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高中数学竞赛讲义(五)──数列

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:15
tags:高中数学联赛

高中数学课程的评价体系-高中数学必修一试卷及解析


高中数学竞赛讲义(五)
──数列
一、基础知识
定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无
穷数列两种,数列{ a
n
}的一般形式通常记作a
1
, a
2
, a
3
,…,a
n
或a
1
, a
2
, a< br>3
,…,a
n
…。其中a
1
叫做数列的首项,a
n< br>是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S
n
表示{a
n
}的前n项和,则S
1
=a
1
, 当n>1时,a
n
=S
n
-S
n-1
.
定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a
n+1
-a
n
=d(常数),则{ a
n
}称为等差
数列,d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,
若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
定理2 等差数列的性质:1)通项公式a
n
=a
1
+(n-1)d;2)前n项和公式:
S
n
=;3)a
n
-am
=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,
则a
n+a
m
=a
p
+a
q
;5)对任意正整数p, q,恒 有a
p
-a
q
=(p-q)(a
2
-a
1
);6)若A,B至少有一个不
为零,则{a
n
}是等差数列的充要条件是Sn=An
2
+Bn.
定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有
公比。
,则{a
n
}称为等比数列,q叫做
定理3 等比数列的性质:1)an
=a
1
q
n-1
;2)前n项和S
n
,当q
当q=1时,S
n
=na
1
;3)如果a, b, c成等比数列, 即b
2
=ac(b
4)若m+n=p+q,则a
m
a
n=a
p
a
q

1时,S
n
=;
0),则b叫做a, c的等比中项;
定义4 极 限,给定数列{a
n
}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈
N ),都有|a
n
-A|<,则称A为n→+∞时数列{a
n
}的极限,记作
定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a
n
}的公比q满足|q|<1,则称之 为无穷递增等
比数列,其前n项和S
n
的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可 得)。
定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n
0
)成立 ;(2)当p(n)时n=k成
立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p (n)对一切自然数n≥n
0
成立。

竞赛常用定理
定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n
0
)成立;(2)当p(n)对一切n
≤k的自然数n都成立时(k≥n
0
)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2) 可得命题p(n)对一
切自然数n≥n
0
成立。
定理5 对于齐次二阶线 性递归数列x
n
=ax
n-1
+bx
n-2
,设它的特征方 程x=ax+b的两个根
为α,β:(1)若αβ,则x
n
=c
1
a +c
2
β,其中c
1
, c
2
由初始条件x
1
, x
2
的值确定;(2)若α=β,则x
n
=(c
1
n+c
2
) α
n-1
,其中c
1
, c
2
的值由x
1
, x
2
的值确定。
二、方法与例题
1.不完全归纳法。
n-1n-1
2

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人
类探索未知世 界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项 (不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)
1,5,19,65,…;3)-1, 0,3,8,15,…。
【解】1)a
n
=n
2
-1;2)an
=3
n
-2
n
;3)a
n
=n
2< br>-2n.
例2 已知数列{a
n
}满足a
1
=,a
1
+a
2
+…+a
n
=na
n
, n≥1,求通项a
n
.
2
【解】 因为a
1
=,又a
1
+a
2
=2
2
·a
2
,
所以a
2
=,a
3
=,猜想(n≥1).
证明;1)当n=1时,a
1
=,猜想正确。2)假设当n≤k时猜想成立。
当n=k+1时,由归纳假设及题设,a
1
+ a
1
+…+a
1
=[(k+1)
2
-1] a
k+1
,,
所以=k(k+2)a
k+1
,
即=k(k+2)a
k+1
,
所以=k(k+2)a
k+1
,所以a
k+1
=
由数学归纳法可得猜想成立,所以
例3 设0n
}满足a
n
=1+a, a
n-1
=a+
【证明】 证明更强的结论:1n
≤1+a.
,求证:对任意n∈N
+
,有a
n
>1.
1)当n=1时,11
=1+a,①式成立;
2)假设n=k时,①式成立,即1n
≤1+a,则当n=k+1时,有

由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。
2.迭代法。
数列的通 项a
n
或前n项和S
n
中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n换 成
n+1或n-1等,这种办法通常称迭代或递推。


例4 数列{a
n
}满足a
n
+pa
n-1
+qa
n-2
=0, n≥3,q0,求证:存在常数c,使得
·a
n
+
【证明】·a
n+ 1
+

(pa
n+1
+a
n+2
)+=a
n+2
·(-qa
n
)+
).
+
+
=0,取c=0即可.
,公
=
+a
n(pq
n+1
+qa
n
)]=q(


式为q 的等比数列。
所以+=·q
n
.
=0,则对任意n,
0,则{}是首项为

综上,结论成立。
例5 已知a
1
=0, a
n+1
=5a
n
+
·即可.
,求证:a
n
都是整数,n∈N
+
.
【证明】 因为a
1
=0, a
2
=1,所以由题设知当n≥1时a
n+1
>a
n
.
又由a
n+1
=5a
n
+移项、平方得

