a

?
?
?
ba



ba?
ba?
?
?
; ⑥
?b?a
?
?a??b

?
ab
?
a?0
?
?
?
?
ba?
??
⑦ ; ⑧
?bcac
??
?bac

*
c?Z
?
c?Z
?
?
?
ba

ab?
?
?
?ac
; ⑩
k
i
?Z
bc
?
?
i?1,2,3,
nnn?1
ba
i
?
n
?
?
?b
?
k
i
a
i

i?1
,n
?
?
公 式1、
x?y?(x?y)(x
公式2、
x?y?(x?y)(x
公式3、< br>x?y?(x?y)(x
nn
nn
?x
n?2
y?
? x
n?2
y?
?x
n?2
y?
?xy
n?2
?y
n?1
)

(n?N
*
)

?xy
n?2
?y
n?1
)

n
是正偶数)
?xy
n?2
?y
n?1
)

n
是正奇数)
(以上三个公式中的
x,y
可以是任意实数) < br>n?1
n?1
例1、设
b?99
例2、设
a?c
99
(31位数)
a?9999
(1984位数),求证
ba

ab?cd
求证
a?cad?bc

定义3、能被2整除的数称偶数,不能被2整除的数称奇数。
性质2、用“0”代表偶数,“1”代表奇数,则有
① 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0 ②0
?
0=0,0?
1=0,1
?
0=0,1
?
1=1
③奇数个奇数的和还是奇数
④任意个奇数之积是奇数
*例3、设
p,q< br>都是正奇数,且
p?q?2
,求证
p?qq
q
?p
p

注意:奇偶分类在处理很多问题时有用。求末位数问题:

G(a)
表示
a
的末位数,则有
性质3、①
G (a?b)?G

G(a?b)?G

G(a
m
?
G(a)?G(b)
?

?
G(a)?G(b)
?

m
?
)?G
?
G(a)
??

④任一自然数的正整数次幂的末位数有周期变化的规律。
例4、 求
17
1988
的末位数
4R?n
例5、 ①设
n,R< br>为自然数,求证
G(a
4n
)?G(a
n
)

4
②设
n
为自然数,求证
G(a)?G(a)


例6、
G(67
67
67
)

c< br>b
性质4、①设
b
为奇数,
c
为偶数,则
G(a)? G(a)

b4
②设
b
为偶数,
c
为奇数(
c?1
)则
G(a)?G(a)

b
c
c
③设< br>b
为偶数,
c
为偶数,则
G(a)?G(a
4
)
b
c
④设
b
为奇数,
c
为奇数,(
c?1
)则
G(a
19
n个
19
)?G(a
b)

例7、求
G(22
*例8、求
a
19
)

12
11
2
?13
的末两位数。
例9、设
a1
,a
2
,a
3
,a
7

1,2,3 ,,7
这七个自然数的任何一种次序的排列,
(a
7
?7)
总是一个偶数。 求证:
(a
1
?1 )(a
2
?2)(a
3
?3)
例10、某班有49位同学,坐成七行 七列,每个座位的前、后、左、右的座位叫做它的“邻座”,要让这49位同学
中的每一位都换到他邻座 上去,问这种调换座的方案能否实现?
作为本节内容的结束,请注意以下两个重要的命题:
① 在
m(m?2)
个相邻整数中,有且只有一个数能被
m
整除。
② 若整数
g?1
,则任一正整数
a
能够唯一表示为
a?a
n
g?a
n?1
g
这里
a
i
?Z,n?0
,且
0?a
i
习题:
1. 用票面为3分和5分的邮票可以支付任何
n
(整数
n?7
)分的邮资。
2. 把十个数码0,1,2,3,4……,9任意两两搭配,组成没有重复数码的5个两位数,求证这 样5个两位数的和是9的
倍数。
3. 设
nn?1
??a
1
g?a
0

