2018高一数学竞赛试题

2018竞赛高一初试试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．若
a,b,c?R,a?b,
则下列不等式成立的是( )
A．
C．
11
?

ab
ab
?

22
c?1c?1
B．
a
2
?b
2

D．
ac?bc

3.下列函数为偶函数，且在
(??,0)
上单调递减的函数是( )
A．
f(x)?x
B．
f(x)?x
?3

1
x
C．
f(x)?()

2
2
3
D．
f(x)?lnx

4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中
正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
C．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β
5. 等比数列
?
a
n
?
的前项和为
S
n
，且
4a
1
,2a
2
,a
3
依次成 等差数列，且
a
1
?1
,
则
S
10
=( )
A．512 B. 511 C．1024 D．1023
2sin
2
－1
π
6．已知f(x)＝2tanx－
xx
，则f(
12
)的值为( )
sin
2
cos
2
83
A.
3
B. 8 C．4 D. 43
2
x
?
y≥x，
7．设变量x，y满足约束条件
?
x＋3y≤4，
则z＝x－3y的最大值为(
?
x≥－2，
A．10 B．
?8
C．6 D．4
8．已知
x?0,y?0
，且
)
21
??1
，若
x?2y?m
2
?2m
恒成立，则实数m
的取
xy
试卷第1页，总8页

值范围是（ ）
A．
m?4或m??2
B.
m?2或m??4

C．
?4?m?2
D.
?2?m?4

9. 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1 ，BD＝2，BD⊥CD.将四
边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥ 平面BCD，
则下列结论正确的是
( )


A．A′C⊥BD
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
B．∠BA′C＝90°
1
D．四面体A′－BCD的体积为
3

10. 已知定义在R上 的奇函数
f(x)
满足当
x?0
时，
f(x)?log
2< br>(x?2)?x?b,

则
f(x)?3
的解集为（ ）
A．
(??,?2)
∪
(2,??)
B .
(??,?4)
∪
(4,??)

C．
(?2,2)

11. 若直线
x?
D.
(?4,4)

5
?
9
?
和
x?
是函数
y?sin(wx?
?
)(w?0)
图象的两条相邻对
44
称轴，则
?
的一个可能取值为（ ）
A．
3
????
B. C． D.
4
432
?
log
1
( x?1),x?
?
0,1
?
,
?
12. 已知定义在R上的 奇函数
f(x)
满足当
x?0
时，
f(x)?
?
2

?
?
1?x?3,x?
?
1,??
?
,
则关于
x
的函数
F(x)?f(x)?a(0?a?1)
的所有零点 之和为（ ）
A．
2
a
?1

C．
1?2
?a





试卷第2页，总8页
B．
2
?a
?1

D．
1?2
a

二、填空题（每题5分,共20分）
?
?
??
??
13. 已知
a?(k,3),b?(1,4 ),c?(2,1),
且
(2a?3b)?c,
则实数
k?
____ _____。
14. 过点
P(2,?1)
且与原点的距离为2的直线方程为_____________。
15. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1?1,a
2
?3,
且
2na
n
?(n?1)a
n?1
?(n?1)a
n?1
(n?2,n?N
?
),

则
a
n
的最大值为_________。
n
k
x
对所有实数
2017
16. 已知函数
f( x)
的定义域为R,若存在常数
k
，使得
f(x)?
，给出下列函数 ：
x
均成立，则称函数
f(x)
为“期望函数”
xx
f( x)?
(4)
x
2
?x?1e
x
?1
其中为期望函数的是: ______________(写出所有正确的序号) 。

三、解答题（共六道大题，共70分）
（1）
f(x)?x
2
(2)
f(x)?xe
x
(3)
f(x)?
17．（10 分）在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
。且满足
csinC?bsinB?(a?b)sinA,

(1) 求角
C
的大小； (2) 若
c?5
，求
?ABC
的面积的最大值。

18. （12分）设直线
l
的方程为
(a?1)x?y?2?a?0.(a?R)
。
（1）若直线
l
在两坐标轴上的截距相等，求直线
l
的方程； O
为坐标原点，（2）若
a??1
，直线
l
与
x
轴、
y
轴分别交于
M,N
两点，求
?OMN

