2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 Word版含答案

2017年湖南省高中数学联合竞赛试题
一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分 ,共30分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合
X?
?
1,2,L,2017
?
，集合
S?
?
?< br>x,y,z
?
x,y,z?X
，且三条件
x?y?z
，
y?z?x
，
z?x?y
恰有一个成立
确的是（ ）
?< br>，若
?
x,y,z
?
?S
，且
?
z,w,x
?
?S
，则下列选项正
A．
?
y,z,w
?
?S
且
?
x,y,w
?
?S
B．?
y,z,w
?
?S
且
?
x,y,w
?
?S

C．
?
y,z,w
?
?S
且
?< br>x,y,w
?
?S
D．
?
y,z,w?
?S
且
?
x,y,w
?
?S

2． 已知点
P
为正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
上底面
?A
1
B
1
C
1
的中心，作平面
BCD?AP
，与棱
AA
1
交于
D
，若
A A
1
?2AB?2
，则三棱锥
D?ABC
的体积为（ ）

A．
3333
B． C． D．
48241612
x
2
y
2
??1
.对于任 意实数
k
，椭圆
C
被下列直线中所截得弦长，与被直3．已知椭圆
C
：
84
线
l
：
y?kx?1
所截得的弦长不可能相 等的是（ ）
A．
kx?y?k?0
B．
kx?y?1?0
C．
kx?y?k?0

D．
kx?y?2?0

4．对任意正整数
n
与
k
（
k?n
），用
f
?
n,k
?
表示不超过
??
且与
n
互质的正整数的个数
k

1
?
n
?
??

（其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数），则
f
?
100,3
?
?
（ ）
A．11 B．13 C．14 D．19
5．如果
?A
1
B
1
C
1
的三 个内角的余弦值分别等于
?A
2
B
2
C
2
的三个内 角的正弦值，则（ ）
A．
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
?A
2
B
2
C
2
也是锐 角三角形
B．
?A
1
B
1
C
1
是钝角三 角形，
?A
2
B
2
C
2
也是钝角三角形
C．
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
?A
2
B
2
C
2
则是钝角三角形
D．
?A< br>1
B
1
C
1
是钝角三角形，
?A
2
B
2
C
2
则是锐角三角形
6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称 具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列
?
a
n
?
：
5， 9，14，20，…，为“梯形数列”。根据“梯形”的构成，可知
a
624
?
（ ）

A．166247 B．196248 C．196249 D．196250
二、填空题（每题6分，，每小题8分，满分48分，将答案填在答题纸上）
7．已知函数< br>f
?
x
?
满足
f
?
m?n
?
?f
?
m
?
f
?
n
?
，
f?
1
?
?3
，则
f
?
1
?
? f
?
2
?
f
?
2
?
?f
?
4
?
f
2
?
3
?
?f
?
6?
f
2
?
4
?
?f
?
8
?< br>??
??
．
f
?
1
?
f
?
3
?
f
?
5
?
f
?
7
?
uuuruuur
uuur
1
uuuruuur
8． 已知
A
，
B
，且
AO?
则数量积
AB?AC? ．
AB?AC
，
C
为
eO
上三 点，
2
22
??
9．已知
z?C
，若关于
x
的方程
4x?8zx?4i?3?0
（
i
为虚数单位）有实数根，则复数< br>2
z
的模
z
的最小值是 ．
?
12
?
n
?1
?
10．对正整数
n
，定义
n!?n
?
n?1
??
n?2
?
?L?2?1
，记
S
n
?n!
?
??L?
，
?
2!3!?
n?1!
??
??
则
S
2017
?
．
11．设
0?x?
?
，
3sin
x
?1?si nx?1?sinx
，则
tanx?
．
2

