2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)

2014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1. 若正数
a,b
满足
2?log
2
a?3?log
3
b?log
6
(a?b)
，则
答案：108.
解：设
2?log
2
a ?3?log
3
b?log
6
(a?b)?k
，则
a?2< br>k?2
11
?
的值为_________
ab
k?3
，
b?3
，
a?b?6
，从
k
11a?b6
k< br>?
k?2k?3
?2
2
?3
3
?108
。 而
??
abab
2?3
2. 设集合
{?b|1?a?b?2}中的最大元素与最小元素分别为
M
，
m
，则
M?m
的值
为___________
答案：
5?23
。
解：由
1 ?a?b?2
知，
3
a
33
?b??2?5
，当
a ?1
，
b?2
时，得最大元素
M?5
，又
a1
33
?b??a?23
，当
a?b?3
时，得最小元素
m?23
。因此，
M?m?5?23
。
aa
3. 若函数
f(x)?x2
?a|x?1|
在
[0,??)
上单调递增，则实数
a
的取值范围是________
答案：
[?2,0]

解：在
[ 1,??)
上，
f(x)?x?ax?a
单调递增，等价于
?
2a
?1
，即
a??2
。在
[0,1]
上，
2< br>f(x)?x
2
?ax?a
单调递增，等价于
4. 数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
，
a
n?1< br>?
答案：
a
?0
，即
a?0
，因此实数
a< br>的取值范围是
[?2,0]

2
a
2014
2(n? 2)
a
n
(n?N*)
，则
?
_____
n?1
a
1
?a
2
?...?a
2013
2015
。
2013
2(n?1)2(n?1)2n
a
n?1
??an?2
????

nnn?1
2(n?1)2n2?3
???? ???a
1
?2
n?1
(n?1)

nn?12
解 ：由题设
a
n
?
记数列
{a
n
}
的前n
项和为
S
n
，则
S
n
?2?2?3?2< br>2
?4?????2
n?1
(n?1)

所以
2S
n
?2?2?2?3?2?4?????2(n?1)


1
23n

将上面两式相减，得
S
n?2
n
(n?1)?(2?2?2
2
?????2
n?1
)?2
n
n

a
2014
2
2013
?20152015
故
?
2013
?
a
1
?a
2
?...?a
20 13
2?2013
2013
5. 正四棱锥P—ABCD中，侧面是边长为1的正三角 形，M，
N分别是边AB，BC的中点，则异面直线MN与PC之间
的距离是________ ____
答案：
2

4
解：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。
由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH⊥平面POC，故CH⊥PC。 因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又
CH?
22
，故异面直线MN与PC之
CN?
24
间的距离是
2
。
4
6. 设椭圆?
的两个焦点是
F
1
,F
2
，过点
F
1
的直线与
?
交于点
P,Q
。若
|PF
2
|?|F
1
F
2
|
，且
3|PF
1
|?4 |QF
1
|
。则椭圆
?
的短轴与长轴的比值为_______
答案：
26

7
解：不妨设
|PF
1
|? 4
，
|QF
1
|?3
。记椭圆
?
的长轴，短轴的长
度分别为
2a
，
2b
，焦距为
2c
，则
| PF
2
|?|F
1
F
2
|?2c
，且由
椭 圆的定义知，
2a?|QF
1
|?|QF
2
|?|PF
1
|?|PF
2
|?2c?4

于是
|QF
2
|?|PF
1
|?|PF
2
|?|QF
1
|?2c?1< br>
设
H
为线段
PF
1
H|?2,|QH|?5
，且有
F
2
H?PF
1
。由勾股定理知，
1
的 中点，则
|F
|QF
2
|
2
?|QH|
2
?|F
2
H|
2
?|F
1
F
2
|
2
?|F
1
H|
2

2222
即
(2c? 1)?5?(2c)?2
，解得
c?5
，进而
a?7,b?26
，因 此椭圆
?
的短轴与长
轴的比值为
b26
?

a7

2

7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆 心为I，
若点P满足PI=1，则△APB与△APC的面积之比的
最大值为________
答案：
3?5

2
解：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。
设
?BAP?
?
，在圆
K
上取一点
P
0
，使得
?
取到 最大值
?
0
，此时
P
0
应落在
?IAC
内 ，且
K
的切点。由于
0?
?
?
?
0
?是
AP
0
与圆
?
3
，故
sin
?< br>0
S
?APB
sin
?
???
????
S< br>?APC
1
AP?ACsin(?
?
)sin(?
?
)sin(?
?
0
)sin(?
?
)
23336
?
其中，
?
?
?
0
???IAP
0

6
IP
?
11
?
，于是
cot
?
?15
，所以 由
?AP
0
I?
知，
sin
?
?
0
?
2AI2r4
1
AP?ABsin
?
2
sin(?
?
)
6
①
?
?
?
1
sin(?
?
)
cos
?
?
6?
2
?
sin(?
?
)
1
cos
?< br>?
6
2
3
sin
?
cot
?
?31 5?33?5
2
???
②
2
3cot
?
?315 ?3
sin
?
2
根据①、②可知，当
P?P
0
时，
S
?APB
3?5
的最大值为
2
S
?APC1
的概率在每对点之间连一条边，任意两对
2
8.设A，B，C，D是空间四个不 共面的点，以
点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接
的概率为__________
答案：
3