面积取最小值时，直线
l
对应的方程。

19．（12分）设向量
m?(sin2wx,cos2wx),

n?(cos
?
,sin
?
),
其中
?
?
??
??
?
2< br>,w?0,

函数
f(x)?m?n
的图象在
y
轴右 侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为
?
5
?
P(,1)
，在原点右侧与
x
轴的第一个交点为
Q(,0)
．
612
(1)求函数
f(x)
的表达式；
3
(2)在?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
.若
f(C)??1,CA?CB??,
且
2
a?b?23,
求边长
c
．

试卷第3页，总8页

20. （12分）正项数列< br>?
a
n
?
的前项和为
S
n
，
an
?4S
n
?2a
n
?1(n?N
?
)

2
(1) 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
4(?1)
n?1
a
n?1
(2) 若
b
n
?
，数列
?
b
n
?
的前项和为
T
n，求证：
T
2n?1
?1?T
2n
(n?N
?
).

(a
n
?1)(a
n?1
?1)

21.（12分）已知函数
f(x)
=1
?
（1）求实数
a
的值；
（2）对x∈（0，1]，不等式
s?f(x)?2
x
?1
恒成立，求实数s的取值范围；
（3）令
g(x)?
2
，若关于
x
的方程
g(2x)?mg(x)?0
有唯一实数解，
1?f(x)
a
（
a
为常数）为R上的奇函数．
x
2?1
求实数m的取值范围．

22.（12分）如图 ，⊙O的半径
OB
垂直于直径
AC
，
M
为
AO上一点，
BM
的延
长线交 ⊙O于
N
，过点
N
的切线交
CA
的延长线于
P
．
PMPC
?
（1）求证：
PAPN
（2）若⊙O的半径为
3
，
OA
=
3
OM
，求
MN
的长．



2018竞赛高一初试试题答案
1.D 2．C 3.A 4.B 5. D 6．B 7. D 8. C 9.B 10. A 11.B 12.D
3
13. 3 14.
x?2或3x?4y?10?0
15. 16.（3）（4）
2
17．解：（1）由正弦定理得：
cba
?b?(a?b)
2R2R2R
c
2
?b
2
?a
2
?ab
c
a?b?c?ab
1
?
cosC? ,C?
23
222
……………………………..4分
试卷第4页，总8页

(2)c
2
?a
2
?b
2
?2ab cos
?
3

25?a
2
?b
2
?ab
……………………………..6分
a
2
?b
2
?25?ab?2ab

ab?25

S?
1253
………………………..10分
absinC?(
当
a?b时取得最大值）
24
18.(1)当直线
l
经过坐标原点时，有
a?2?0.a??2.

此时直线
l
的方程为
x?y?0.
…………………………………………2分
当直线
l
不经过坐标原点时，即
a??2
且
a??1
时
由直线在两坐标轴上的截距相等可得
2?a
?2?a,
解得
a?0
。
a?1
此时
l
的方程为
x?y?2?0.
…………………………………………5分
所以直线
l
的方程为
x?y?0.
或
x?y?2?0.
…………………………………………6分
（2） 由直线
l
的方程可得
M(
因为
a??1,
所以
S< br>?OMN
2?a
,0),N(0,2?a),

a?1
212?a1
?
?
a?1
?
?1
?

? ??(2?a)??
2a?12a?1
?
1
?
11
?
1
?
?2?
?
2(a?1)??2
?
?2
……… …………………………10分 =
?
?
?
a?1
?
?
2
?
a?1
?
2a?1
?
??
当且仅当
a?1?
1
,
即
a?0
时等号成立。 ………………………………………11分
a?1
此时直线
l
的方程为
x?y?2?0.
………………………………………12分
19．解: (1) 因为向量
m?(sin2wx,cos2wx),

n?(cos
?
,sin
?
),

所以
f(x)?m?n?sin2wxcos
?
?cos2wxsin
?
?sin (2wx?
?
)

由题意
T5
??
??,T?
?
,w?1
， ………………………………………………..2分
4126
??
??
?
?
将点
P(,1)
代入
y?sin(2x?
?
)
，得
sin(2??
?
)?1

66
?
?
?
所以
?
??2k
?
,(k?Z)
，又因为
?
?,
，∴
?
?
……………………………4分
626
?
即函数的表达式为
f(x)?sin(2x?),(x?R)
．………………………………………5分
6
试卷第5页，总8页

（2）由
f(C)??1,
，即
sin(2C?
又∵0＜C＜π，∴
C?
?
6
)??1,

2
?
… ……………………………………………………………7分
3
33
由
CA?CB??,
，知
abcosC??