,n

p10a?b,p10c?d
,求证:
pad?bc

a
2
?1
4. 设
a
是奇数,求证:
8
5. 证明:各位数码全是1的数中,有且只有一个是平方数。
6. 证明:前
n
个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9
7. 设
a?Z
,求证
a(a?1)(a?2)(a?3)?1
时奇数的平方。
8. 设
a?k?10

n
为自然数,
k
是非负整 数,求证:
(a?1)(a?3)(a?7)(a?9)
的末三位数是189。
9. 证明:整数
a
能够表示成两个整数平方和的充要条件是
2a
也具有相同性质。
n


10. 设整数
x,a,b,c,d
互不相等,且
(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)?4
,求证
4x?a?b?c?d

11. 设
2n
,求证
16n
4
?4n
2
?11

3n
12. 设
f(n)?5?5
2n
?5
n
?1 (n?N
*
)
,证明:当且仅当
4n
时,
13f(n)
n
n3
13. 已知
n?0
,求证:
32?1

14. 证明:在任意
n< br>个整数中,总可以找到
k(1?k?n)
个整数,使它们的和是
n
的倍 数。
15. 能否把
1,1,2,2,3,3,
使得两个1之间夹着一个数,两个2 之间夹着两个数,……,
,1986,1986
这些数排成一行,
两个1986之间夹 着1986个数?请证明你的结论
(首届全国数学冬令营竞赛试题五)
16. 设正整数
d
不等于
2,5,13
,证明集合
27届IMO)
?
2,5,13,d
?
中可以找到两个不同元素
a,b
使
ab?1
不是完全平方数 (第
公因数与公倍数

定义1、若
d a
i
,i?1,2,,n,n?2
就称
d
是这几个数的公因数;
a
n
)
定义2、
n(n?2)
个不全为零的整数
a
i
的公因数中的最大数叫做这几个整数的最大公因数,记
(a
1
, a
2
,
性质一:
(a
1
,a
2
,
定义3、若
(a
1
,a
2
,
定义4、若
a
i
a
n
)?1

a
n
)?1
,则称
a
1
,a
2
,a
n
互素(互质)
m,i?1, 2,,n,n?2
,则称
m

a
i
的公倍数;
定 义5、非零整数的一切正的公倍数中的最小正数叫最小公倍数,记
定理1、若
a,b,c
不全为零,且
a?bq?c

(a,b)?(b,c)

性质二:
(a
1
,a
2
,
?
a
1
,a2
,a
n
?

,a
n
)?(a
1,a
2
,a
n
)

ca?
?
定理2、若
?
?c(a,b)

cb?
?
定理3、若整数
a,b
不全为零,则存在整数
x,y
使得
ax?by?(a,b)

性质三:
m?N

(ma,mb)?m(a,b)

性质四:若
(a,c)?1
,则
(ab,c)?(b,c)

定理4、若
a
*
k,bk
,则
?
a,b
?
k


定理5、若
a,b
是同号整数,则
例1、
例2、
例3、
例4、
例5、
形如
F
n2
n
?
a,b
?
?
a,b
?
?ab< br>
?2?1(n?0)
的数称费尔马数,求证
(F
i
,Fj
)?1
,这里
i,j
都是非负整数,且
i?j
**ab

a?N,b?N,

a?b
,证明
(2?1 ,2?1)?1?(a,b)?1

已知
(a,b)?1
,求证
(ab,a?b)?1

f(x)
使非零整系数多项式,
6
求证
(a?b,
f
?
2
?
,6f
?
3
?
,求证
6f
?
6
?

?
a,b
?
)?(a,b)
?
,
?
a,b
?
时,
?
??
?1
ab
??
mm
例6、 设
m?N
,证明:当且仅当
m?
*
例7、
例8、
例9、
已知
a
1
,a
2
,,a
n
是两两互素的正整数,求证:
?
a
1
,a
2
,,a
n
?
?a
1
a
2
a
3
a
n
求证平方数的正因数有奇数个,非平方数的正因数有偶数个。
有一百盏电灯,排成一行 ,自左向右,编号
1,2,3,,99,100
。每灯由一拉线开关控制,最初灯全关着。,100)
问:100个另有一百个学生顺次走过,第
k
个学生把凡是编号为k
的倍数的电灯开关拉一下,
(k?1,2,3,
学生全部过去之后,有哪几个编 号的灯还亮着?
习题:
1、设
a
k
表示各位数码都是1的
k

k?N
)位数,求证:
(a
m
,a
n)?1
的充要条件是
(m,n)?1
,这里
m,n?N
*
,且
m?n

2、设
ax
0
?by
0
是 形如
ax?by

a,b
不全为0)的数中最小正数。
求证:(1)
ax
0
?by
0
ax?by
; (2)
ax
0
?by
0
?(a,b)