4
6
解：每对点之间是否连边有2种可能，共有
2?64
种情况。考虑其中A，B可用折线连接的情况数。
（1） 有AB边：共种
2?32
情况。
（2） 无AB 边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少
一点相连，且B与C，D中至少一 点相连，这样的情况数为
(2?1)(2?1)?9
。
（3） 无AB边，也无CD 边：此时AC，CB相连有
2
种情况，AD，DB相连也有
2
22
5
22
种情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B可

3

用折线连接的情况数为
2?2?1?7
。
以上 三类情况数的总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接的概率为
22
483
?
。
644
二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）平面直角坐标系
xOy
中，P是不在
x
轴上 的一个动点，满足条件：过P
可作抛物线
y
2
?4x
的两条切线，两 切点连线
l
P
与PO垂直。
设直线
l
P
与直线PO，
x
轴的交点分别为Q，R。
（1） 证明R是一个定点；
（2） 求
|PQ|
的最小值。
| QR|
解：（1）设
P
点的坐标为
(a,b)(b?0)
，易知a?0
。记两切点
A
，
B
的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)，则
PA
，
PB
的方程分别为
yy
1
?2(x?x
1
)
①
yy
2
?2(x?x
2
)
②
而点P
的坐标
(a,b)
同时满足①，②。故
A
，
B
的坐标均满足方程
by?2(x?a)
③
(x
1
, y
1
)
，
(x
2
,y
2
)

故③就是直线
AB
的方程。
直线
PO
与
AB
的斜率分别为
4分
从而③即为< br>y?
b2b2
与，由
PO?AB
知，
???1
，故< br>a??2
。 ………
abab
2
(x?2)
，故
A B
与
x
轴的交点
R
是定点（2，0）。 …………8分
b

（2）因为
a??2
，故直线
PO
的斜率k
1
??
则
?
为锐角，且
bb
PR?
?
，，直线
PR
的斜率
k
2
??
。设
? O
24
bb
1?(?)(?)
1?k
1
k
2
|PQ|18?b
2
28b
2
24
??||?||???22
bb
|QR|tan
?
k
1
?k
2
2|b|2|b|
??
24
当
b??22
时，
|PQ|的最小值为
22
。 ……………………16分
|QR|

4

10.（本题满分20分）数列
{a
n
}
满足
a
1
?
使得
sina
1
?sina
2
?
…
?sina
m
?
?
，
a
n?1
?arctan(sec
求正整数
m
，
a
n
)(n?N*)
。
6
1
。
100
解：由已知条件可知，对任意正整数n
，
a
n?1
?(?
由于
seca
n
?0
，故
a
n?1
?(0,
??
,)
，且
tana
n?1
?seca
n
①
22
?
2
)
。由①得，
tan
2
a
n?1
?sec
2
a
n
?1?tan
2
a
n
，故
13n?2
?

33
tan
2
a
n
?n?1?tan
2
a
1
?n?1?
即
tana
n
?
因此，
3n?2
。 …………………………10分
3
tana
m
tana
1
tana
2
< br>??
…
?
seca
1
seca
2
seca< br>m
tana
m
tana
1
tana
2
（利用 ①）
??
…
?
tana
2
tana
3
t ana
m?1
sina
1
?sina
2
?
…
?sina
m
?
?
?
tana
1
1
< br>?
tana
m?1
3m?1
11
，得
m?3333< br>。 …………………20分
?
3m?1100
由
11.（ 本题满分20分）确定所有的复数
?
，使得对任意复数
z
1
,z2
(|z
1
|,|z
2
|?1,z
1
?z2
)
，
均有
(z
1
?
?
)?
?
z
1
?(z
2
?
?
)?
?
z< br>2
　
。
解：记
f
?
(z)?(z?
?)
2
?
?
z
，则
22
f
?
(z
1
)?f
?
(z
2
)?(z
1
??
)
2
?
?
z
1
?(z
2
?
?
)
2
?
?
z
2

?(z
1
?z
2
?2
?
)(z
1
?z
2
)?
?
(z
1
?z
2
)
①
假如存在复数
z
1
、
z
2
(|z
1< br>|
、
|z
2
|?1
，
z
1
?z2
)
，使得
f
?
(z
1
)?f
?(z
2
)
，则由式①知
|
?
(z
1
?z
2
)|?|?(z
1
?z
2
?2
?
) (z
1
?z
2
)|

注意到，
|z
1?z
2
|?|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|?0
，
故
|
?
|?|z
1?z
2
?2
?
|?2|
?
|?|z
1
|?|z
2
|?2|
?
|?2


5

即
|
?
|?2
。…………………………10分 另一方面，对任意满足
|
?
|?2
的复数
?
，令
z
1
??
?
2
?
?
i
，
z2
??
?
2
?
?
i
，其中
0?
?
?1?
|
?
|
??
，则
z
1
?z
2
，而
|??
?
i|?|?|?|
?
|?1< br>，故
|z
1
|
，
|z
2
|?1
，此 时将
222
z
1
?z
2
??
?
，
z
1
?z
2
?2
?
i
，
z
1< br>?z
2
?2
?
i??2
?
i

代入 ①可得，
f
?
(z
1
)?f
?
(z
2)?
?
?2
?
i?
?
(?2
?
i)? 0
，即
f
?
(z
1
)?f
?
(z
2
)
。
综上所述，符合要求的
?
的值为
{
?|
?
?C,|
?
|?2}
……………………20分


6