2

12．设函数
f
?
x
?
是定义 在
?
??,0
?
上的可导函数，其导数为
f
?
x< br>?
，且有
2f
?
x
?
?xf
?
x< br>?
?x
2
，则不等式
?
x?2017
?
f< br>?
x?2017
?
?f
?
?1
?
?0
的解集
为 ．
2
三、解答题 （本大题共4小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
13．在锐 角
?ABC
中，
sinA?
（1）求
sin2
?
B ?C
?
?sin
2
45
，且
a
，
b
，
c
为角
A
，
B
，
C
的对边.
9
B?C
的值；
2
uuuruuur
（2）若
a ?4
，试求当
AB?AC
取得最大值时，
?ABC
的面积
S
?ABC
的值.
14．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2
，
a
n?1
S
n
?1
??
??
S
n
2
（
n?N
），其中< br>S
n
为
?
a
n
?
的前
n
项 和.
*
?
1
?
（1）求证：
??
为等差数列；
S?1
?
n
?
（2）若对任意的
n
，均有
?
S
1
?1
??
S
2
?1
?
L< br>?
S
n
?1
?
?kn
，试求
k
的最 大值.
15．已知
a
，
b?R
，且
a?b
.
（1）求证：
ab?
?
a?ba?b
；
?
lna ?lnb2
2
（2）如果
a
，
b
是
f
?< br>x
?
?lnx?2017x
的两个零点，求证：
ab?e
.
16．如图所示，
AB
是椭圆
mx?ny?1
（
m?n?0
，
m?n
）的斜率等于1的弦，
AB
的垂直平分线与椭圆交于两点< br>C
，
D
，设
CD
的中点为
F
，
CD
交
AB
于点
E
.
（1）求证：
CD?AB?4EF
；
（2）求证：四点
A
，
B
，
C
，
D
共圆.
222
22

3

2017年湖南省高中数学联合竞赛试题参考答案
一、选择题
1-3:BAD 4-6:BCD
二、填空题
7．24 8．0 9．
11．
1
6?62
10．
?

2008
4
12
12．
x??2018

5
三、解答题
13．解：（1）∵锐角< br>?ABC
中，
sinA?
4545
1
，∴
cosA?
，
sin
?
B?C
?
?
，∴
99
9
1
cos
?
B?C
?
??
，
9
?
1
?
1?
?
?
?
45
?
1< br>?
9
?
45?85
2
B?C
?2?
?
?
?
?
?
?
?
于是
sin2
?
B?C
?
?sin
.
29
9281
??
uuur uuur
116
22
bc
，（2）∵
AB?AC?bccosA?b c
，再由余弦定理，有
16?b?c?2bccosA?

99
1< br>因此
bc
的最大值为9，此时，
S
?ABC
?bcsinA? 25
.
2
?
S
n
?1
?
14．解：（1 ）∵
?
S
n
因此
S
n?1
?1?

2
?a
n?1
?S
n?1
?S
n
，∴
?
?
S
n
?1
?
?S
n
S?S
n? n1
2
2
，即
S
n?1
?
2S
n
?1
，
S
n
S
n
?1S
11
?
n
??1
， ，故
S
n
S
n?1
?1S
n
?1S
n
?1
4

这说明
?
?1
?
11
??1
为首项，1为公差的等差数列；
?
是 一个以
S
1
?1a
1
?1
?
S
n
?1
?
1
2n?1
?1?
?
n?1
?
?1 ?n
，∴
S
n
?1?
.
S
n
?1
n
（2）由（1）可知
于是不等式
?
S
1
?1
? ?
S
2
?1
?
L
?
S
n
?1?
?kn
，即
?
∴
k?
3572n?1
??L ??kn
，
123n
13572n?1
*
对任意的
n?N
恒成立， < br>????L?
n123n
13572n?113572n?12n?3
记
g
?
n
?
?????L?
，则
g
?
n? 1
?
?
，
????L??
n123nn?1123nn?1
g
?
n?1
?
n
?
2n?3
?
n
2
?2n?n
2
?n
?1
，即
g
?
n< br>?
是关于
n
的增函数. 于是
??
2
2
n? 2n?1
g
?
n
?
?
n?1
?
故
g
?
n
?
的最小值为
g
?
1
?
? 3
，∴
k?3
，即
k
的最大值为3.
15．解：（1）∵
a
，
b?R
，且
a?b
，∴不妨设
a?b?0.
?
?
a
?
2
?
?1
?
2
?
a?b
?
a
a?ba?b
b
?
?ln?
?
则一方面，，
??lna?lnb?
a
a?bb
lna ?lnb2
?1
b
记
x?
2
?
x?1
?< br>a4
?1
，则不等式
?lnx?
?lnx??2
，
x?1
bx?1
2
?
x?1
?
14
4
?< br>再记
h
?
x
?
?lnx?
，则
h
?
?
x
?
??
，由
h
?
?
x
?
?0
得
x?1
，
22
x
?
x?1< br>?
x?1
x
?
x?1
?
并且
x?1
时，
h
?
?
x
?
?0
，所以
h
?
x
?
在
?
1,??
?
上为增函数，故
h< br>?
x
?
?h
?
1
?
?2
.
另一方面，
ab?
a?ba
a?baab
，
?ln
??ln??
lna?lnbb
bba
ab
记
t?
a1
?1
，则不等式
?2lnt??t?0
，
b
t2
?
?
t?1
?
1
21
设
g
?
t
?
?2lnt??t
，则
g
?
?
t< br>?
??
2
?1?
，由
g
?
?
t?
?0
得
t?1
，
t
ttt
2
并且
t?1
时，
g
?
?
t
?
?0
，所 以
g
?
t
?
在
?
1,??
?
上为 减函数，故
g
?
t
?
?g
?
1
?
?0
.