3、设
(x,y)?1
,求证
(x?y,x?y)?1或2

4、设
(a,b)?d,(a
?
,b
?
)?d
?
,求证
(aa
?
,ba
?
,ab
?
,bb
?
)?dd
?

5、已知:
a,b
为非零自然数,
n?N

求证:(1)< br>(a,b)?(a,b)
;(2)
[a,b]?[a,b]

6、设< br>a?Z
,证明:数列
a,2a,3a,
7、设
a?Z
,求证< br>6
8、已知:
6
*
nnnnnn
,na

n
的倍数共有
(n,a)
个。
a(a?1)(2a?1)

?x
n
,求证
6x
1
?x
2
3
?
3
x
1
?x
2
?
?x
n
3
9、设
n
是奇数,
na?b,na?b
,求证
n(a,b)


10、设
(a,10)?1
,证明:各位数码全是1的数中有< br>a
的倍数
11、求证
(a,b,c)?((a,b),c)

本节的定义、定理、性质较为繁杂,为便于记忆,整理成以下图式:
素数与合数

自然数集的进一步分类:素数、合数、1
定义 如果大于1的整数
是合数。
例1:证明:对任给的正整数N*,总可找到N*个相邻的合数。
定理一:任一整数N*的最小因数P(P>1)是素数(N*>1)
定理二:素数有无限多个。
定理三:若N*是合数,P(P>1)是N*的最小正因数,则< br>p?
p
恰有两个正因数1与P,就说P是素数,如果正整数N*有多于两个的正因数,就 说N*
n

以上的例子和定理分别刻画了素数的某些分布特征和判断素数的方法。 < br>定理四:若
a
i
?Z,i?1,2,3,,n
,P是素数,
p a
1
a
2
a
n
则P整除某个
a
i

定理五:(唯一分解定理)每个大于1的整数,都可唯一地分解成素因数(不计因数的顺序)的积。 < br>推论:任一大于1的整数
a
可以唯一分解成
a?p
1
1
p
2
述方便,允许
?
i
?0
,上式称为
a
的标准分解式。
例2、设
2?1(m?N)
是素数,求证:
m
是2的非负整数次幂。
定理六:若
a,b
得标准分解式为
a?p
1
1
p< br>2

(a,b)?p
1
1
?p
2
2
rr
??
2
p
k
?
k
这里
p
i< br>是相异的素数,
?
i
是正整数。有时为了表
m
??
2
p
n
?
n

b?p
1
?
1
p
2
?
2
p
n
?
n

p
n
?
n

p
n
r
n

[a,b]?p
1
?
1
?p
2
?
2这里
r
i
?min(
?
i
,
?
i)

?
i
?max(
?
i
,
?
i
)

i?1,2,
例3、求证
[a,b,c](ab,bc, ca)?
,n

abc

?
1
?
2定理七:若
a
的标准分解式为
a?p
1
p
2
p
n
,则
a
的一切正因数的个数
?
(a)?
?
(
?
i
?1)

a
的一切正因
?
ni?1
n
p
i
?
i
?1
?1
数的和为
?
(a)?
?

p
i
?1
i?1
n
例4、证明形如
4n?1(n?N)
的素数有无限个。
哥德巴赫于1742年在和欧拉的通信中提出的猜想:


1. 每个大于5的偶数都是两个奇素数之和
2. 每个大于8的奇数都是三个奇素数之和
1973年5月《中国科学》杂志刊出陈景润研究G氐猜想的结果:
“任一充分大的偶数是一个素数和另一个素数的和,后者或为素数,或仅另两个素数的乘积。”
此定理被简称为“1+2”当然离“1+1”还有一段距离,不过这已经是当今最优成果了。
习题:
1、 设
2、 设
p
是异于3的奇素数,求证
24p
2
?1

p, q
是素数,且
p?q?5
,求证
240p
4
?q
4

3、 设整数
a,b,c
都大于1,证明
[(a,c),(b,c )]?([a,b],c)

