高中数学课常用的活动-高中数学极坐标中p的意义
祝君金榜题名
2018 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1．
评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设
n
是正整数，
1
,
2
, ,
n
,
1
,
2
,
,
n
, ,
a
a
正
b
b
实数，满足 , , 1, 2, ,
n
，且
1 2
a
b
b
b
B
≤
n
b
A
B
均为
a
≤
b
a
≤
A
i
=
a
a
i
i
i
1 2
a
n
．
A
(
b
+1)(
b
+1) (
b
+1) ≤
B
+1
证明：
1 2
．
n
(
a
+1)(
a
+1) (
a
+1)
1 2
A
+1
B
b
b
=
K
，则
1 2
n
b
证明：由条件知，
k
=
i
i
b
B
≤ 化为 1,
i
1, 2, ,
n
≥ = ．记
n
a
i
A
a
a
1 2
a
n
A
k
k
1 2
k
≤
K
．要证明
n
n
k
a
+ ≤
KA
+
1 1
．
i
i
∏
A
+1
i
=1
①
a
+1
i
对
i
=1, 2,,
n
，由于
1
k
≥ 及0 <
a
≤
A
知，
i
i
k
a
+1 = ?
k
?1 ≤ ?
k
?1 =
k
A
+1
i
i
k
i
k
i
i
．
a
1
a
1
A
1
A
1
i
+
i
i
+
i
+ +
结合
K
≥
k
k
1 2
k
知，为证明①，仅需证明当
A
> 0,
k
≥ 1(
i
= 1, 2,,
n
)
时，有
n
i
∏
n
k
A
+ ≤
1
i
k
k
k
A
+
1
．
1 2
n
②
…………………20
分
0
， ③
A
+1
A
+1
i
=1
对
n
进行归纳．当
n
=1时，结论显然成立．
当
n
=
2时，由
A
> 0,
k
,
k
≥1 可知
1 2
k
A
1
k
A
2
k
k
A
1 2
A
k
1
k
2
2
+1?
≤
+1 ? +1 = ? ( ?1)( ?1)
A
+1
A
+1
A
+1 (
A
+1)
因此
n
= 2时结论成立． …………………30 分
设
n
=
m
时结论成立，则当
n
=
m
+1时，利用归纳假设知，
∏
m
+1
∏
m
i
i
=1
k
A
+1
i
k
A
+1
m
+1
?
k
A
+1
≤
k
k
1 2
k
A
+1?
k
A
+1
m
+1
m
A
+1
A
+1
i
=1
A
+1
1
1
A
+1
A
+1
k
k
1 2
k
+
A
+
≤
m
，
1
2
A
+1
最后一步是在③中用
1
2
m
,
m
1
m
1,
m
1
1
k
1
,
k
2
．
k
k
k
k
+
（注意
k
k
k
≥
k
+
≥ ）分别代替
从而
n
=
m
+1时结论成立．
由数学归纳法可知，②对所有正整数
n
成立，故命题得证．
…………………40 分
1
祝君金榜题名
二、（本题满分 40
分）如图，
ABC
为锐角三角形，
AB
AC
，
M
为
BC
边
的中点，点
D
和
E
分别为
ABC
的外接圆
BAC
和
BC
的中点，
F
为
ABC
的内
切圆在
AB
边上的切点，
G
为
AE
与
BC
的交点，
N
在线段
EF
上，满足
NB
AB
．
证明：若
BN
EM
，则
DF
A
FG
．（答题时请将图画在答卷纸上）
D
F
B
C
G
N
M
E
证明：由条件知，
DE
为
记
I
为
ABC
外接圆的直径，
DE
BC
于
M
，
AE
AD
．
ABC
的内心，则
I
在
AE
上，
IF
AB
．
由
NB
AB
可知
NBE
ABE
ABN
(180
ADE
) 90
．
①
…………………10 分
90
ADE
MEI
又根据内心的性质，有
EABABI
EIB
，
EBI
从而
BE
结合
BN
EBC
CBI
EAC
ABI
…………………20
分
EI
．
EM
及①知，
A
NBE
≌
MEI
．
D
F
I
B
C
G
N
M
E
于是
EMI
BNE
90
90
BFE
IFM
90
180
EFI
，故
E
,
F
,
I
,
M
四点共圆．
IEM
AGM
，从而
A
,
F
,
G
,
M
四
…………………30 分
进而可知
再由
AFM
点共圆．
点共圆．从而
DFG
DAG
90 ，即
DF
DAG
DMG
90
知，
A
,
G
,
M
,
D
四点共圆，所以
A
,
F
,
G
,
M
,
D
五
FG
． …………………40
分
2
祝君金榜题名
2
k
?1
三、（本题满分 50 分）设
n
,
k
,
m
是正整数，满足
k
≥ 2 ，且 ≤ < ．
n
m
n
k
n
设
A
是{1,2,,
m
}的
n
元子集．证明：区间
0,
中的每个整数均可表示为
1
?
k
a
?
a
′ ，其中
a
,
a
′∈
A
．
证明：用反证法．假设存在整数
x
n
0, ?
k
1
不可表示为
a
?
a
′ ，
a
,
a
′∈
A
．作
,
m
按模
x
的同余类划分成
x
个公差 带余除法
m
=
xq
+
r
，其中0 ≤
r
<
x
．将1, 2,
为
x
的等差数列，其中
r
个等差数列有
q
+1项，
x
?
r
个等差数列有
q
项．由于
A
中没有两数之差为
x
，故
A
不能包含以
x
为公差的等差数列的相邻两项．从而
?
q
1
+
x
, 2
q
,
+1
q
( )
q
2
=
①
2
?
q
+
r
, 2 |
q
,
2
n
=
A
≤
r
+
x
?
r
x
2
这里
α
表示不小于α 的最小整数． …………………20 分
②
由条件，我们有
k
n
>
0,
又
x
n
，故
?
