2011全国高中数学竞赛讲义-数列、组合

数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题- 中高考试题信息http:
§16排列，组合
1．排列组合题的求解策略
（1） 排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这
是解决排列组合题的常用 策略．
（2）分类与分步
有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集 为空集，所有各类的
并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方 法数，
这是乘法原理．
（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．
（4）插空 ：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没
有限制条件的元素，然后将有 限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“ 大元素”，然后与其它“普通元素”
全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．
（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如
将1 2个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分
3
成4 堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为
C
11
，这也就是方程
a?b? c?d?12
的
正整数解的个数．
2．圆排列
（1）由
A?{a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个元素排在一个圆环上，叫
做一个圆排列（ 或叫环状排列）．
（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一 排列；（iii）
两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆 排列．
（3）定理：在
A?{a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个不同的元素进行圆
P
n
r
排列，圆排列数为．
r
3．可重排列
允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．
在
m
个不同的元素中，每次取出
n
个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么< br>第一、第二、?、第
n
位是的选取元素的方法都是
m
种，所以从
m
个不同的元素中，每次
取出
n
个元素的可重复的排列数为
m．
4．不尽相异元素的全排列
如果
n
个元素中，有
p
1
个元素相同，又有
p
2
个元素相同，?，又有
p
s个元素相同
（
p
1
?p
2
???p
s
?n
），这
n
个元素全部取的排列叫做不尽相异的
n
个元素的全排列 ，
它的排列数是
n
n!

p
1
!?p
2< br>!???p
s
!
5．可重组合
（1）从
n
个元素， 每次取出
p
个元素，允许所取的元素重复出现
1,2,?,p
次的组合叫从
n
个元素取出
p
个有重复的组合．
数学教育网http:

数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题- 中高考试题信息http:
r
（2）定理：从
n
个元素每次取出
p
个元素有重复的组合数为：
H
n
p
?C
n?(p?1)．
例题讲解
1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为 1的四位数，且每个四位数中恰
有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？





2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？





3．有
2n
个人参加收发电报培训，每两 人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？




4．将
n?1
个不同的小球放入
n
个不同的盒子中，要使每个盒子都不空 ，共有多少种放法？





5．在正方体的8个顶点 ，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线
的三点组的个数是多少个？





6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？



数学教育网http:

数学教育网---数学试题- 数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:
7．用
A,B,C, D,E
五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有
多少种不同的涂色 方式？



8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每 次取一只测试，直到4只次品全
部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种 ？



9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合 ，也互不垂直，过每点向
其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？



10．位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？



11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角 （图
A
点）
走到东南角中
B
点最短的走法有多少种？



12．用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？



13．将
r
个相同的小球，放入
n
个不同的盒子（
r?n
）．
（1）有多少种不同的放法？
（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？




14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把圆旋转
一下就重 合的排列认为是相同的）





课后练习
数学教育网http:

数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件- 数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:
1．8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（ ）种
（A）15 （B）30 （C）48 （D）60
2．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰 比赛一场，但有3名选手各比赛了
2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3 名选手之间比赛的场
数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3．某人从楼下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2级，不同的走法有（ ）种
（A）144 （B）121 （C）64 （D）81
4．从7名男乒乓球队 员，5名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打，不同的分
组方法有（ ）种
222222
（A）
2C
7
C
5
（B）
4C
7
C
5
（C）
P
7
2
P
5
2
（D）
C
7
C
5

5．有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张，可组成的不同币值（非0）有（ ）
种
（A）79 （B）80 （C）88 （D）89
6．从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的
取法有________种
7．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{?3,? 2,?1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，
并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条 数是______．
8．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到 相邻两顶
点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也
停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．
9．如果：（1） a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；（2）a?b,b?c,c?d,d?a；(3)a是a,b,c, d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数
abcd
的个数是_________ ．
10．在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两
块 种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种载种方案．
11．10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有 种坐法．
12．从1,2,3,?,19
中，按从小到大的顺序选取
a
1
,a
2< br>,a
3
,a
4
四个数，使得
a
2
?a
1
?2
，
a
3
?a
2
?3
，
a
4
?a
3
?4
．问符合上要求的不同取法有多少种？


13．8人围张一张圆桌，其中
A
、
B
两人不得相邻，而
B
、
C
两人以必须相邻的不同
围坐方式有多少种？


14．4对夫妇去看电影，8人坐成一排．若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性，共有多少种坐法？


数学教育网http: