高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案
时间： 2016318
注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,
考试时间120分钟.
1.
（本小题满分15分）

设集合
A?xx?3x?2 ?0,B?xx?2
?
a?1
?
x?a?5?0,a?R
，
222
??
?
??
?
1）若
AB?
?
2
?
求
a
的值；
2）若
AB?A
,求
a
的取值范围；
3）若
U?R,A
?
C
U
B
?
?A
,求
a的取值范围.







2
.
（本小题满分15分）设
M?{x|f(x)?x},N?{x|f[f(x )]?x},

（1）求证：
M?N;

（2）
f(x)< br>为单调函数时，是否有
M?N
？请说明理由
.










高一数学竞赛试题 第 1 页 共 15 页
（
（
（

3
．
（本小题满分15分）
已知函数
f(x)?2(sinx?cosx)?m(sinx?cosx)
在
x? [0,
444
?
]
有最大值5，
的值．
高一数学竞赛试题
2
第 2 页 共 15 页
求实数
m

4
．
（本小题满分15分）
已知函数f(x)在R 上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．
高一数学竞赛试题 第 3 页 共 15 页

5
．
（本小题满分15分）
已知二次函数
f(x) ?ax?bx?1(a,b?R,a?0)
，设方程
f(x)?x
的两个实数根为x
1
和
x
2
.
（1）如果
x
1< br>?2?x
2
?4
，设函数
f(x)
的对称轴为
x?x
0
，求证：
x
0
??1
；
（2）如果
x
1
?2
，
x
2
?x
1
?2
，求< br>b
的取值范围.
2























高一数学竞赛试题 第 4 页 共 15 页

6
．
（本小题满分15分）
如图，直三棱柱
ABC ?A
1
B
1
C
1
中，
AC?BC?
DC< br>1
?BD
。
1
AA
1
，
D
是棱< br>AA
1
的中点，
2
C
1
A
1
B1
（1） 证明：
DC
1
?BC
；
（2） 求二面角
A
1
?BD?C
1
的大小。


























高一数学竞赛试题
D
C
B
A
第 5 页 共 15 页

7
．
（本小题满分15分）
在平面直角坐标系
xOy
中，设二次函数
f
(
x
)＝
x
2
＋2
x
＋
b
(
x
∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为
C
.
(1)求实数
b
的取值范围；
(2)求圆
C
的方程；
(3)问圆
C
是否经过定点(其坐标与
b
无关)？请证明你的结论．
高一数学竞赛试题 第 6 页 共 15 页

8．
（本小题满分20分）
设f（x）是定义在R上的偶函数，其图 象关于直线x=1对称，
1
]都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
).
且f（1）=a＞0．
2
11
（Ⅰ）
求f(),f();

24
对任意x
1
,x
2
∈[0，
（Ⅱ）证明
f(x)
是周期函数；
（Ⅲ）记
a
n
?f(2n?
1
),
求
lim(lna
n
).

2n
n??



































高一数学竞赛试题 第 7 页 共 15 页

9
（
．
本小题满分20分）
设
f(x)
是R上的奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?lg(x?ax?10)
，
2
a?R
.
（1）若
f(1)?lg5
，求
f(x)
的解析式；
（2 ）若
a?0
，不等式
f(k?2)?f(4?k?1)?0
恒成立，求实数< br>k
的取值范围；
（3）若
f(x)
的值域为
R
，求
a
的取值范围.
xx
高一数学竞赛试题 第 8 页 共 15 页

高一数学竞赛试题参考答案
1,2
?
1、解：
A?
?
（1）∵
AB?
?
2
?
∴
2?B

22
?a?1)?2?(a?5)?0
，解得
a??3或a??1
即，
2?2（
① 当
a??3
时，
B?x|x?4x?4?0?
?
2
?

2
??
② 当
a??1
时，
B?x|x?4?0?
?
?2,2
?

2
??
综上
a?
?
?1,?3
?

（2）∵
AB?A

∴
B?A

① 当
B?
?
时，则该一元二次方程无解，即△<0，
2
∴
?
2
?
a?1
?
?
?4?(a?5)?0
，即
a??3

2
② 当
B?
?
时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即
a??3

1. 当
a??3
时，
B?
?
2
?