22
所以ab=3 ………………………………………………………………………………9分
由余弦定理知 c=3 ………………………………………………………………………………12分
?
a?4s?2a?1(n?N)

nnn
20. 解：（1）2
n?2时，a
n?1
?4s
n?1
?2a
n?1?1(n?N
?
)

2
?
a?a?2.
n?1 ,
a
nn?1
两式相减，得又令得
1
?4s
1
?2 a
1
?1(n?N)

2
得
a
1
?1
，所以
a
n
?2n?1
… ………………………………………5分
4(?1)
n?1
a
n?1
（2）由
b
n
?

(a
n
?1)(a
n? 1
?1)
4(?1)
n?1
(2n?1)(?1)
n?1
( 2n?1)11
b
n
???(?1)
n?1
(?)
………… ……………7
2n(2n?2)n(n?1)nn?1
分
T
2n?1
?b
1
?b
2
?b
3
?............... ....b
2n?1

1111111
?(1?)?(?)?(?)?........?(?)

223342n?12n
1
?1??1
… ……………………………………………………………9分
2n
T
2n
?b< br>1
?b
2
?b
3
?................... b
2n?1
?b
2n

111111111
?(1?)?( ?)?(?)?........?(?)?(?)

223342n?12n2n2n?1
1
?1??1
……………………………………………………………11分
2n?1
所以
T
2n?1
?1?T
2n
(n?N
?
).
…………………………………………12分

21.解：（1）由题意知
f(0)?0
所以a=2．
22
x
?1
?,
此时
f(x)?1?
x
2?12
x
?1
试卷第6页，总8页

2
?x
?11?2
x
???f(x),
而
f(?x)?
?x
2?11?2
x
所以f（x）为奇函数，故a=2 为所求．………………………………………2分
2
x
?1
,
（2 ）由（1）知，
f(x)?
x
2?1
因为x∈（0，1]，所以2
x
﹣1＞0，2
x
+1＞0，
故
s?f(x)?2
x
?1
恒成立等价于s≥2
x
+1恒成立，
因为2
x
+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范围是[3，+∞）． ……………………………………………………………6分
（3） 由题意
g(x)?
2
，化简得g（x）=2
x
+1，
1? f(x)
方程g（2x）﹣mg（x）=0，即
2
2x
?m?2
x< br>?1?m?0
有唯一实数解
令t=2
x
， 则t＞0，
即等价为t
2
﹣mt+1﹣m=0，（t＞0）有一个正根一个负根或两 个相等正根或者一
零根一正根 ……………………………………………………8分
?
??0
?
设h（t）= t
2
﹣mt+1﹣m，则满足h（0）<0或
?
m
或
h(0 )?0

?0
?
?
2
由h（0）<0，得1﹣m<0，即m>1
?
??0
?
由
?
m
，得
m?22?2
…………………………………………………11分
?0
?
?
2
当< br>h(0)?0
即m=1时，h（t）=t
2
﹣t，此时有一正根，一零根，满足 题意
综上所述，m的取值范围为m≥1或
m?22?2
…………………………………12分

22.（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，

则∠OBN=∠ONB，
试卷第7页，总8页

∵∠PMN=∠OMB=90°﹣∠OBN，∠PNM=90°﹣∠ONB，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN．
由条件，根据切割线定理，有
PN
2
?PA?PC

PMPC
?
2
所以
PM?PA?PC
所以
PAPN
；………………………………………6分
（2）解：
OA?3OM?3

22
∴OM=1，在Rt△BOM中，BM=
OB?OM?2

延长BO交⊙于点D，连结DN，
可得∠BND=∠BOM，∠OBM=∠NBD，
则△BOM～△BND，
32
BOBM
?
?
BNBD则
BN
23
于是
∴BN=3，∴MN=BN﹣BM=1．…………… …………………………………………………………12分
注：第二问方法不唯一。

试卷第8页，总8页