当n≥2时,把①式中的n换成n-1得

因为a
n-1< br>n+1
,所以①式和②式说明a
n-1
, a
n+1是方程x-10a
n
x+
由韦达定理得a
n+1
+ a
n-1
=10a
n
(n≥2).
再由a
1
=0, a
2
=1及③式可知,当n∈N
+
时,a
n
都是整数。
3.数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
2
,即
-1=0的两个不等根。
例6 已知a
n
=(n=1, 2, …),求S
99
=a
1
+a
2
+…+a
99
.
【解】 因为a
n
+a
100-n
=+=,
所以S
99
=


例7 求和:+…+
【解】 一般地,

所以S
n
=




例8 已知数 列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1,a
n+2
=a
n+1
+a
n
, S
n
为数列的前n项和,求证:S
n
<2。
【证明】 由递推公式可知,数列{a
n
}前几项为1,1,2,3,5,8,13。
因为, ①
所以。 ②
由①-②得,
所以。
又因为S
n-2
n
且>0,
所以S
n
, 所以,


所以S
n
<2,得证。
4.特征方程法。
例9 已知数列{a
n
}满足a
1
=3, a
2
=6, a
n+2
=4
n+1
-4a
n
,求a
n
.
2
【解】 由特征方程x=4x-4得x
1
=x
2
=2.
故设a
n
=(α+βn)·2
n-1
,其中
所以α=3,β =0,
n-1
所以a
n
=3·2.

例10 已知数列{a
n
}满足a
1
=3, a
2
=6, a
n+2
=2a
n+1
+3a
n
,求通项a
n
.
【解】 由特征方程x=2x+3得x
1
=3, x
2
=-1,
2
所以a
n
=α·3
n
+β·(-1)
n
,其中,
解得α=,β,
所以
5.构造等差或等比数列。
·3]。
例11 正数列a
0
,a
1
,…,a
n
,…满足 =2a
n-1
(n≥2)且a
0
=a
1
=1,求通项。
【解】 由得=1,

令b
n
=+1,则{b
n}是首项为+1=2,公比为2的等比数列,
所以b
n
=+1=2
n< br>,所以=(2
n
-1)
2

所以a
n
=·…··a
0
=
注:C
1
·C
2
·…·C
n
.


例12 已知数列{x
n
}满足x
1
=2, x
n+1
=,n∈N
+
, 求通项。
【解】 考虑函数f(x)=的不动点,由=x得x=
因为x
1
=2, x
n+1
=
又+2≥
,可知{x
n
}的每项均为正数。
,所以x
n+1
≥(n≥1)。又
X
n+1
-==, ①
X
n+1
+==, ②
由①÷②得。 ③
又>0,
由③可知对任意n∈N
+
,>0且,
所以是首项为,公比为2的等比数列。
所以·,所以,
解得·。
注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。
三、基础训练题
1. 数列{x
n
}满足x
1
=2, x
n+1
=S
n< br>+(n+1),其中S
n
为{x
n
}前n项和,当n≥2时,x
n
=_________.
2. 数列{x
n
}满足x
1
=,x
n+1
=,则{x
n
}的通项x
n
=______ ___.
3. 数列{x
n
}满足x
1
=1,x
n
=+2n-1(n≥2),则{x
n
}的通项x
n
=_________.


4. 等差数列{a
n
}满足3a
8
=5a
13
,且a
1
>0, S
n
为前n项之和,则当S
n
最大时,n=_________.
5. 等比数列{a
n
}前n项之和记为S
n
,若S
10< br>=10,S
30
=70,则S
40
=_________.
6. 数列{x
n
}满足x
n+1
=x
n
-xn-1
(n≥2),x
1
=a, x
2
=b, S
n
=x
1
+x
2
+…+ x
n
,则S
100
=_________.
2
7. 数列 {a
n
}中,S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
=n-4n+1则|a
1
|+|a
2
|+…+|a
10
|=_________.
8. 若
x
1
=_________.
,并且x
1
+x
2
+…+ x
n
=8,则
9. 等差数列{a
n
},{b
n
} 的前n项和分别为S
n
和T
n
,若
=_________.
,则
10. 若n!=n(n-1)…2·1, 则=_________.
11. 若{a
n
}是无穷等比数列,a
n
为正整数,且满足a
5
+ a
6
=48, log
2
a
2
·log
2
a
3
+ log
2
a
2
·log
2
a
5
+
log
2
a
2
·log
2
a
6
+ log
2
a
5
·log
2
a
6
=36,求 的通项。
}是公比为q的等比数列,且b
1
=1, 12.已知数列{a
n
}是公差不为零的等差数列,数列{

四、高考水平训练题
b
2
=5, b
3
=17, 求:(1)q的值;(2)数列{b
n
}的前n项和S
n

1.已 知函数f(x)=,若数列{a
n
}满足a
1
=,a
n+1
=f(a
n
)(n∈
N
+
),则a
2006
=__ ___________.
2.已知数列{a
n
}满足a
1
=1, a
n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+(n -1)a
n-1
(n≥2),则{a
n
}的通项
a
n
=
3. 若a
n
=n
2
+
.
, 且{a
n
}是递增数列,则实数的取值范围是__________.
4. 设正项 等比数列{a
n
}的首项a
1
=
a
n
=_____ ________.
, 前n项和为S
n
, 且2S
30
-(2+ 1)S
20
+S
10
=0,则
1010


