26高中数学竞赛典型题目(一)

最新高中数学奥数竞赛典型题目（一）
1.(2004美国数学竞赛)设
a< br>1
,a
2
,
?
,a
n
是整数列,并且他们的 最大公因子是1.
令S是一个整数集,具有性质:
（1）
a
i
?< br>S(i
?
1,2,
?
,n)

（2）
a< br>i
?
a
j
?
S(i,j
?
{1,2,
?
,n})
,其中
i,j
可以相同
（3）对于
x,y? S
，若
x?y?S
，则
x?y?S

证明：S为全体整数的集合。
2．(2004美国数学竞赛)
a,b,c
是正实数，证明：
(a
5
?a
2
?3)(b
5
?b
2
?3)(c
5
?c
2
?3)?(a?b?c)
3

3．(2004加拿 大数学竞赛)T为
2004
100
的所有正约数的集合，求集合T的子集
S中 的最大可能的元素个数。其中S中没有两个元素，一个是另一个的倍数。
4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数
n
满足下列条件：
（1）
n
的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；
（2）2004能整除
n
.
5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间， 用十进制表示为
0.a
1
a
2
?
的实数
x
满
足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，
a
k
a
k?
1
?
a
k
?
2003
(1
?
k
?
2004)
，
证明：
x
是有理数。
6．( 2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S，满足：
如果
m,n?S< br>，则
m
?
n
?
S

(m,n)
7． (2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S为通过
任何两点的直线的集 合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当
S中有奇数条直线分离这两点。
?< br>(n
?
1)!
?
(n
?
N
*
)是 偶数。 8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：
?
2
?
?n
?
n
?
9．(2004亚太地区数学竞赛)
x,y,z
是正实数，证明：

(x
2
?2)(y
2
?2)( z
2
?2)?9(xy?yz?zx)

10．（2003越南数学竞赛）函 数
f
满足
f(cotx)?cos2x?sin2x(0?x?
?
)
，令
g(x)?f(x)f(1?x)(?1?x?1)
，求
g(x)在区间
[?1,1]
的上最值。
11．（2003越南数学竞赛）定义
p
(
x
)
?
4
x
3
?
2
x
2
?
15
x?
9,
q
(
x
)< br>?
12
x
3
?
6
x
2
?
7
x?
1
，证明：
（1）每个多项式都有三个不同的实根；
（2） 令A为
p(x)
的最大实根，B为
q(x)
的最大实根，证明：
A< br>2
?
3
B
2
?
4

12．（200 3越南数学竞赛）令F为所有满足
f:R
?
?R
?
且
f(3 x)?f[f(2x)]?x
对任意
x?R
?
成立的函数
f
的集合。求最大实数A使得
f(x)?Ax
对所有
f?F,x?R
?
都成立。
13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个
n
，我们可以找到一个< br>n
位数，他
的所有数字都是奇数，并且可以被
5
n
整除。 < br>14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，
连接所有的对 角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长
都是有理数。
15．（200 3巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD的边
AB?m,AD?n,
其中
m,n
是
互质的奇数。矩形被分成了
mn
个单位正方形，对角线AC交单位正方形于点
AC
A
1
?
A
,
A
2
,
A3
,?,
A
N
?
C
，证明：
A
1A
2
?
A
2
A
3
?
A
3A
4
?L?
(
?
1)
N
A
N
?
1
A
N
?

mn
16．（2002美国数学竞赛 ）S为含有2002个元素的集合，并且P是Ｓ所有子集
的集合，证明：对于任意
n(0?n? P)
，我们可以将Ｐ的
n
个元素染成白色，
其余染成黑色，使得Ｐ的任何两 个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。
17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实 值函数满足：
f(x
2
?y
2
)?xf(x)?yf(y)
对于任意实数
x,y
成立。
18．（2001美国数学竞赛）非负实数
x, y,z
满足
x
2
?y
2
?z
2
?xyz?
4
，证明：

xyz?xy?yz?zx?xyz?2

19．（2002巴尔干数学竞赛）数列
{a
n
}:a
1
?
20,a
2
?
30,a
n
?
1
?
3a
n
?
a
n
?
1
，求所有
n
使
5a
n
a
n?
1
?
1
是完全平方数。
20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有
f:N?N
使得
f(f(n))?f(n)?2n?2001或2n?2002