2. 当
a??3
时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2
∴
1?2??2(a?1)
，即
a??
5

2
2

1?2?a?5
，即
a??7
（舍） ,∴综上
a?
?
??,?3
?

（）∵
U
3
?R,A
?
C
U
B
?
?A
∴
A?B?
?

① 当△<0时，即
a??3
，
B?
?
，满足要求
② 当△= 0时，即
a??3
，
B?
?
2
?
，
A?B ?
?
，舍
③ 当△>0时，即
a??3
，所以只需
1?B且2?B

将1代入方程 中得
a??1?3
;将2代入方程中得
a??3或a??1

所以
a??3、a??1和a??1?3

综上，
a
的取值范围为
?
??，?3
?
?
?
?3,?1?3??1?3,?1??1,?1?3??1?3,??


???????
高一数学竞赛试题 第 9 页 共 15 页

2、
证明：（1）若
M?
?
，显然有
M?N;



若
M?
?
，则存在
x
0
?M
， 满足
f
?
x
0
?
?x
0
，


?N
，所以
M?N;

x
所以
f
?
，故
fx?fx?x
?
????
0
000
??


（2）
M?N.
用反证法证明


假设
M?N
，由于
M?N
，必存在
x
1
?N,


但
x
1
?M
，因此
f
?
x
1
?
?x
1
，




所以
f
?
fx
?
?fx
，即
x ?fx
，矛盾；
?
1
?
1
?
?
1
?
?
?
1
?


②若
f
?x
?
?x
，由于
f
?
x
?
为单调增函 数，
11


所以
f
?
?
f
?
x
1
?
?
?
?f
?
x
1
?
，即
x
1
?f
?
x
1
?
，矛盾 。

综合①、②可知
f
?
x
1
?
?x< br>1
，因此
x
1
?M,
与假设矛盾，


所以假设不能成立，即
M?N.


3、解：
f(x)?2 (sinx?cosx)?4sinxcosx?m(sinx?cosx)


?2?(2sinxcosx)?m(sinx?cosx)

令
t?sinx?cosx?
24
222224
① 若
f< br>?
x
1
?
?x
1
，由于
f
?
x
?
为单调增函数，
2sin(x?
?
4
)?[1,2]
，
22442
2
则
2sinxcosx?t?1
，从而
f(x)?2?(t?1)?mt ?(m?1)t?2t?1

令
u?t?[1,2]
，由题意知
g( u)?(m?1)u?2u?1
在
u?[1,2]
有最大值5.
当
m?1?0
时，
g(u)?2u?1
在
u?2
时有最大值5，故m?1
符合条件；
当
m?1?0
时，
g(u)
max
?g(2)?2?2?1?5
，矛盾！
当
m?1?0
时，
g(u)?2u?1?5
，矛盾！
综上所述，所求的实数
m?1
．
4、解 (1)若y＝f(x)为偶函数，
则f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2))＝f(4＋x)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，
高一数学竞赛试题 第 10 页 共 15 页
22

只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函数．
若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝f(－0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0，这些f(x)在闭区间[0,7]上，
只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函数．
综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵f(x)＝f[2＋(x－2)]＝f[2－(x－2)]＝f(4－x)，
f(x)＝f[7＋(x－7)]＝f(7－(x－7))＝f(14－x)，
∴f(14－x)＝f(4－x)，即f[10＋(x－4)]＝f(4－x)
∴f(x＋10)＝f(x)，即函数f(x)的周期为10.
又∵f(1)＝f(3)＝0，∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，
f(3)＝f(3＋10n)＝0(n∈Z)，
即x＝1＋10n和x＝3＋10n(n∈Z)均是方程f(x)＝0的根．
由－2 011≤1＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；
由－2 011≤3＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402
个；所以方程
f
(
x
)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．
5、解：设
g(x)?f(x)?x?ax?(b?1)x? 1
，则
g(x)?0
的二根为
x
1
和
x
2
.
（1）由
a?0
及
x
1
?2?x
2< br>?4
，可得
?
2
?
g(2)?0
?
4a ?2b?1?0
，即
?
，即
?
g(4)?0
?
1 6a?4b?3?0
b3
?
3?3???0,
?
?
2a4a

?