5. 已知,则a的取值范围是______________.
+
6.数列{a
n
}满足a
n+1
=3a
n
+n(n ∈N) ,存在_________个 a
1
值,使{a
n
}成等差数列;存
在________个a
1
值,使{a
n
}成等比数列。
7.已知(n ∈N),则在数列{a< br>n
}的前50项中,最大项与最小项分别是
+
____________. < br>8.有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四
个数的和中 16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为____________.
9. 设{a
n
}是由正数组成的数列,对于所有自然数n, a
n
与2的等差中项 等于S
n
与2的等
比中项,则a
n
=____________.
10. 在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整
数.
11.已知数列{a
n
}中,a
n
0,求证:数列{a
n< br>}成等差数列的充要条件是
(n≥2)①恒成立。
12.已知数列{a
n< br>}和{b
n
}中有a
n
=a
n-1
b
n, b
n
=(n≥2), 当a
1
=p, b
1
=q(p>0, q>0)且
p+q=1时,(1)求证:a
n
>0, b
n
>0且a
n
+b
n
=1(n∈N);(2)求证:a
n
+1=
数列
13.是否存在常数a, b, c,使题设等式
;(3)求
1·2
2
+2·3
2
+…+n·(n+1)
2
=(an
2
+bn+c)
对于一切自然数n都成立?证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题 1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为97
2
,这样的数
列共有_________个。
2.设数列{x
n
}满足x
1
=1, x
n
=
3. 设数列{a
n
}满足a
1
=3, a
n
>0,且
,则通项x
n
=__________.
,则通项a
n
=__________.
4. 已知数列a
0
, a
1
, a
2
, …, a
n
, …满足关系式(3-a
n+1
)·(6+a
n
)= 18,且a
0
=3,则
=__________.


5. 等比数列a+log
2
3, a+log
4
3, a+log
8
3的公比为=__________.
6. 各项均为实数的等差数列 的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这
样的数列至多有__________项.
7. 数列{a
n
}满足a
1
=2, a
2
=6, 且=2,则
________.
8. 数列{a
n
} 称为等差比数列,当且仅当此数列满足a
0
=0, {a
n+1
-qa
n
}构成公比为q的等
比数列,q称为此等差比数列的差比。那么,由100以内的自然数构 成等差比数列而差比大
于1时,项数最多有__________项.
9.设h∈N
+
,数列{a
n
}定义为:a
0
=1, a
n+1
=。问:对于怎样的h,
存在大于0的整数n,使得a
n
=1?
10.设{ a
k
}
k

1
为一非负整数列,且对任意k≥1,满足a< br>k
≥a
2k
+a
2k+1
,(1)求证:对任
意正整 数n,数列中存在n个连续项为0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非
零项的数列。
11.求证:存在唯一的正整数数列a
1
,a
2
,…,使得
a
1
=1, a
2
>1, a
n+1
(a
n+1
-1)=

六、联赛二试水平训练题
1.设a
n
为下述自然数N的个数:N的各位数字 之和为n且每位数字只能取1,3或4,
求证:a
2n
是完全平方数,这里n=1, 2,….
2.设a
1
, a
2
,…, a
n
表示 整数1,2,…,n的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质
的排列数目:①a
1=1; ②|a
i
-a
i+1
|≤2, i=1,2,…,n-1。
试问f(2007)能否被3整除?
3.设数列{a
n
}和{b
n
}满足a
0
=1,b
0
=0,且

求证:a
n
(n=0,1,2,…)是完全平方数。
4.无穷正实数数列 {x
n
}具有以下性质:x
0
=1,x
i+1
i
(i=0,1,2,…),
(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个n≥1,使
≥3.999均成立;
(2)寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立。


5.设x
1
,x
2
,…,x
n
是各项都不大于M的正整数序列且满足x
k
=|x
k-1
-x
k-2
|(k=3,4,…,n)①.试问< br>这样的序列最多有多少项?
6.设a
1
=a
2
=,且当n= 3,4,5,…时,a
n
=,
(ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;(ⅱ)求证:是整数的平方。
7.整数 列u
0
,u
1
,u
2
,u
3
,…满足u< br>0
=1,且对每个正整数n, u
n+1
u
n-1
=kuu
,这里k是某个固定
的正整数。如果u
2000
=2000,求k的所 有可能的值。
8.求证:存在无穷有界数列{x
n
},使得对任何不同的m, k, 有|x
m
-x
k
|≥
足:(1)a
k
k
(k=1,2,…,n);

9.已知n个正整数a
0
,a1
,…,a
n
和实数q,其中00
,b
1
,…,b
n
和满
(2)q<<(k=1,2,…,n);
(3)b
1
+b
2
+…+b
n
<

(a
0
+a
1
+…+a
n
).

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