21．（2009年协作体 ）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足
每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积 等于对角线的平方。
22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相 等，
证明：它是正五边形。
23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数
a,b,c< br>满足
abc?a?b?c
，证明：
a
2
?
b
2
?
c
2
?
3abc

24．（200１加拿大数 学竞赛）
A
0
,A
1
,A
2
位于半径为１的圆上， 并且
A
1
A
2
不是
直径，点列
{A
n}
定义如下：
A
n
是
?
A
n?1
A< br>n?2
A
n?3
的外心，证明：
A
1
,A
5
,A
9
,A
13
?
共线，并求所有的
A
1
,A
2
使得
A
1
A
1001
是一个整数的 ５０次幂。
A
1001
A
2001
25．（2002年越南数学竞 赛）
n
为正整数，证明：方程
1111
?
2
???
2
?
有唯一的解
x
n
?1
，且
n??
时，
x
n
?4

x?
1
2
x?
1nx?
1
2
26．（2001年越南）对于实数
a,b
定义如下 数列：
x
0
,
x
1
,
x
2
,?
.
由
x
0
?a
，
x
n
?< br>1
?
x
n
?
bsinx
n
确定
（1）若
b?1.
证明：对于任何a，数列有极限;
（2）若
b?2.
证明：对于某些a，数列没有极限.
27．（2000年 越南）定义一个正实数序列：
x
0
,
x
1
,
x2
,
?
.
x
0
?b
，
x
n< br>?
1
?c?c?x
n
.
求所有实数c，使得对所有
b ?(0,c)
，数列存在极限.
28．（2002波兰数学竞赛）数列
{a
n
}:a
1
?
k
?
1,a
n
?
1
?
a
n
?
ka
n
?
k
，
k
是正整数，
2

证明：数列中的任两项互质。
29．（20 01波兰数学竞赛）数列
{x
n
}:x
1
?a,x
2
?b,x
n
?2
?x
n
?1
?x
n
，一 个数
c
如
果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择
a,b
使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。
30．（200 1波兰数学竞赛）
a,b
都是整数，使得
2
n
a
?
b
对所有非负整数
n
都是
完全平方数，证明：
a?0
31．（2001波兰数学竞赛）数列
{a
n
}
定义如下：
a< br>1
和
a
2
为素数，
a
n
为
a
n?
1
?
a
n?
2
?
2000
的最大素 因子。证明：数列
{a
n
}
有界.
32．（2001波兰数学竞赛 ）
p(x)
是一个多项式，次数为奇次，满足
p
(
x
2?
1)
?p
2
(
x
)
?
1
对 所有
x
成立。证明：
p(x)?x

33．（1978年国际数学竞 赛）将集合
S?{1,2,3,?,1978}
分成六个不同的集合
A
i(i?1,2,3,4,5,6)
，即
S?A
1
?A
2
???A
6
且
A
i
?A
j
??
，求证：在 某个
A
i
中
存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２ 倍。
34．（1999年国际数学竞赛）设n是一个固定的正偶数.考虑一块
n?n
的正方
板，它被分成
n
2
个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条 公共边，
就称它们为相邻的.将板上N个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格
（作上标 记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确
定N的最小值.
35．一 个
9?9
方格能否被15个
2?2
方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）
和3个单位方格覆盖？
36．已知边长为
n
的正方形及其内部的
( n?1)
2
个点，其中无3点共线，证明：
必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积 不大于
1
。
2
37．已知
x
是循环节为
p
的纯循环小数，
y
是无限小数，其小数点后的第
n
位
与数
x
小数点后的第
n
n
位的数字相同，问：
y
是否是有理数？