4、 求证:
[a,b,c](a,b)(b,c)(c ,a)?(a,b,c)[a,b][b,c][c,a]

5、 设
a,n
都是大于1,
a?1
是素数,求证:
a?2
,且
n
是素数
6、 从1到100这100个自然数中,任意选出51个数,求证其中至少有两个数,它们中的一个是另一个的倍数。
7、 设
a,b?N,(a,b)?1
,证明
?
(a,b)?
?
(a)
?
(b);
?
(ab)?
?
(a)?
(b)

8、 证明:形如
3n?2
的素数有无限多个。
9、 设
n?2
,证明:在
n

n!
之间至少有一个素数。 10、设
p
n
是表示由小到大排列的第
n
个素数,证明
n
22
p
n
?2
2

n
同余

定义 给定正整数m,如果用它除任意两个整数a,b,所得余数相同,就说a,b对于模m同余 ,记作
a?b
若所得余数不同,就说a,b对于模m不同余,记作
a?b
定理 与性质
例1 正整数a能被9整除的充要条件是a的各个数码之和能被9整除。
例2 设
a=a
n
a
n?1
???a
1
a
0
,求证:
11a?a
0
例3 求正整数a能被7正处的充要条件。
例4 设
4444
4444
?modm
?

?
modm
?

?a
1
?a
2
????
?
?1
?
a
n
?0
?
modn
?

n
的各个数码之和为a,a的各个数码之和为b,求b的各个数码之和为c。
例5 一环形公路上有几个汽车站,海拔高度只有5米和10米两种,若相邻两站的海拔高度相等,则
称连接 它们的公路是水平的;如果两相邻汽车站海拔高度不等,则称相连公路是有坡的。有一旅行者坐汽车
环行 东路一周,发现水平公路的段数与有坡公路的段数相等,求证4整除n 。


例6 设
P
n
?1
n
?2
n
?3
n
?4
n
?
n?N
?
,问:怎样的n使得
10|P
n
x
1
,x
2
,???,x
14
都不能满足方程例7 求证:任何整数
习题
1. 设
a?b
2. 设
a?5
x< br>1
4
?x
2
4
?????x
14
4
?1599

?
modn
?
,求证:
?
a,m< br>?
?
?
b,m
?

?
mod10
?
,求证:
a
2
?25
?
mod100
?

3. 设ABCDE是按逆时针方向排列的五角棋盘,从A沿逆时针方向移动棋子,第K次移动K步 ,证明无论移
动多少次,C、E处永远不可能停留棋子。
4. 设
a、b?Z
,P是素数,求证
?
a?b
?
5. 证明n
2
p
?a
p
?b
p
?
modp?

?
n
2
?1
??
n
2
?4
?
?0
?
mod360
?

2
n
6. 设
n,a?N

2|a
,求证
a
7. 已知
n?4
8. 已知
n?7
?1
?
mod2
n?2
?

?
mod9
?
,求证n不能表为3个立方数的和。
?
mod8
?
,求证n不能表为3个平方数的和。
7
7
9
9
9.求出一个整数能被101(或37)整除的充要条件。
10.求下列各数的末两位数:
7

9

11.记
0?a?7
,且
10
10
10
?a
?
mod7< br>?
,求a。
12.已知
792|13ab45c
,求a、b、c。
补充题:
1. (1)有几个住鞥书,其积为n,其和为零。求证4 | n 。
(2)设4 | n,求证:可以找出几个整数,使其积为n,其和为零。
(十八届全苏中学生竞赛)
2. 设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证:在
ab?ab

bc?bc

ca?ca
三个数中,至少有一个
数能被10整除。
(86. 全国初中联赛,二试,四)
3. 把19,20,…,79,80诸数连写成数A=192021…7980,试证1980 | A。
4. 试求所有能被11整除的三位数,且除得之商等于被除数中各数字的平方和。
(二届IMO 1960)
333333
不定方程
若方程或方程组中未 知数的个数多于方程的个数,它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数,则
称此方程或方 程组为不定方程。不定方程常联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。
例1 在等式
例2 解方程
x5?3yz?7850
中还原数学x, y, z。(1987年全俄中学生竞赛题)
xyz?zyx?xzyyx
。(1978年广东省中学数学竞赛题)