?
?4? 2?
b
?
3
?0,
?
2a4a
?
b
?1
，所以，
x
0
??1
;
2a
b?1
2
4
2
)?
, 可得
2a?1?(b?1)
2
?1
. （2）由
(x
1
?x
2
)?(
aa
1
又
x
1
x
2
??0
，所以
x
1
,x
2
同号.
a
两式相加得
高一数学竞赛试题 第 11 页 共 15 页

??
?
0?x
1
?2 ?x
2
?
x
2
??2?x
1
?0
∴ x
1
?2
，
x
2
?x
1
?2
等价于
?
或
?
,
22
?
?
2a?1?( b?1)?1
?
?
2a?1?(b?1)?1
?
g(2)?0
?
g(?2)?0
??
??
即
?
g(0)?0
或
?
g(0)?0

??
22
2a?1?(b?1)?1
??
??
2a?1?(b?1)?1
17
或
b?
.
44
6、【解析】（1）在
Rt?DAC
中，
AD?AC

解之得
b?
得：
?ADC?45
?

??
同理：?A
1
DC
1
?45??CDC
1
?90

得：
DC
1
?DC,DC
1
?B D?DC
1
?
面
BCD?DC
1
?BC

（2）
DC
1
?BC,CC
1
?BC?BC?
面
A CC
1
A
1
?BC?AC

取
A1
B
1
的中点
O
，过点
O
作
OH?B D
于点
H
，连接
C
1
O,C
1
H

?

A
1
C
1
?B
1
C
1
?

OH?BD
1
C
1
O?
CH?
ABA
1< br>B
1
C
1
?
面
A
1
BD?C
1
O?
面
A
1
BD
，面
1
BD
得：点
H
与点
D
重合
且
?C
1
DO
是二面角
A
1
?BD?C
1
的平面角
设
AC?a
，则
C
1
O?
2a
?
，
C
1
D?2a?2C
1
O??C
1
DO?30

2
既二面角
A
1
?BD?C
1
的大小为
30
?

7、
【解答】 (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝x
2
＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x
2
＋Dx＋F＝0，这与x
2
＋2x＋b＝0是同一个 方程，
故D＝2，F＝b.
令x＝0得y
2
＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，
代入得出E＝―b―1.
所以圆C的方程为x
2
＋y
2
＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

高一数学竞赛试题 第 12 页 共 15 页

(3)圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x0
，y
0
)(x
0
，y
0
不依赖于b)，将该 点的坐标代入圆C的方程，
2
并变形为x
2
0
＋y
0＋2x
0
－y
0
＋b(1－y
0
)＝0.(*) 2
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1－y
0
＝0， 结合(*)式得x
2
0
＋y
0
＋2x
0
－y
0
＝0，
??
?
x
0
＝0，
?
x0
＝－2，
解得
?
或
?

??
?y
0
＝1
?
y
0
＝1，
经检验知，点(0,1 )，(－2,1)均在圆C上，因此，圆C过定点．


高一数学竞赛试题 第 13 页 共 15 页

9、解：（1）
因为f(1)?lg5,则f(x)?lg(11?a)?lg5,所以a?6

所以
当x?0时，f(x)??f(?x)??lg(x?6x?10),又f(0)?0,故

2
?
lg(x
2
?6x?10),x?0
?

f(x)?
?
0,x?0

?
?lg(x
2
?6x?10),x?0
?
(2)
若a?0，则f(x)在R上单调递增，故f(k?2)?f(4?k?1)?0
等价于
xx

k2
x
?4
x
?k?1? 0，另t?2
x
(t?0),
2
于是t?kt?k?1?0在(0,??)恒 成立，
2


设g(t)?t?kt?k?1

（1）
??0
时
，解得：
?22?2?k?22?2
；
?
?k
?0
?
（2）
??0时
，
?
2
，解的
k?0

?
?
g(0)?0
综上，
k??22?2

（3）设
h(x)?x?ax?10
,
2
高一数学竞赛试题 第 14 页 共 15 页

由题意知，若函数
f(x)
的值域为R，只需
0?h(x)
min
?1,解得：6?a?210

x?0时，
高一数学竞赛试题 第 15 页 共 15 页