2
k
?1
m
=
．
(
xq
+
r
)
2
k
?1
k
k
1
n
> (
k
?1)
x
．
q
+1
n
≤
x
? ．
③
情形一：
q
是奇数．则由①知，
④
2
q
+1
k
k
结合②，④可知，
x
? ≥
n
> (
xq
+
r
) ≥
xq
，从而
q
<
2
k
?1．再由
q
2 2
k
?1
2
k
?1
是奇数可知，
q
≤ 2
k
?3，于是
q
+1
n
≤
x
? ≤
(
k
?1)
x
，
2
与③矛盾．
情形二：
q
是偶数．则由①知，
q
n
≤
x
? +
r
． ⑤
2
q
k
xq
k
?1 (
k
?1)
x
结合②，⑤可知，
x
? +
r
≥
n
> (
xq
+
r
) <
r
<
，从而 ，
2 2
k
?1 2(2
k
?1)
2
k
?1 2
k
?1
故
q
<
2(
k
?1) ．再由
q
是偶数可知，
q
≤
2
k
? 4 ，于是
q
n
≤
x
? +
r
≤ (
k
? 2)
x
+
r
< (
k
?1)
x
，
2
与③矛盾．
综上可知，反证法假设不成立，结论获证．
3
…………………50 分
祝君金榜题名
四、（本题满分
50 分）数列{
a
}定义如下：
a
是任意正整数，对整数
n
≥1，
n
1
n
∑
a
+
是与
n
1
i
=1
互素，且不等于
i
a
1
a
的最小正整数．证明：每个正整数均在数
a
的最小正整数．证明：每个正整
a
, ,
n
a
数均在数
列{
a
}中出现．
n
1
a
1
=1或
a
= ．下面考虑整数
m
>1，设
m
有
k
个不同素因子，
我 们对
k
归纳证明
m
在{
a
}中出现．记
2
证明：显然
S
=
a
++
a
，
n
≥1．
n
n
1
n
k
= 时，
m
是素数方幂，设
m
=
p
α
，其中α > 0 ，
p
是素数．假设
m
不在{ }
1
a
n
中出现．由于{
a
}各项互不相同，因此存在正整数
N
，当
n
≥
N
时，都有
a
>
p
α
．若
n
n
对某个
n
≥
N
，
p
定义知
n
n
S
，那么
p
α
与
a
a
中无一项是
p
α
，故由数列
S
互素，又
1
, ,
n
a
+
≤
p
α
，但是
a
+
>
p
α
，矛盾！
n
1
n
1
n
n
1
因此对每个
n
≥
N
，都有
p
|
S
．但由
p
|
S
+
及
p
|
S
n
知
p
|
a
n
+1
，从而
a
n
+1
与
S
n
不互素，这与
a
+
的定义矛盾．
n
1
…………………10 分
．假设
m
假设
k
≥ 2 ，且结论对
k
?1成立．设
m
的标准分解为 =
m
p
p
α
1
p
α
k
α
2
1
2
k
不在{ }
a
中出现，于是存在正整数
N
′，当
n
≥
N
′时，都有
a
>
m
．取充分大的正
n
n
?
整数
β
1
,
，使得
β
,
k
1
M
=
p
β
1
p
β
>
k
?1
a
．
max
1
k
?1 ≤ ≤ ′
n
1
n
N
我们证明，对
n
≥
N
′，有
a
+
≠
M
．
n
1
…………………20 分
a
中均
S
互素，又
m
在
1
,
,
n
n
对任意
n
≥
N
′，若
n
p
p
1 2
p
互素，则
m
与
k
a
S
与
未出现，而
a
+
>
m
，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：
n
1
对任意
n
≥
N
′，
n
p
p
1 2
p
不互素．
k
(?)
S
与
情形
1．若存在
i
(1≤
i
≤
k
?1) ，使得
p
|
S
，因
(
a
+
,
S
) =1，故
+
，从而
p
i
n
n
1
n
i
a
n
1
a
+
≠
M
（因 |
p
M
）．
n
1
i
…………………30 分
情形
2．若对每个
i
(1≤
i
≤
k
?1) ，均有
p
S
．于是
S
，则由 (?) 知必有
n
k
p
i
|
n
p
a
+
，进而
p
S
a
+ ，即
n
n
+1
k
p
S
k
0
n
1
k
n
1
≤
i
≤
k
? ，使得
+
．故由(?)
知，存在
0
(1
0
1)
S
(1≤
i
≤
k
?1)，可知
p
0
i
p
|
S
+1
，再由
S
n
+1
=
S
n
+
a
n
+1
及前面的假设
p
i
n
i
n
a
1
i
n
+
a
+
≠
M
．
分
n
1
，故
…………………40
> ，故
M
不在{ }
M
max
a
a
中出现，这
n
n
1≤
i
≤
N
′
因此对
n
≥
N
′+1，均有
a
≠
M
，而
与
n
归纳假设矛盾．因此，若
m
有
k
个不同素因子，则
m
一定在{
a
}中出现．
n
由数学归纳法知，所有正整数均在{
a
}中出现．
n
…………………50 分
4