38．求所有的正整数
a,b
使得
ab
2
? b?
1,
ba
2
?a?
1

39．
{x< br>n
}:x
0
?
1,x
1
?
3,x
n
?
1
?
6x
n
?
x
n
?
1
，证明：除第一项外，
{x
n
}
中无完全平
方数。 40．
f(x)?ax
2
?bx?c
是实系数多项式，且对于任何整数< br>x
0
,f(x
0
)
是完全平
方数，证明：
f (x)?(ex?d)
2
，其中
e,d
是整数。
41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使
（1）S中任意两个数互质；
（2）S中任意
k(k?2)
个数的和是合数。
42．（1998年越南数 学竞赛）是否存在
?
(0?
?
?1)
，使得有一个无穷的正数列{a
n
}
满足：
1
?
a
n
?
1
?
a
n
?
?
n
a
n
,
(n?1,2,?)
.
43．一个整数有限序列
a
0
,a
1
,
?
,a
n
称为一个二次序列，如果对于每个
i
?
{1,2,
?
,n},a
i
?
a
i
?
1
?
i
2
；
（1）证明：对于任何两个整数
b, c
，都存在一个正整数
n
和一个二次序列使
a
0
?
b
,
a
n
?
c
；
（2）求满足下列条件的最小正 整数
n
，使
a
0
?
0,a
n
?
1 996

44．
x,y,z
是正实数，求证：
(xy
?< br>yz
?
zx)(
1119
??
)
?

4
(x
?
y)
2
(y
?
z)
2
(z
?
x)
2
45．用16个
1?3
矩形和一个
1 ?1
正方形拼成一个
7?7
正方形，求证：
1?1
正
方形要 么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。
46．环形公路上有
n
个加油站，每个 加油站有汽油若干桶，
n
个站的总存油量
够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从 该站起，汽车逆时针行驶（每到
一站装上所有汽油）可回到原站。

47．正实 数
a,b,c
满足
abc?1
，求证：
1a(c
?
b)
2
b(c
?
a)
2
c(b
?
a)2
[
??
]

4c
?
bc
?
ab
?
a
1113
???
＋
333
a
(< br>b?c
)
b
(
c?a
)
c
(
a?b
)
2
48．
x
i
?
R
?
(i?
1,2,
?
,n)
，证明：
x
n
x
1
x
1
??
L
??
n

222221
?
x
1
1
?
x
1
?
x2
1
?
x
1
?
L
?
x
n2
n
a
n
1
49．数列
{a
n
}:a
1
?
,a
n
?
1
?
2
，证明：< br>?
a
k
?
1

2
a
n
?< br>a
n
?
1
k
?
1
50．求方程
x! ?y!?x
y
的正整数解
51．求所有三次多项式
p(x)
使得对 任意的非负实数
x,y
有
p(x?y)?p(x)?p(y)

52 ．
S?{x
2
?2y
2
|x,y?Z}
，对于整数a，若< br>3a?S
，证明：
a?S

53．
{x
n
} :x
0
?1,x
n
?
1
?3x
n
?xn
5
，已知
x
1
?
5,
x
2
?
26,
x
3
?
136,
x
4
?
712
，求
x
2007

??
54．（波兰）数列
{a
n
}
由
a
0
??
1,a
n
?

a
n
?0(n?0)

a
n
?1
a
a
??
1
?
0
?
0(n
?
1)
确定，证明：
2nn
?
1
55．非负实数
x,y,z
满足
x
2
?y
2
?z
2
?1
，证明：
1
?
xyz
??
?
2
< br>1
?
yz1
?
zx1
?
xy
56．圆周上有 7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小
值。
57．是否存在一个能被 103整除的正整数
n
，满足
2
n
?
1
?
2(modn)

58．正实数
x,y,z
满足
xy ?yz?zx?x?y?z
，证明：
111
???
1

22 2
x?y?
1
y?z?
1
z?x?
1
59．（20 09塞尔维亚数学竞赛）求能被整除且数字和是的最小的正
整数。
60．对
2007 ?2007
方格染色，使得任意
2?2
方格中最多有2个方格被染色，
问：最 多可以将多少个方格染色？
61．空间中有9个点，其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线 段，
但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？
62．（2009加拿大数学竞赛） 由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再
分成个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白色的，另个 扇形涂成
黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。
求证：总可以旋转小圆， 使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有个
扇形位于大圆的同色扇形上。
2n
6 3．（2009年印度尼西亚数学竞赛）
n
是大于１的奇数，证明：
8n?4|C4n

64．（2009年英国数学竞赛）求定义在实数集上的函数使
f(x3
)?f(y
3
)?(x?y)(f(x
2
)?f(xy)?f (y
2
))