5

综上，
ab?
a?ba?b
.
?
lna? lnb2
（2）∵
a
，
b
是
f
?
x
?
?lnx?2017x
的两个零点，
∴
lna?2017a
……①且
lnb?2017b
……②，
a?b1
，
?
lna?lnb2017
a?ba?ba?b12
由（1）已证，故， < br>???a?b?
lna?lnb2220172017
①②两式相减，得
lna ?lnb?2017
?
a?b
?
?
①②两式相加，得
lna ?lnb?2017
?
a?b
?
，
因而
ln
?< br>ab
?
?2017
?
a?b
?
?2
，
故
ab?e
.
16．证：（1）设
AB
：
y?x ?a
，代入
mx?ny?1
，
整理，得
?
m?n
?
x?2anx?na?1?0

22
22
2
na
2
?1
2an
于是，
x
A
?x
B
??
，
x
A
x
B
?
，
m?n
m?n
∴
AB?2
?
?
x
A
?x
B
?
?4x
A
x
B
??
2
2
8
?
m?n?mna
2
?
??
?
m?n
?
2
，
同时，
AB
的中点坐标 为
E
?
?
am
??
an
,
?
.
?
m?nm?n
?
22
再设
CD
：
y?? x?b
，代入
mx?ny?1
，
整理，得
?
m?n
?
x?2bnx?nb?1?0

22
nb
2
?1
2bn
于是，
x
C
?x
D
?
，
x
C
x
D
?
，
m?n
m?n
∴
CD?2
?
?
x
C
?x< br>D
?
?4x
C
x
D
?
?
2
2
8
?
m?n?mnb
2
?
??
?
m?n
?
2
，
同时，
CD
的中点坐标为
F
?< br>bm
??
bn
,
?
.
m?nm?n
??< br>2
∴
EF
2
?
n
2
?
a?b
?
2
?
m?n
?
2
?
m
2
?< br>b?a
?
?
m?n
?
2
?
n
2?
a?b
?
?m
2
?
b?a
?
22< br>?
m?n
?
6
2
，

注 意到，
k
EF
?k
CD
??1?
n
?
a? b
?
?m
?
a?b
?
，
∴
CD?AB?
22
8mn
?
a
2
?b
2
?
?< br>m?n
?
2
2
?
8mn
?
a?b
? ?
a?b
?
?
m?n
?
2
2
?
2
8n
2
?
a?b
?
2
?
m?n
?
，
2
，
并且
4EF
2
?4?
n
2
?
a?b
?
?m
2
?
b?a
?
?
m?n
?
22
2
?
8n
2
?
a?b
?
?
m?n
?
2
因此，
CD?AB?4EF
.
（2）由（1）已证
CD?AB?4EF
，
又
E为
AB
的中点，
F
为
CD
的中点，
∴
CD?2FD
，
AB?2EB
，
于是
FD?EF?EB
，事实上，
EF?EB?BF
，
因而，
AF?BF?FD?FC
，
故
A
，
B，
C
，
D
四点共圆，且圆心为
F
.

222222
222
2

7