例3 求方程
2
w
+2
x
+2
y
+2
z
=20.625
满足条件:
w>x>y>z
的整数解 。(1979年湖南省中学数学竞赛题)
数论函数
定义1 设x为任一实数,
函数
?
x
?
表示不超过x的最大整数。
?
x
?
称数论函数,也称高斯函数、阶梯函数等。数论问题是竞赛中的热门课题,而< br>?
x
?
则是热门中的热门。
?
x
?
?Z< br>;②
?
x
?
?x?
?
x
?
?1
?
x
?
?x?
?
x
?
称为x的小 数部分,显然
0?
?
x
?
?1

由定义,显然有①
定义2
?
429
?
?
。 例1 计算
?
?
3
n
3
?n
2
?n?1
?
,n?N
?
例2 求
?

x
?
?x
2
?
例3 解方程。
例4 已知方 程
?
3x?1
?
?2x?
1
2
,求所有根的和。( 1987年初中联考)
习题
?
5?6x
?
15x?7
?
??
85

?
1.
?
x
2
?
?
5x
?< br>??
?1?0
。 2.
3.
x
3
?
?
x
?
?3
。(英斯科第20届奥林匹克数学竞赛题)
有时也常令
例5 方程
(A) 0
例6 记

?
x
?
=x?
?
,
?
?
?
0,1< br>?
通过对
?
的讨论来解题。
的实数解的个数是( )。(1985美国数学竞赛题)
(D) 3 (E) 4 .
4x
2
?40
?
x
?
?51?0
(B) 1 (C) 2
?
x
?
表示不超过x的最大整数,设n是自然数,且
2
I =
?
n?1
?
?n?
?
?
?
(A)I > 0
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?
?
?
,那么( )。(1986年全国初中联考)
2
2
(B)I < 0 (C)I = 0
(D)当n取不同的值时,以上三种情况都有可能出现
?
x
?
例7 求正数x ,使得
2
?x?
?
x
?


性质1
性质2
?
x
?
是不减函数。
?
x?m
?
?
?
x
?
?m
当且仅 当
m?Z
时成立。
?
x
?
+
?
y
?
?
?
x?y
?
?
?
x
?
?< br>?
y
?
?1
。 性质3 对任意实数x 、y ,有
?
n
?
??
性质4 设m 、n为正整数,在数列1,2,…,(n-1),n 中,m的倍数有
?
m
?
个。
定理 设p为一素数,在n! 中p的方次数等于
?
n
??
n
??
n
?
?
?
p
r
?
?
?
p
?
?
?
p
2
?
?
r?1
??????
?

例8 在
1000!
的十进制展开中,以多少个0为结尾?
例9 求证 方程
?
x
?
?
?
2x
?
?
?4x
?
?
?
8x
?
?
?
16x
?
?
?
32x
?
?12345
无实数解。
2< br>x
2
?
?
x
?
?
?
?
?< br>x?
?
x
?
?
2
例10 设N为一正整数,问方程
赛题)
在区间
1?x?N
中有多少个解?(1982年瑞典数学竞
例11 试决定
?
2?3
?
1980
的小数点前一位数字和后一位数字。(1980 年芬兰等欧洲四国数学竞赛题)
?
1
2
??
2
2
??
1980
2
?
???,
?
1980
?

?
1980
?

?
1980
?
???? ??
中,含有多少个互不相等的自然数?(1980苏联列宁格勒中学例12 在整数列
生数学竞赛试题)
习题
?
N=
?
M=
?
x
?
??