65．（2009年英国数学竞赛）将不大于２５００的正整数 写成二进制，其中以
１开头的数字串所表示的整数的不同个数记为
b(n)
，求证：< br>n?2500
时，
b(n)?39
，并确定取等条件。
66．一个圆 桌周围有
n
个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时
针开始数2个位置坐 下，即第二个人坐在第一个人旁边，第
k?1
人从第
k
个人
n
个人恰好坐满
n
个位置，逆时针开始数
k?1
个位置坐下。如果按照这种坐 法，
求
n
得所有可能值。
67．（2009加拿大数学竞赛）已知为完全平方数，求所有的有序整数
对。
68 ．求所有的质数
p,q
使
pq|(5
p
?5
q
)< br>
69．求所有的质数
p,q
使
pq|(5
p
?2< br>p
)(5
q
?2
q
)

70．数列
{a
n
}:a
1
?
k,a
2
?
5k
?
2,a
n
?
2
?
3a
n
?
1
?
2a
n
，其中
k
是常数。
（1）求所有
k
使数列收敛；

（2）若
k?1，求证：
a
n
?
2
2
?
7a
n
?
?
1
?
8a
n
a
n
?
1?
??

1
?
a
?
a
nn
?
1
??
71．数列
{y
n
}:y
1
?y
2
?
1,y
n
?
2
?
(4k
?
5)y
n
?
1
?
y
n
?
4< br>?
2k
，求所有的正整数
k
，
使得数列中的每一项都是完全平 方数。
72．求证：数列
a
n
?
n2
中有无穷多个完全平方数。
73．
a
n
?
??
?
(n
?
1)
2
?
n
2

?
（1）证明：存在无穷多个
m
使得
a
m?
1
?
a
m
?
1；
（2）证明：存在无穷多个
m
使得
a
m?
1
?
a
m
?
1
。
74．（2006全国高中数学联赛）设
n
?
1
f(x)?x
2
?a,
记
f
1
(
x
)?
f
(
x
),
f
n< br>(
x
)?
f
(
f
(
x
)),
n
?2,3?
，
M
?
{a
?
R|f
n< br>(0)
?
2,
?
n
?
N
*
}

1
证明：
M?[-2,]

4
1
2
2
75．实数列
{a
n
}(n?0,1,2?)
满足
a
n
?
1
?
a
n
?
(n
?
0,1 ,2
?
)
，证明：
a
n?5
?
a
n?5< br>
5
76．Ｐ为边长为１的正四面体内一点，证明：Ｐ到各个顶点的距离和至多为3。
77．
x?y?1
，证明：
x
x
?
y
?< br>y
y
?
1
?
1
1
?
x
?< br>y
x
?
y
?
x
x?
1
?
1
y
?1

78．
x
i
?
R
?(i
?
1,2,
?
,n)
是否一定有
xxxx
x
1
x
2
x
2
x
3
???
n< br>?
1n
?
n1
?
x
1
?
x
2
???
x
n

x
3
x
4
x1
x
2
79．证明：
a
5n
?
a
n< br>?
1(a,n
?
N
*
)
是合数。
80．< br>f
1
?
f
2
?
1,f
n
?
f
n
?
1
?
f
n
?
2
(n
?
2)
，若正整数
a,b
满足
min{
f
n< br>f
n
?
1
,
f
n
?
1
ff
a
}
??
max{
n
,
n
?
1< br>}
，证明：
b
?
f
n?1

f
n< br>bf
n
?
1
f
n
81．把一个实数用与它相岭的两个 整数之一代替称为“整化”，证明：对于给

定的
n
个实数，存在一种整 化方式，使得这些数中任意若干个数的和与这些数
n?1
整化后对应的和之差不大于。
4
82．（1997美国数学竞赛）求证：存在无穷多个正整数
n
，使得
n
19
?n
99
可以
用两种不同的方式表示为两个平方数的和。 83．（1996年保加利亚）数列
{a
n
}
：
a
1< br>?
1
，
a
n
?1
?
2
]
?
n.

n?4
时，
[a
n
a
n
n
?
，
(n?1,2,?)
证明：
na
n
84．在正 三角形三个顶点上各放置一个整数使得：三个数的和是整数，若某个
顶点上的数
x?0
，三个顶点上的数
x,y,z
相应变换为
?x,y?x,z?x
，只要有负数，操作就一直进行下去。问：操作能否在有限步之后停止？
85．（2003年德国数学竞赛 ）数列
{a
n
}
：
a
1
?
1
，
a
2
?
1,a
3
?
2,a
n
?< br>3
?
1
(a
n?
1
a
n?
2
?
7)
，证明：
a
n
是正整数．
a
n
86．（2004年克罗地亚数学竞赛）求使数列：
cos
?
,cos2
?
,cos2
2
?
,?,cos2
n
?
?
每 一项均为负数的所有实数
?
.

87．（2003瑞典数学竞赛）求所有实数 x满足方程
x
2
?2x?2
?
x
?
?
?< br>x
?

2
??
88．（2004俄罗斯数学竞赛）求所有的正 整数
n
使得不等式
sinnA?sinnB?sinnC?0
对于任何锐角三 角形的三个内角
A,B,C
都成立。
89．（2004台湾数学竞赛）正实数
a,b,c
满足
abc?2
9
，证明：
1
1
?< br>a
?
1
1
?
b
?
1
1
?< br>c
?
3
1
?
abc
3

?
n(n
?
1)
??
n
?
1
?
?
?
90．（2003克罗地亚数学竞赛）对于大于２的整数
n
，证明：
?

??
4n
?
24
????
91．数列
{an
}(n?0,1,2?)
满足
a
m
?
n
?< br>a
m
?
n
?
1
(a
2m
?
a
2n
)(m,n
?
0,1,2
?
)
，若
2

a
1
?
1
，求
a
2003

2
?1.
证明：对所有
n
有
(n,a
n
)?1.
92．数列
{a
n
}
定义如下：
a
1
?
2
，
a
n?
1
?2
a
n
93．求整数
c
，使
?2007?c?2007.
且存在
x?N< br>，使
x
2
?c
是
2
2007
整数倍.
94．（2003年德国竞赛）证明：存在无穷多个正整数
a,b
使
（1）
a
|
b
2
?
5
，（2）
b|a
2
?5
，（3）
(a,b)?1
.
95．已知射线
y?(4 ?15)x(x?0).
现将该射线绕
O
点逆时针转动
?
角，形成< br>一个区域
D
，试证：无论
?
多么小，区域
D
中总存在 无穷多个格点
(m,n)
满足：
（1）
1?6mn
与
1?10mn
均为完全平方数；
（2 ）
n
|
m
2
?
1
，
m|n
2?1
.
96．（2003保加利亚数学竞赛）求实数
a
，使得等式4
?
an
?
?n?
?
a
?
an
??
对于任意
的正整数n成立。
97．（2002芬兰数学竞赛）设n是大于2的 整数，
a
n
是最大的n位数，满足其
既不是两个数的平方和也不是两个数的平 方差。
（1）求
a
n
；
(2)求
n
的最小值， 使
a
n
的各位数字的平方和是一个完全平方数。
98．设
a,b, c
是一个三角形的三边长，且
a?b?c?1
，若
n?2
，证明：< br>n
a?b?b?c?c?a?1?
nn
n
nn
n
nn
n
2

2
99．（2002
1
2
?xn
，令年芬兰数学竞赛）
{x
n
}:x
1
?,x
n
?
1
?x
n
3

S
?
1 11
??
?
?
，求
?
S
?

x< br>1
?
1x
2
?
1x
2002
?
1< br>100．设正数
a,b,c,x,y,z
满足
cy?bz?a,az?cx?b ,bx?ay?c
，求 求函数
x
2
y
2
z
2f(x,y,z)
???
的最小值.
1
?
x1
?y1
?
z
101
.正实数
a
i
(i
?
1,2,3,
?
,n)
满足:
a
1
a
2< br>a
3
?a
n
?1
,证明:
111
?????
1

n
?
1
?
a
1
n
?
1
?
a
2
n
?
1
?
a
n
102.
a,b,c
是正实数,证明:
a
?
3c4b8c
的最小值.
??
a
?
2b
?
ca
?
b
?
2ca
?
b
?
3 c
x
?
y
?
S
,求证:
x
?
y< br>103.S是至少有4个元素的实数集,对任意
x,y?S(x?y),
有
对于 所有这样的集合S,存在
x?S
使
2001?x?2002