?
1. 设
x
?
?
?
(其中
x?1
)。则一定有( )
(1985年北京市中学生数学竞赛高一年试题)
(A)M>N (B) M=N (C) M2.设
S< br>?????
?
?
?
1
?
?
?
2?
?
?
3
?
?
???
?
?
?
1988
?
,那么
?
S
?
的值是
1
?
?
?1
?
x
?

?
x
?
?
?
?
3. ①找出一个实数x,满足
②证明,满足上述等式的x都不是有理数。
?
n+ 2
k
?
?
?
2
k+1
?
k=0
? ?
。(1968第十届IMO) 4. 设
n?N
,计算和
?
??
b?1
?
a
?
?
a?1
??
b?1
?
?
a
??
2a
?
++???+
???
????
2
?
b
??
b
?
?
b
?
5. 设a , b为互素的正整数,求证:。


?
?
n
?
?
?
n
?
n
min
?
k
2
?
?
2
?
?
?1991
?
2
?
2
?
k
?
??
6. 求所有自然数n , 使 得,这里
?
k
?
表示不超过
k
的最大整数,N是自然数集。
(1991年中国数学奥林匹克)
不定方程
若方程或方程组中未知数的个数多于 方程的个数,它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数,则
称此方程或方程组为不定方程 。不定方程联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。
例1.在等式中还原数字x,y,z.(1987全俄中学生竞赛题)
例2.解方程: 例3.求方程
2?2?2?2?20.625
满足条件:
w?x?
wxy z
y?z
的整数解。
(1979年湖南省中学数学竞赛题)
线性不定方程
ax+by=c

定理1 设
a,b,c?Z,(a,b)?d,a?a' d,b?b'd
,则线性不定方程
ax+by=c
有整数解的充要条件是
dc
。在
x?x
0
,有整数解的情形下,如果
例 4 求方程
y?y
0
是一组整数解,那么该方程的一切整数解(简称通解)可以写成
7x?19y?213
的整数解。
例5 今有物,不知其数(百个以下)。三三数 之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二。问物几何?(该
题目出自1600年前的《孙子算经》)
“韩信点兵”或“秦王暗点兵”的歌诀:
“三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤奇,七度上元重相会,寒食清明便可知。”
注:该诀出自宋朝周密,“上元”指15,“寒食清明”指105,每年冬至至次年清明正好105天。
“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。”
注:该诀出自明朝程大位《算法统宗》。
222
x?0、y?0、z?0、
?
x,y
?
?1

z|y
的一切整数解可表示为
x ?y?z
定理2 勾股不定方程满足
?
x?a
2
?b
2< br>?
?
a,b
?
?1

a,b
中一个为奇数, 另一个为偶数。
?
y?2ab
,这里
a?b?0

?z?a
2
?b
2
?


22n
x?y?z< br>n?N
例6 设,证明方程有正整数解。
444
x?y?z
例7 证明不定方程没有正整数解。
nnn
x?y?z
n?2
费马猜想:整数时,方程 无正整数解是数论中的一个着名的难题。1760年欧拉证明了n = 3 的
情形。1828年勒让德余狄里赫勒各自证明了n = 5的情形。1840年拉梅证明n = 7的 情形。库莫尔于1844年首创“理
想数论”,并利用这个工具一举证明了n是小于100的奇素数但除 去n=37,59,67的情形.1892年米利曼诺夫证明了n=37
的情形。1978瓦格斯塔夫借 助大型电子计算机证明了2 < n < 125000的情形。…………29岁的讲师又对此做出了重大
发展,然而至今还无法宣布此猜想是一条定理。
例8 确定(并加以证明)方程
a?b?c?ab
所有的整数解。(1976年美国竞赛题)
例9 证明方程
x?3y?9z?9xyz?0
只有唯一的有理数解。
333
22222
a
2
?b
2
例10 正整数< br>a

b
使得
ab?1
整除
a?b
。求证是某 个正整数的平方。(1988年第29届IMO)
ab?1
22
习题
1. 不定方程
5m?6mn?7n?1987
是否有整数解?
2. 方程
x?y?z?n
有多少组正整数解?
3. 求方程
pq?qr?rp?pqr?2
的整数解(
p,q,r?0
)。
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