104 .在
?ABC
中,求
f?sinA?sinB?5sinC
的最大值
105.已知正整数
a,b,x,y
满足
ax?by
是
a
2
?b
2
的倍数,若
p?x
2
?y
2
是质 数,
证明:
pa
2
?b
2

a
2
b
2
c
2
???
3(a
2
?
b
2
?
c
2
)

106.正实数
a,b,c
满 足
a?b?c?1
,证明:
bca
107.在一个
m?n
的 方格表中填上互不相等的
mn
个数,并且把每列数值交大的
前
a(?m)个数作上标记,在把每行数值交大的前
b(?n)
个数作上标记,证明:至
少有< br>ab
个数作了两次标记.
108.在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数 个数字，则称它“好
数码”（如，等），则长度不超过（为正整数）的所有“好数
码”有多少个 ？
109.(2008罗马尼亚数学竞赛)存在无穷个使
不能整除．
，存在无穷多 个使

110.设
n?4
是一个给定的正整数,
S?{P
1
,P
2
,?,P
n
}
是平面上的
n
个 点,无三
点共线,无四点共圆,设
a
t
是使
?P
i
P
j
P
k
的外接圆包含
P
t
的
?P
i
P
j
P
k
的个数,记
m(s)?a
1
?a
2
???a
n
,证明:存在一个仅依赖于
n
的函数f(n)
,使得S中的点
为一个凸多边形的顶点当且仅当
m(s)?f(n)
111.定义
a(modm)?{a?mk|k?Z}
,设
m
1
,m
2
,?,m
10
是大于1的10个正整数,
且他们两 两的最大公约数都不相同但都大于1,求证:存在整数
a
1
,a
2
, ?,a
10
使
a
i
(modm
i
)
互不相 同.
112.(1)
n
1
,n
2
,?
是每项都大 于等于2的正整数列，数列
{q
n
}
满足：
q
i
? {1,2}
，
证明：数列
a
k
?
n
1
q< br>1
?
n
2
q
2
???
n
k
q
k
收敛，并且它的极限在
(1,2]

(2) 证明：对
x?(1,2]
存在满足条件（1）的数列，其极限是
x
.
113.（1998年印度）设正整数
n,p
满足
3?p?
n
，一 个正
n
边形有
p
个顶点
2
?
p
?
涂红色，其余涂蓝色，证明：存在两个至少有
??
?
1
个顶点的全等多边形满
?
2
?
足：一个多边形全是红顶点，另一个多边形全是蓝顶点。
1 14.考虑
1,2,?,n
每个数正偶数因子的个数，并且相加得到一个数，类似考察
每个数的正奇数因子得到另一个数，证明：这两个数的差至少是
n
。
115.(19 98年波兰数学竞赛)数列
{a
n
}:a
1
?
1,a
n
?
a
n
?
1
?
a
?
n
?
(n
?
2,3,
?
)
，证明：
?
2< br>?
??
数列中有无限项是7的倍数。
116.（1995年保加利亚数学竞赛 ）已知
n?2
且
0
?
x
i
?
1(i
?
1,2,
?
,n)
，证明：
?
n
?
x
?
xx
?
（
x
n
?
1
?
x
1
）
??
iii
?
1
??
?
2
?
i
?
1i
?
1
nn
117.（200 2年俄罗斯数学竞赛）正整数
n?m
，证明：对一切
x?
(0,)
， 都有
2
?

2sin
n
x?cos
n
x?3sin
m
x?cos
m
x

?
x
?
y
?
z
?
u
x
118.正整数
x,y,z ,u
满足
?
，求最大的常数
m
使得
m?
，这里y
?
2xy
?
zu
(x,y,z,u)
是满足上面方程 组得解且
x?y

119.（2005亚太数学竞赛）正实数
a,b,c满足
abc?8
，证明：
a
2
(1
?
a
3
)(1
?
b
3
)
+
b
2
(1
?
b
3
)(1
?
c
3
)
+
c
2
(1
?c
3
)(1
?a
3
)
?
4

3
120.（2006罗马尼亚）证明：数列
{a
n
}:a
n
?
n2
?
n3
中有无穷多个偶数，也有无穷多个奇数。

????